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Primitivwurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mi 22.05.2013
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
7 ist eine Primitivwurzel modulo 17

Hallo.
Ich hab mich mal an folgende Aufgaabe versucht:
Wir wissen [mm] \phi(17)=16 [/mm]
Nach Vorlesung ist die Ordnung ein Teiler von 16, also 1,2,4,8,16
[mm] 7^2\equiv 49\equiv [/mm] 15 m 17
[mm] 7^4 \equiv (7^2)^2 \equiv 15^2 \equiv [/mm] 225 [mm] \equiv [/mm] 4 m 17
[mm] 7^8 \equiv (7^4)^2 \equiv [/mm] 16
[mm] 7^{16} \equiv 16^2 \equiv [/mm] 256 [mm] \equiv [/mm] 1 m 17
Und dann folgt nach Definition, dass 7 eine Primitivwurzel mod. 17 ist.

Ist das so richtig?

Gruß
TheBozz-mismo

        
Bezug
Primitivwurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mi 22.05.2013
Autor: Schadowmaster

Ja, das stimmt so.
Es ist sogar noch zu kompliziert.
Da die Gruppe $16$ Elemente hat, ist sicher [mm] $7^{16} \equiv [/mm] 1$.
Aus [mm] $7^8 \not\equiv [/mm] 1$ kannst du sofort [mm] $7^a \not \equiv [/mm] 1$ für alle $a [mm] \mid [/mm] 8$ folgern; also für $a = 1,2,4$.
Damit reicht es [mm] $7^8$ [/mm] zu berechnen und du bist fertig.


lg

Schadow

PS: Das geht hier so schön, weil 16 eine Primpotenz ist. Im Allgemeinen muss man ein paar mehr Potenzen berechnen, aber man kann sich immer durch geeignete Überlegungen manche Potenzen sparen.

Bezug
                
Bezug
Primitivwurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Mi 22.05.2013
Autor: TheBozz-mismo

Vielen Dank für deine Antwort.

Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo

Bezug
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