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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 28.03.2006
Autor: FunGirl

Huhu,

wir haben heut in der Schule eine Aufgabe mit "quadratischen Ergänzungen" machen müssen und als Hausaufgabe haben wir das aufbekommen:
f(x) = x² + 3x + 2
Bestimme den Scheitel des Schaubildes mit quadratischer Ergänzung.

Ich hab weder eine Ahnung was eine quadratische Ergänzung ist, noch was man da machen muss und  für was das überhaupt gut sein soll.

Kann mir das bitte jemand erklären?
Danke schon mal im Vorraus


LG
FunGirl



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Di 28.03.2006
Autor: XPatrickX


> Huhu,
>  
> wir haben heut in der Schule eine Aufgabe mit
> "quadratischen Ergänzungen" machen müssen und als
> Hausaufgabe haben wir das aufbekommen:
>  f(x) = x² + 3x + 2
>  Bestimme den Scheitel des Schaubildes mit quadratischer
> Ergänzung.
>  
> Ich hab weder eine Ahnung was eine quadratische Ergänzung
> ist, noch was man da machen muss und  für was das überhaupt
> gut sein soll.
>  
> Kann mir das bitte jemand erklären?
>  Danke schon mal im Vorraus
>  
>
> LG
>  FunGirl
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Hallo,

eine quadratische Ergänzung ist dazu da, um quadratische Gleichungen zu lösen. Es ist halt eine andere Möglichkeit als die pq-Formel.

Ein Beispiel:

[mm] a^{2} [/mm] + 2ab + [mm] b^{2} [/mm] = f(x)

Diese Gleichung kann ich auch so schreiben:
[mm] (a+b)^{2} [/mm] = f(x)

Na, fällt dir was auf?


Es ist eine binomische Formel, aber quasi "rückwärts".
Ziel bei der quadratischen Ergänzung ist es einen Term "rückwärts" in die Form einer binomischen Formel zu bringen.

f(x) = x² + 3x + 2
mit p = 3 und q = 2

Um quadratisch zu erägänzen musst du p erst durch zwei teilen
3 / 2 = 1,5
Dieses Ergebnis kommt die Klammer:

f(x) = [mm] (x+1,5)^{2} [/mm]

Allerdings kommt dahinter noch die "+2" aus der Funktion und anschließend musst du die 1,5 noch einmal hoch zwei rechnen und subtrahieren:

f(x) = [mm] (x+1,5)^{2} [/mm] + 2 - [mm] 1,5^{2} [/mm]
f(x) = [mm] (x+1,5)^{2} [/mm] + 2 - 2,25

f(x) = [mm] (x+1,5)^{2} [/mm] - 0, 25

Nun ist die Funktion quadratisch ergänzt. Wenn du sie mit Hilfe der binomischen Formel wieder ausrechnest, kommst du wieder auf die ursprüngliche Funktion.

Die Schritte die ich dir jetzt genannt habe sind immer gleich, allerdings solltest du vielleicht nur ein paar Beispiele rechnen und ein bisschen sicherer zu werden und ein Gefühl dafür zu finden, wie eine quadr. Ergängzung geht.

Gruß Patrick


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Bezug
Quadratische Ergänzung: Mathebank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mi 29.03.2006
Autor: informix

Hallo Fungirl,
[willkommenmr]

> Huhu,
>  
> wir haben heut in der Schule eine Aufgabe mit
> "quadratischen Ergänzungen" machen müssen und als
> Hausaufgabe haben wir das aufbekommen:
>  f(x) = x² + 3x + 2
>  Bestimme den Scheitel des Schaubildes mit quadratischer
> Ergänzung.
>  
> Ich hab weder eine Ahnung was eine quadratische Ergänzung
> ist, noch was man da machen muss und  für was das überhaupt
> gut sein soll.
>  
> Kann mir das bitte jemand erklären?
>  Danke schon mal im Vorraus

[guckstduhier] MBquadratische Ergänzung MBParabel in unserer MBMatheBank

$f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 3x +2 = [mm] \underbrace{(x^2 + 3x \green{+ (\bruch{3}{2})^2})}_{= (x + \bruch{3}{2})^2} \red{- (\bruch{3}{2})^2} [/mm] + 2 = (x + [mm] \bruch{3}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm]

Jetzt kannst due den MBScheitelpunkt der Parabel ablesen.

Klar(er)?

Gruß informix

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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mi 28.02.2007
Autor: Patti123

Hi,

die Anleitung ist ja super aber was mache ich wenn vor dem x² noch eine Zahl steht also zu Beispiel

2x²+8x+6=f(x)

Vielen Dank

Brauch ne schnelle Antwort schreib Freitag die Klausur

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Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mi 28.02.2007
Autor: Beliar

Wenn so etwas vorkommt muss du durch die Zahl vor dem [mm] x^2 [/mm] teilen, in diesem Bespiel durch 2
2x²+8x+6=f(x)du kannst also [mm] x^2+(8x/2)+6/2=f(x) [/mm] haben, oder wenn es dir besser gefällt [mm] x^2+4x+3=f(x) [/mm] ist beides gleich,ich rechne aber lieber mit Dezimalzahlen.
Gruß Beliar

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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Mi 28.02.2007
Autor: Patti123

Ja danke nur es muss doch am Ende wenn ich die Scheitelpunktform habe wieder was davor stehen oder nicht? Sonst wird nachher aus der gestauchten oder gestreckten parabel ne normalparabel oder?

Gruß und Danke!

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Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Mi 28.02.2007
Autor: Kroni

Richtige Frage!

Wenn du [mm] f(x)=2x^2 [/mm] +..+... hast, und du einfach durch zwei Teilst, dann müsste da stehen
[mm] f(x)/2=x^2+..+.. [/mm] also dann der Term, der dort mal stand.

Das, was du machen musst, ist nicht einfach durch zwei Teilen, sondern die zwei AUSKLAMMERN.
D.h. es stünde dann dort [mm] f(x)=2(x^2+..+...) [/mm] usw,so dass du dann innerhalb der Klammer die quad. Ergänzung durchführen kannst, und dann hinterher alles wieder mal zwei nimmst.

Slaín,

Kroni

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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Do 01.03.2007
Autor: Patti123

Also Brauch ich dann nur die Zahl hinter der Klammer noch mal 2 nehmen und die in der Klammer bleiben einfach gleich also:

2x²+8x+6=f(x)

f(x)= 2(x+4)²+6-4²
f(x)= 2(x+4)²-2

also dann mal 2 und dann kommt da raus:

f(x)= 2(x+4)²-4

wär das so richtig? Wenn nein, was müsste ich anders machen

Sorry aber ich hab da echt keine Ahnung von und brauche dringend hilfe schreib morgen die Klausur^^

Danke



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Quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Do 01.03.2007
Autor: Beliar

Hallo, was ,genau' willst du mit dieser Funktion berechnen?

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Bezug
Quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Do 01.03.2007
Autor: Patti123

Die Scheitelpunktfunktion

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Bezug
Quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Do 01.03.2007
Autor: Beliar

Wenn du also erstmal Ausklammers bekommst du aus
2x²+8x+6=f(x) [mm] ==>2(x^2+4x+3)=f(x) [/mm]


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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Do 01.03.2007
Autor: Patti123

Und wie gehts dann weiter?

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Quadratische Ergänzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Do 01.03.2007
Autor: Beliar

Schau doch mal etwas weiter oben in die Anleitung, oder formuliere dein Problem etwas genauer

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Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Do 01.03.2007
Autor: Herby

Hallo Patrick,

wende nun in der Klammer die quadratische Ergänzung an, wie sie vorher schon beschrieben wurde.


Liebe Grüße
Herby

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Quadratische Ergänzung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:26 Do 01.03.2007
Autor: Patti123

Ja ok

Ich hab eine Bitte kann mir einer von euch meine Beispiel Gleichung auf die Scheitelpunktform bringen und dabei vllt kurz erklären was er macht?

2x²+8x+6=f(x)

Ich check das nämlich garnicht. Ich muss einfach diese Formel umgewandelt haben, da ich sie als Beispiel haben will um noch etwas für die Klausur zu Lernen.


Danke

Bezug
                                                                                        
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Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 01.03.2007
Autor: Herby

Hallo Patrick,


du solltest doch nur die 2 ausklammern und auf die Klammer die quadratische Ergänzung anwenden.

Das Verfahren der quadratischen Ergänzung wurde beispielhaft von Informix erläutert:

[guckstduhier]  Antwort von Informix

wenn du dort irgendetwas nicht verstanden hast, dann wäre es nett, eine konkrete Frage dazu zu stellen, damit der Antwortgeber weiß, an welcher Stelle noch Erklärungsbedarf ist.



Versuch es einfach mal und poste dein Ergebnis.


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                                                                
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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Do 01.03.2007
Autor: Patti123

Ok dann rechne ich das Jetzt einfach mal, und sagt mir dann wie ich das "richtiger" machen kann^^

also 2x²+8x+6=f(x)

f(x)= 2(x+4+3)² +6-4²
f(x)= 2(x+7)² -2
f(x)= 2(x+7)² -4

So das is der eizige Lösungsweg den ich irgendwie nachvollziehen kann. Ich habe erst alles in die Klammer geschrieben als die hälfte der vorzahl von x und dann die hälfte von q addiert. Hinter der Klammer hab ich dann die 6 hingeschrieben und die quadrierte hälfte der vorzahl von x abgezogen. Dannach dann die Zahl hinter der Klammer mit der Zahl vor der Klammer also der 2 Multipliziert...

Gruß

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Do 01.03.2007
Autor: Herby

Hallo Patrick,

die Klammer bezieht aber alles mit ein:

> Ok dann rechne ich das Jetzt einfach mal, und sagt mir dann
> wie ich das "richtiger" machen kann^^
>  
> also 2x²+8x+6=f(x)
>  
> f(x)= 2(x+4+3)² +6-4²

das hier verstehe ich nicht

wenn du die 2 ausklammerst, bleibt

[mm] 2(x^2+4x+3) [/mm]

nun betrachten wir erstmal nur die Klammer [mm] (x^2+4x+3) [/mm]

quadratisch ergänzen

[mm] x^2+4x+\left(\bruch{4}{2}\right)^2-\left(\bruch{4}{2}\right)^2+3=x^2+4x+4-4+3=(x^2+4x+4)-1=(x+2)^2-1 [/mm]

Das gleiche Ergebnis findest du natürlich auch bei Informix' neuer Antwort (incl. Zeichung)

ok?


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: so geht's
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 01.03.2007
Autor: informix

Hallo Patti123 und [willkommenmr],

> Hi,
>  
> die Anleitung ist ja super aber was mache ich wenn vor dem
> x² noch eine Zahl steht also zu Beispiel
>  
> 2x²+8x+6=f(x)
>  
> Vielen Dank
>  
> Brauch ne schnelle Antwort schreib Freitag die Klausur  

[mm] f(x)=2[x^2+4x+3] [/mm]

jetzt befolgst du meine Rechnung, auf die du dich gerade beziehst, innerhalb der Klammer:

[mm] f(x)=2[x^2+4x+4-4+3]=2[(x+2)^2-1] [/mm] und löst die eckige Klammer wieder auf:
[mm] f(x=2(x+2)^2-2 [/mm] und liest die Scheitelpunkt-Koordinaten ab.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Jetzt klar(er)?


Gruß informix

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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