Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 24.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge [mm] (x_n)_n_\in_\IN [/mm] , die rekursiv durch [mm] x_1 [/mm] = 7 , [mm] x_n_+_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3 + \bruch{1}{n} } [/mm] * [mm] x_n [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] ,
definiert ist.
a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton ist.
b) Begründen Sie, dass die Folge konvergent ist.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. |
Zu a) :
Ich habe n= 1,2,3,4 ausgerechnet und habe folgende Ergebnisse:
n=1 : [mm] x_2= [/mm] 1,75
n=2: [mm] x_3 [/mm] = 0,5
n=3: [mm] x_4 [/mm] = 0,15
n=4: [mm] x_5 [/mm] = 0,0461..
Es heißt : [mm] a_n \ge a_n_+_1 [/mm] monoton fallend
[mm] a_n [/mm] > [mm] a_n_+_1 [/mm] streng monoton fallend
7> 1,75
7> 0,50
7> 0,15
7> 0,0461...
Ich würde jetzt sagen, dass die Folge streng monoton fallend ist, oder ist mein Ansatz falsch ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 24.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich sag ab [mm] $x_{4392}$ [/mm] ist die Folge nicht mehr monoton fallend. Dein Kommentar dazu?
Die ersten paar Werte auszurechnen ist doch kein Beweis.
Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen
"Beweis": 3 ist ne Primzahl, 5 ist ne Primzahl, 7 ist ne Primzahl. QED.
Wie könnte man Monotonie denn zeigen, ohne nur die ersten paar Werte auszurechnen? Wie habt Ihr denn bis jetzt Monotonie gezeigt?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wir haben das bis jetzt immer mit der Induktion gemacht, aber ich komme damit nicht weiter :S
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem!
Das Stichwort "vollständige Induktion" ist schon sehr gut. Damit kannst Du sowohl die Monotonie als auch die Beschränktheit zeigen.
Beginnen wir mit der Monotonie. Betrachte hierfür den Ausdruck [mm] $\bruch{x_{n+1}}{x_n}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Also beginne ich doch folgendermaßen:
Induktionsanfang: 0 [mm] \le x_1=7 \le [/mm] 7
Induktionsannahme: 0 [mm] \le x_n \le [/mm] 7
Induktionsbehauptung: 0 [mm] \le x_n_+1 \le [/mm] 7
Und wie geht es jetzt weiter ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Das wäre der Anfang von dem Beweis der Beschränkheit.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 25.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
jetzt musst Du die IV auch noch benutzen. Schätze [mm] x_{n+1} [/mm] damit ab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe mal eine Frage zu der Herangehensweise an die Aufgabe. Man müsste doch am Anfang erstmal die ersten paar Folgenglieder ausrechnen, in diesem Falle [mm] (x_n) [/mm] : (7, 1,75 , 0,5 , 0,15, 0,0461..., ....) , um sagen zu können, dass die Folge monoton fallend ist ? Wann kann man sagen, dass die Folge "streng" monoton fallend ist?
Nach diesem Schritt fängt man dann mit der Beschränkheit an, so wie ich es eben geschrieben habe, richtig ? (Ich will mir die Reihenfolge klar machen )
Ich habe aber bei dem letzten Schritt (Induktionsschritt) Probleme. Wie schätzt man sowas denn ab ? :S Ich weiß, dass man am Ende auf die Form [mm] x_n_+_1 [/mm] kommen muss, aber wie ? :S
|
|
|
| |
|
> Ich habe mal eine Frage zu der Herangehensweise an die
> Aufgabe. Man müsste doch am Anfang erstmal die ersten paar
> Folgenglieder ausrechnen, in diesem Falle [mm](x_n)[/mm] : (7, 1,75
> , 0,5 , 0,15, 0,0461..., ....) , um sagen zu können, dass
> die Folge monoton fallend ist ? Wann kann man sagen, dass
> die Folge "streng" monoton fallend ist?
>
> Nach diesem Schritt fängt man dann mit der Beschränkheit
> an, so wie ich es eben geschrieben habe, richtig ? (Ich
> will mir die Reihenfolge klar machen )
> Ich habe aber bei dem letzten Schritt (Induktionsschritt)
> Probleme. Wie schätzt man sowas denn ab ? :S Ich weiß,
> dass man am Ende auf die Form [mm]x_n_+_1[/mm] kommen muss, aber wie
> ? :S
Hallo Bilmem,
bei einer rekursiv (oder auch explizit) definierten Folge
zunächst ein paar Glieder auszurechnen, ist oft hilfreich.
Man kann sich dabei ein wenig in die Konstruktion der
Folge hinein denken - deshalb sollte man diese Berechnungen
auch am besten ohne Rechner vornehmen.
Wichtig ist vor allem, die Rekursionsformel inhaltlich
zu verstehen.
Was geschieht im vorliegenden Beispiel genau, wenn ich
aus [mm] x_n [/mm] die nächstfolgende Zahl [mm] x_{n+1} [/mm] berechne ?
Aha: ich teile [mm] x_n [/mm] durch [mm] (3+\frac{1}{n}) [/mm] . Dieser Divisor ist für
jede natürliche Zahl n eine Zahl, die größer als 3 und maximal
(für n=1) gleich 4 ist. Daraus kann man zweierlei schließen:
Da das Anfangsglied positiv ist und wir nacheinander immer
wieder durch positive Zahlen dividieren, bleiben auch
alle weiteren Glieder stets positive Zahlen. Da jeder
einzelne Divisor größer als 3 ist, gilt garantiert stets
[mm] x_{n+1}
eine Nullfolge sein muss.
Wenn man sich diese Übersicht verschafft hat, kann
man daran gehen, die einzelnen Fragen nach Beschränkt-
heit, Monotonie und Konvergenz in formaler Weise zu
beantworten.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Induktionsschritt:
0 [mm] \le x_n \le [/mm] 7 |+2
2 [mm] \le x_n [/mm] + 2 [mm] \le [/mm] 9
ordnen: 9 [mm] \ge x_n [/mm] + 2 [mm] \ge [/mm] 2
dividieren:
[mm] \bruch{0 \le x_n \le 7}{9 \ge x_n + 2 \ge 2} \to [/mm] 0 = [mm] \bruch{0}{9} \le \bruch{x_n}{x_n + 2} [/mm] = [mm] x_n_+_1 \le \bruch{1}{2} \le [/mm] 7
Somit ist die Beschränkheit bewiesen!
Ist das richtig ?
|
|
|
| |
|
> Induktionsschritt:
>
> 0 [mm]\le x_n \le[/mm] 7 |+2
>
> 2 [mm]\le x_n[/mm] + 2 [mm]\le[/mm] 9
>
> ordnen: 9 [mm]\ge x_n[/mm] + 2 [mm]\ge[/mm] 2
>
> dividieren:
>
> [mm]\bruch{0 \le x_n \le 7}{9 \ge x_n + 2 \ge 2} \to[/mm] 0 =
> [mm]\bruch{0}{9} \le \bruch{x_n}{x_n + 2}[/mm] = [mm]x_n_+_1 \le \bruch{1}{2} \le[/mm]
> 7
>
> Somit ist die Beschränkheit bewiesen!
> Ist das richtig ?
Sorry, but I understand only railway station ... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich sollte doch auf den Ausdruck [mm] x_n_+_1 [/mm] kommen! Das habe ich hier versucht, was ist denn daran jetzt falsch ? :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 25.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ich versteh deinen Ansatz leider auch nicht.
Du möchtest ja die Beschränkt zeigen. Ich persönlich mache das immer getrennt d.h. zeige erst, dass [mm] x_{n} [/mm] < 7 und dann [mm] x_{n}>0
[/mm]
Das machst du mit volls. Induktion.
Also:
IA (n=0) : ...
IV : ...
IS: Gehe hierbei nun statt n von n+1 aus und zeige, dass dann [mm] x_{n} [/mm] immer noch kleiner 7 ist ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Die einzelnen Schritte hatte ich schon gepostet, sind die etwa auch falsch ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Könnte mir das jemand bitte Schritt für Schritt erklären? Ich habe mächtige Probleme mit dieser Aufgabe :(
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> Die einzelnen Schritte hatte ich schon gepostet, sind die
> etwa auch falsch ?
Es ist nur der Induktionsschritt, der nicht richtig ist.
IV ist [mm] 0 \leq x_{n} \leq 7[/mm]
Das gilt für [mm]x_{1}, \\ x_{2}, \ ... \ , \ x_{n}[/mm]
Nun mußt Du zeigen, daß die IV auch für n+1 gilt:
[mm]0 \leq x_{n+1}= \bruch{1}{3+\bruch{1}{n}}*x_{n} \leq ... [/mm]
Für "..." ist die IV anzuwenden.
Und dann geeignet abzuschätzen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
> Hallo Bilmem,
>
> > Die einzelnen Schritte hatte ich schon gepostet, sind die
> > etwa auch falsch ?
>
>
> Es ist nur der Induktionsschritt, der nicht richtig ist.
>
> IV ist [mm]0 \leq x_{n} \leq 7[/mm]
>
> Das gilt für [mm]x_{1}, \\ x_{2}, \ ... \ , \ x_{n}[/mm]
>
> Nun mußt Du zeigen, daß die IV auch für n+1 gilt:
>
> [mm]0 \leq x_{n+1}= \bruch{1}{3+\bruch{1}{n}}*x_{n} \leq ...[/mm]
>
> Für "..." ist die IV anzuwenden.
>
> Und dann geeignet abzuschätzen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Also: 0 [mm] \leq x_{n+1}= \bruch{1}{3+\bruch{1}{n}}*x_{n} \leq \bruch{7}{4} \le [/mm] 7
? :S
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> > Hallo Bilmem,
> >
> > > Die einzelnen Schritte hatte ich schon gepostet, sind die
> > > etwa auch falsch ?
> >
> >
> > Es ist nur der Induktionsschritt, der nicht richtig ist.
> >
> > IV ist [mm]0 \leq x_{n} \leq 7[/mm]
> >
> > Das gilt für [mm]x_{1}, \\ x_{2}, \ ... \ , \ x_{n}[/mm]
> >
> > Nun mußt Du zeigen, daß die IV auch für n+1 gilt:
> >
> > [mm]0 \leq x_{n+1}= \bruch{1}{3+\bruch{1}{n}}*x_{n} \leq ...[/mm]
>
> >
> > Für "..." ist die IV anzuwenden.
> >
> > Und dann geeignet abzuschätzen.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Also: 0 [mm]\leq x_{n+1}= \bruch{1}{3+\bruch{1}{n}}*x_{n} \leq \bruch{7}{4} \le[/mm]
> 7
>
> ? :S
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Dann müsste man doch das erste Folgenglied ausrechnen (oder irgendein anderes) und dann einfach einsetzen, kann man sich das wirklich so einfach machen :O ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> Dann müsste man doch das erste Folgenglied ausrechnen
> (oder irgendein anderes) und dann einfach einsetzen, kann
> man sich das wirklich so einfach machen :O ?
Ja, hier hast Du doch nur die IV angewendet.
Folgenglieder müssen nicht ausgerechnet werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Nun muss ich die Monotonie beweisen:
Ich fange doch mit dieser Vermutung: [mm] x_n \ge x_n_+_1 [/mm] an ?
Induktionsanfang: [mm] x_1 [/mm] = 7 [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Induktionsannahme: [mm] x_n \ge x_n_+_1
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] x_n_+_1 \ge x_n_+_2
[/mm]
Induktionsschritt: ?
Wie geht es weiter ? Muss ich den Reziprokwert bilden ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> Nun muss ich die Monotonie beweisen:
>
> Ich fange doch mit dieser Vermutung: [mm]x_n \ge x_n_+_1[/mm] an ?
>
> Induktionsanfang: [mm]x_1[/mm] = 7 [mm]\ge \bruch{7}{4}[/mm] = [mm]x_2[/mm]
>
> Induktionsannahme: [mm]x_n \ge x_n_+_1[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: [mm]x_n_+_1 \ge x_n_+_2[/mm]
>
> Induktionsschritt: ?
>
> Wie geht es weiter ? Muss ich den Reziprokwert bilden ?
Bilde jetzt den Quotienten
[mm]\bruch{x_{n+2}}{x_{n+1}}[/mm]
und zeige, daß dieser [mm]\leq 1[/mm] ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie mache ich das ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> > Bilde jetzt den Quotienten $ [mm] \bruch{x_{n+2}}{x_{n+1}} [/mm] $ und zeige, daß dieser $ [mm] \leq [/mm] 1 $ ist.
> Wie mache ich das ?
Indem du für [mm] x_{n+2} [/mm] die Rekursionsvorschrift einsetzt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:01 Fr 25.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier stand Unsinn. es liegt kein Fehler vor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Sa 26.03.2011 | | Autor: | gfm |
Stimme zu. Des wegen meine Antwort.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Fr 25.03.2011 | | Autor: | gfm |
> Betrachten Sie die Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN[/mm] , die rekursiv
> durch [mm]x_1[/mm] = 7 , [mm]x_n_+_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{3 + \bruch{1}{n} }[/mm] *
> [mm]x_n[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] ,
> definiert ist.
>
> a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton ist.
> b) Begründen Sie, dass die Folge konvergent ist.
> c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
> Zu a) :
>
> Ich habe n= 1,2,3,4 ausgerechnet und habe folgende
> Ergebnisse:
>
> n=1 : [mm]x_2=[/mm] 1,75
>
> n=2: [mm]x_3[/mm] = 0,5
>
> n=3: [mm]x_4[/mm] = 0,15
>
> n=4: [mm]x_5[/mm] = 0,0461..
>
>
> Es heißt : [mm]a_n \ge a_n_+_1[/mm] monoton fallend
> [mm]a_n[/mm] > [mm]a_n_+_1[/mm] streng monoton fallend
>
> 7> 1,75
> 7> 0,50
> 7> 0,15
> 7> 0,0461...
>
> Ich würde jetzt sagen, dass die Folge streng monoton
> fallend ist, oder ist mein Ansatz falsch ?
Ergänzung:
Es ist [mm]x_{n+1}=f(n)*x_n[/mm], wobei [mm]1/4\le f(n)<1/3[/mm] gilt. Der Nachfolger entsteht also durch Multiplikation des Vorgängers mit einer echt positiven Zahl kleiner als eins. Damit ist der Nachfolger immer echt kleiner als der Vorgänger, sofern man mit einem echt positven [mm] x_1 [/mm] startet, was der Fall ist. Somit ist die Folge streng monoton fallend.
Aus
[mm]1/4\le f(1)<1/3[/mm]
[mm]1/4
[mm]...[/mm]
[mm]1/4
folgt
[mm](1/4)^n*x_1\le x_{n+1}<(1/3)^n*x_1[/mm]
Die Folge hat also als Minorante und Majorante jeweils eine Nullfolge. Daraus folgt der Rest.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Also soll man die Aufgabe ohne Induktion lösen oder wie ? Jetzt bin ich völlig durch den Wind :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Fr 25.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo bilmem,
> Also soll man die Aufgabe ohne Induktion lösen oder wie ?
> Jetzt bin ich völlig durch den Wind :S
Wie du die Aufgabe löst, ist dir überlassen. Aber der von gfm beschriebene Weg ist der einfachste!
LG
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem und alle anderen,
ich bin überrascht, wie eine an sich einfache Betrach-
tungsweise, die im Wesentlichen schon die ganze Lösung
mit enthält
(frühere Antwort)
durch die Idee, das müsse nun "richtig mathematisch"
gemacht werden durch vollständige Induktion etc. ,
anscheinend plötzlich wieder so kompliziert gemacht
wird, dass sich da ein ellenlanger Diskussionsthread
anschließt, der zu Komplikationen und Missverständnissen
führt.
Vielleicht wäre es wichtig, im Mathematikunterricht
darauf hinzuweisen, dass man beim Einschalten des
mathematischen Regelwerks die Regeln des gesunden
Menschenverstandes nicht ausschalten muss ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 27.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich versuche seit Tagen diese ganze Diskussion zu verstehen, reicht es also "mathematisch" aus die Aufgabe ohne Induktion zu lösen ? Löst man solche Aufgaben generell in dieser Art und Weise, wie es gfm und Al-Chwarizmi gemacht haben ? Ich bin total verwirrt und morgen steht schon meine Prüfung an :(
|
|
|
| |
|
> Ich versuche seit Tagen diese ganze Diskussion zu
> verstehen, reicht es also "mathematisch" aus die Aufgabe
> ohne Induktion zu lösen ? Löst man solche Aufgaben
> generell in dieser Art und Weise, wie es gfm und
> Al-Chwarizmi gemacht haben ? Ich bin total verwirrt und
> morgen steht schon meine Prüfung an :(
Hallo Bilmem,
dich zu verwirren, hat natürlich niemand beabsichtigt.
Doch in manchen Fällen kann man Beweisargumente,
die die Idee der Methode der vollständigen Induktion
durchaus in sich tragen, auch mit recht einfachen Worten
ausdrücken.
Ich versuche nun, dir den von gfm vorgeschlagenen
Lösungsweg noch in etwas anderer Form nahezubringen.
Folge [mm]\mbox{\Large $ (x_n)_n_\in_\IN $}[/mm] rekursiv definiert:
$ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] 7\qquad\qquad x_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\left(\bruch{1}{3 +\bruch{1}{n} }\right)}_{f_n}\ [/mm] *\ [mm] x_n\qquad\ [/mm] \ [mm] (n\in \IN) [/mm] $
Vorbetrachtung:
Die Rekursionsformel besagt, dass man aus einem
beliebigen Glied [mm] x_n [/mm] das Nachfolgeglied [mm] x_{n+1} [/mm] erhält,
indem man [mm] x_n [/mm] mit dem Faktor [mm] f_n=\bruch{1}{3 +\bruch{1}{n} }
[/mm]
multipliziert. Da der Nenner $\ 3 [mm] +\bruch{1}{n}$ [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
einen Wert im Intervall (3;4] hat , folgt [mm] $\frac{1}{4}\le f_n<\frac{1}{3}$
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] . Insbesondere sind alle diese Faktoren
[mm] f_n [/mm] positiv.
a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton ist.
Beweis:
Da [mm] x_1=7 [/mm] positiv ist und man jedes weitere Folgenglied
[mm] x_{n+1} [/mm] aus [mm] x_n [/mm] durch Multiplikation mit einem positiven
Faktor entsteht, sind alle Glieder der Folge positiv:
[mm] x_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] .
Da ferner [mm] $\frac{1}{4}\le f_n<\frac{1}{3}$ [/mm] , folgt [mm] x_{n+1}<\frac{x_n}{3}
das heißt, dass die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] streng monoton fallend
ist.
b) Begründen Sie, dass die Folge konvergent ist.
Begründung:
Unter (a) haben wir schon gezeigt, dass alle Glieder
positiv sind. Da [mm] x_1=7 [/mm] und die Folge streng monoton
fallend ist, müssen alle Folgenglieder im Intervall (0;7]
liegen, das heißt, dass die Folge beschränkt ist.
Nun ist aber jede monotone und beschränkte Folge
konvergent, also eben auch die vorliegende.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
Grenzwert:
Da alle Faktoren [mm] f_n [/mm] positive Zahlen mit [mm] 0
folgt, dass die geometrische Folge [mm] (m_n)_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] m_1=7 [/mm] und [mm] q=\frac{1}{3} [/mm] eine Majorante der Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] ist.
Sie ist aber eine Nullfolge, und da [mm] (x_n) [/mm] nur aus positiven
Gliedern besteht, so muss auch sie eine Nullfolge sein.
Es ist also
[mm] $\limes_{n\to\infty}x_n\ [/mm] =\ 0$
Jetzt fragst du dich aber womöglich: "Wie soll ich in der
Prüfung die Zeit hernehmen, um einen so ausformulierten
Beweis aufzuschreiben ?"
Darauf kann ich eigentlich nur antworten, dass es jetzt
nicht mein erstes Ziel war, dir für deine morgige Arbeit
zu einer besseren Note zu verhelfen, sondern dir (und
anderen Lesern dieses Artikels) zu zeigen, dass Mathematik
eben nicht nur im geschickten Umgang mit manchmal
komplizierten Formeln besteht, sondern viel mehr im
klaren gedanklichen Erfassen von Zusammenhängen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 27.03.2011 | | Autor: | Bilmem |
Vielen Dank für Deine Mühe :)
Ich habe noch eine kleine Frage undzwar:
> c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
>
> Grenzwert:
> Da alle Faktoren [mm]f_n[/mm] positive Zahlen mit
> [mm]0
> folgt, dass die geometrische Folge [mm](m_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]m_1=7[/mm] und [mm]q=\frac{1}{3}[/mm] eine Majorante der Folge
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] ist.
> Sie ist aber eine Nullfolge, und da [mm](x_n)[/mm] nur aus positiven
> Gliedern besteht, so muss auch sie eine Nullfolge sein.
> Es ist also
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}x_n\ =\ 0[/mm]
>
>
Du hast geschrieben, dass [mm] f_n [/mm] größer ist als 0, müsste dort nicht 1/4 stehen ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> Vielen Dank für Deine Mühe :)
>
> Ich habe noch eine kleine Frage undzwar:
>
>
>
> > c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.
> >
> > Grenzwert:
> > Da alle Faktoren [mm]f_n[/mm] positive Zahlen mit
> > [mm]0
> > folgt, dass die geometrische Folge [mm](m_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> > [mm]m_1=7[/mm] und [mm]q=\frac{1}{3}[/mm] eine Majorante der Folge
> > [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] ist.
> > Sie ist aber eine Nullfolge, und da [mm](x_n)[/mm] nur aus positiven
> > Gliedern besteht, so muss auch sie eine Nullfolge sein.
> > Es ist also
> >
> > [mm]\limes_{n\to\infty}x_n\ =\ 0[/mm]
> >
> >
>
> Du hast geschrieben, dass [mm]f_n[/mm] größer ist als 0, müsste
> dort nicht 1/4 stehen ?
Natürlich kannst Du hier auch betrachten:
[mm]\bruch{1}{4} \leq f_{n} < \bruch{1}{3}[/mm]
Dann kannst Du die rekursive Folgen zwischen
zwei geometrischen Folgen einschliessen, und zeigen,
daß deren Grenzwert der Gleiche ist, das nennt man auch
"Einschließungskriterium"
Mit [mm]0
Du aber nur eine geometrische Folge.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
