Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Definition des Quotientenkriterium.
Ich habe hier irgendwie vier verschiedene Definitionen:
1) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] Reihe mit [mm] a_k\not=0
[/mm]
Ist [mm] \limsup_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|<1 [/mm] so konvergiert die Reihe absolut.
Die Reihe divergiert, falls [mm] \liminf_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|>1
[/mm]
2) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] Reihe
Falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}<1 [/mm] konvergiert die Reihe, sie divergiert bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{k+1}}{a_k}>1
[/mm]
3) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_n [/mm] Reihe
Gibt es einen Index [mm] n_0 [/mm] so dass für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] so ist die Reihe absolut konvergent.
4) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] Reihe
Existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=:q [/mm] und ist q<1 so konvergiert die Reihe, bei q>1 divergiert sie.
Sind diese Definitionen alle gleich?
Mal hab ich Limes, mal Limessup und sogar Limesinf, mal mit Betrag, mal ohne, mal normale Konvergenz, mal absolute Konvergenz.
Und auch verschiedene Reihen, manche starten bei k=0 und manche bei k=1.
Irgendwie bin ich grad verwirrt.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
das sind keine 4 Definitionen. Es sind Sätze, die jeweils Aussagen unter verschiedenen Voraussetztungen treffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> das sind keine 4 Definitionen. Es sind Sätze, die jeweils
> Aussagen unter verschiedenen Voraussetztungen treffen.
Hmm...
Also ich hab da nicht wirklich Voraussetzungen stehen, außer [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] Reihe (mal startend bei 1, mal bei 0), [mm] a_k [/mm] rell und [mm] \not=0 [/mm] , das wars im Grunde.
Also eigentlich überall dasselbe...
Irgendwie versteh ich das nicht...
LG Nadine
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> Hallo!
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> > das sind keine 4 Definitionen. Es sind Sätze, die jeweils
> > Aussagen unter verschiedenen Voraussetztungen treffen.
>
> Hmm...
>
> Also ich hab da nicht wirklich Voraussetzungen stehen,
> außer [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] Reihe (mal startend bei 1, mal bei
> 0), [mm]a_k[/mm] rell und [mm]\not=0[/mm] , das wars im Grunde.
>
> Also eigentlich überall dasselbe...
Hallo,
daß Du Dir klarmachst, daß dies Sätze sind und nicht Definitionen, ist wichtig.
(Wie kommst Du überhaupt darauf, daß es Definitionen sind?)
Natürlich stehen da Voraussetzungen!
Man hat stets eine Reihe mit besonderen Eigenschaften vorliegen, aus welchen dann Konvergenz folgt.
(Deinen Satz 3 solltest Du nochmal prüfen.)
Es sind alles Sätze, die aus Eigenschaften des Quotienten auf die Konvergenz der Reihe schließen.
Ganz gleich sind die Sätze nicht.
Du kannst Dir z.B. überlegen, daß der limsup eine geringere Voraussetzung ist als der lim.
2 und 4 hingegen sind völlig gleichwertig.
Gruß v. Angela
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