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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert des Integrals
[mm] $\integral_{0}^{1} sin(x^2) [/mm] dx$
naeherungsweise mit Hilfe der Reihenentwickling mit absolutem Fehler [mm] $0.5*10^{-2}. [/mm] |
Hi,
leider fehlt mir hier ein wenig der Ansatz. Ich soll ja wohl irgendwas mit der Taylorentwicklung machen. Muss ich aber zunaechst integrieren und dann die Funktion in der Taylorreihe verwenden, oder kann ich das schon so benutzen. Und was machen ich mit den Grenzen? Was ist denn mein Entwicklungspunkt hier?
Gruss
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> Bestimmen Sie den Wert des Integrals
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> [mm]\integral_{0}^{1} sin(x^2) dx[/mm]
>
> naeherungsweise mit Hilfe der Reihenentwicklung mit
> absolutem Fehler [mm]$0.5*10^{-2}.[/mm]
> Hi,
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> leider fehlt mir hier ein wenig der Ansatz. Ich soll ja
> wohl irgendwas mit der Taylorentwicklung machen. Muss ich
> aber zunaechst integrieren und dann die Funktion in der
> Taylorreihe verwenden, oder kann ich das schon so benutzen.
> Und was machen ich mit den Grenzen? Was ist denn mein
> Entwicklungspunkt hier?
>
> Gruss
Hallo royalbuds,
man nimmt hier natürlich die "gewöhnliche"
Sinusreihe mit Entwicklungspunkt 0 und
setzt anstelle von x [mm] x^2 [/mm] ein. Dann integriert
man die entstandene Reihe gliedweise und
überlegt sich, wie viele Glieder der neuen
Reihe (mit alternierenden Vorzeichen und mit
immer kleiner werdenden Absolutbeträgen
der Glieder !) man berücksichtigen muss,
um die geforderte Genauigkeit zu erzielen.
LG
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Hi,
ok, die Entwicklung habe ich wie folgt gemacht (nur mal das Ergebnis):
[mm] $\frac{1}{3}x^3 \rvert_0^1 [/mm] - [mm] \frac{1}{3!}*\frac{1}{7}x^7\rvert_0^1+ \frac{1}{5!}*\frac{1}{11}x^{11}\rvert_0^1 [/mm] - [mm] \frac{1}{7!}*\frac{1}{15}x^{15}\rvert_0^1 [/mm] ...$
Ok, jetzt gehts ja darum abzuschaetzen wieviele Gleider ich brauche. Muesste denn jetzt ein Ausdruck dieser Form [mm] $|R_n| [/mm] = [mm] |f(x)-T_n| \le \frac{1}{(n+1)!*2n}x^{2n+1} \rvert_0^1 \le 05.*10^{-2}$ [/mm] existieren? Aber wie rechne ich das denn aus ohne den Eigentlichen Wert $f(x)$, was ja das eigentliche Integral wieder ist, zu kennen?
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> Hi,
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> ok, die Entwicklung habe ich wie folgt gemacht (nur mal das
> Ergebnis):
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> [mm]\frac{1}{3}x^3 \rvert_0^1 - \frac{1}{3!}*\frac{1}{7}x^7\rvert_0^1+ \frac{1}{5!}*\frac{1}{11}x^{11}\rvert_0^1 - \frac{1}{7!}*\frac{1}{15}x^{15}\rvert_0^1 ...[/mm]
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> Ok, jetzt gehts ja darum abzuschaetzen wieviele Gleider ich
> brauche. Muesste denn jetzt ein Ausdruck dieser Form
> [mm]|R_n| = |f(x)-T_n| \le \frac{1}{(n+1)!*2n}x^{2n+1} \rvert_0^1 \le 05.*10^{-2}[/mm]
> existieren? Aber wie rechne ich das denn aus ohne den
> Eigentlichen Wert [mm]f(x)[/mm], was ja das eigentliche Integral
> wieder ist, zu kennen?
Hallo,
ich würde hier gar nicht die Restgliedformel
bemühen, weil eine "Leibnizsche Reihe"
vorliegt (Absolutbeträge (rasch!) abnehmend,
Vorzeichen abwechselnd). Bei einer solchen
Reihe ist der Fehler stets kleiner als das
letzte noch berücksichtigte Glied.
Für die Rechnung mit Restgliedformel
bräuchtest du die höheren Ableitungen der
(unbekannten) Stammfunktion $\ [mm] f(x)=\integral sin(x^2)\,dx$ [/mm] .
Das ist aber kein Problem, denn du hast ja
[mm] f'(x)=sin(x^2) [/mm] .
LG Al-Chw.
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