Resonanz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Wodurch wird auch im Fall von Resonanz ein unbeschränktes Anwachsen der Amplitude verhindert und wie wirkt sich dies auf die Lage der Maxima bei der Amplitudenresonanzfunktion aus? |
| Aufgabe 2 | | Die Periodendauer einer gedämpften Schwingung beträgt T = 25ms und deren Eigenfrequenz ist mit f0 = 41 Hz angegeben. Bestimmen sie die Dämpfungskonstante |
| Aufgabe 3 | Die Amplitude einer gedämpften Schwingung hat nach 100 Perioden auf die Hälfte abgenommen.
a) Wie groß ist das logarithmische Dekrement?
b) Welche Dämpfungskonstante ergibt sich für eine Schwingungsfrequenz von 50 Hz? [mm] (\wedge [/mm] = 0,007)
c) Nach welcher Zeit beträgt die Amplitude 70% des Anfangswertes? [mm] (\delta [/mm] = 0,35s^-1) |
Hallo Matheraum - Community!
Ich habe Probleme bei den oben gelisteten Aufgaben und bräuchte eure Unterstützung.
Aufgabe 1 :
Hier würde ich annehmen, dass ein unbeschränktes Anwachsen der Amplitude durch eine Dämpfung entgegengewirkt werden kann. Das müsste doch zur folge haben das das Maxima abnimmt, da ich davon ausgehe das immer ein Teil der Energie verloren geht ( z.b Mechanische Schwingung , durch Reibung wird Energie in form von Wärme abgegeben)
Aufgabe 2:
T = 25ms = 0,025s [mm] \omega [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] / 0,025s = 251,32 s^-1
f0 = 41 Hz [mm] \omega0 [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] * 41 Hz = 257,61 s^-1
Dämpfungskonstante [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel[]{(257,61)^2 - ( 251,32 s^-1)^2} [/mm] = 56,58s^-1
Aufgabe 3 :
a) Ich weiß das sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen lässt:
[mm] \wedge [/mm] = [mm] ln(\phi_n [/mm] / [mm] \phi_n{+1})
[/mm]
Nur weiß ich wirklich nicht wie ich die Aufgabenstellung mit dem logarithmischen Dekrement in Zusammenhang bringen kann.
b) [mm] \delta [/mm] = [mm] \wedge [/mm] / T = 0,007 / 0,025s^-1 = 0,35s^-1
c) Auch hier weiß ich leider nicht weiter bitte um Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mo 23.02.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Wodurch wird auch im Fall von Resonanz ein unbeschränktes
> Anwachsen der Amplitude verhindert und wie wirkt sich dies
> auf die Lage der Maxima bei der Amplitudenresonanzfunktion
> aus?
> Die Periodendauer einer gedämpften Schwingung beträgt T
> = 25ms und deren Eigenfrequenz ist mit f0 = 41 Hz
> angegeben. Bestimmen sie die Dämpfungskonstante
> Die Amplitude einer gedämpften Schwingung hat nach 100
> Perioden auf die Hälfte abgenommen.
>
> a) Wie groß ist das logarithmische Dekrement?
> b) Welche Dämpfungskonstante ergibt sich für eine
> Schwingungsfrequenz von 50 Hz? [mm](\wedge[/mm] = 0,007)
> c) Nach welcher Zeit beträgt die Amplitude 70% des
> Anfangswertes? [mm](\delta[/mm] = 0,35s^-1)
> Hallo Matheraum - Community!
>
> Ich habe Probleme bei den oben gelisteten Aufgaben und
> bräuchte eure Unterstützung.
>
> Aufgabe 1 :
>
> Hier würde ich annehmen, dass ein unbeschränktes
> Anwachsen der Amplitude durch eine Dämpfung
> entgegengewirkt werden kann. Das müsste doch zur folge
genau.
> haben das das Maxima abnimmt, da ich davon ausgehe das
> immer ein Teil der Energie verloren geht ( z.b Mechanische
> Schwingung , durch Reibung wird Energie in form von Wärme
> abgegeben)
Die Höhe des Maximums nimmt mit steigender Dämpfung ab, auch die Position wandert mit steigender Dämpfung hin zu kleineren Frequenzen.
>
>
> Aufgabe 2:
>
> T = 25ms = 0,025s [mm]\omega[/mm] = [mm]2\pi[/mm] / 0,025s = 251,32 s^-1
> f0 = 41 Hz [mm]\omega0[/mm] = [mm]2\pi[/mm] * 41 Hz = 257,61 s^-1
>
> Dämpfungskonstante [mm]\delta[/mm] = [mm]\wurzel[]{(257,61)^2 - ( 251,32 s^-1)^2}[/mm]
> = 56,58s^-1
Das Ergebnis sieht gut aus, aber Du solltest Deinen Rechenweg klarer darstellen und Zahlen wenn überhaupt erst am Ende einsetzen.
>
>
> Aufgabe 3 :
>
> a) Ich weiß das sich das logarithmische Dekrement wie
> folgt berechnen lässt:
>
> [mm]\wedge[/mm] = [mm]ln(\phi_n[/mm] / [mm]\phi_n{+1})[/mm]
>
> Nur weiß ich wirklich nicht wie ich die Aufgabenstellung
> mit dem logarithmischen Dekrement in Zusammenhang bringen
> kann.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Die letzte Gleichung sollte Dir helfen.
>
> b) [mm]\delta[/mm] = [mm]\wedge[/mm] / T = 0,007 / 0,025s^-1 = 0,35s^-1
T wird nicht in Hertz gemessen und beträgt auch nicht 0,025.
>
> c) Auch hier weiß ich leider nicht weiter bitte um Hilfe.
>
Wie sieht denn so eine Schwingung allgemein in Abhängigkeit der Zeit aus?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
Gruß,
notinX
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Hallo notinX und danke für die schnelle Antwort!
Komme ich erstmal zur Aufgabe 3:
Mit der Formel würde ich folgendes herausbekommen, wenn ich davon ausgehe das n die Anzahl der Perioden ist bis es zur Abnahme kam.
[mm] \wedge [/mm] = 1/100 * ln ( 1 / 0.5) = 0,00693
Zu dem Term in der Klammer, ich gehe davon aus das damit die Abnahme der Amplitude gemeint ist. Da es hier zu einen 50%igen Abfall der Amplitude kommt habe ich einfach die Hälfte von meinem vorherigen Wert genommen ( Welche ich da jetzt nehme macht denke ich keinen unterschied).
zur b) Es kommt 0,02s bzw 20ms dahin und nicht 0,025s^-1 ( da wir ja hier von der Periodendauer und nicht der Frequenz reden).
Nun zur c) Eine gedämpfte Schwingung müsste doch einen exponentiellen Abfall haben. Sprich die Amplitude einer gedämpften Schwingung nimmt exponentiell zum Zeitverlauf ab oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 24.02.2015 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinX und danke für die schnelle Antwort!
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> Komme ich erstmal zur Aufgabe 3:
>
> Mit der Formel würde ich folgendes herausbekommen, wenn
> ich davon ausgehe das n die Anzahl der Perioden ist bis es
> zur Abnahme kam.
>
> [mm]\wedge[/mm] = 1/100 * ln ( 1 / 0.5) = 0,00693
>
> Zu dem Term in der Klammer, ich gehe davon aus das damit
> die Abnahme der Amplitude gemeint ist. Da es hier zu einen
> 50%igen Abfall der Amplitude kommt habe ich einfach die
> Hälfte von meinem vorherigen Wert genommen ( Welche ich da
> jetzt nehme macht denke ich keinen unterschied).
Ja genau.
>
> zur b) Es kommt 0,02s bzw 20ms dahin und nicht 0,025s^-1 (
> da wir ja hier von der Periodendauer und nicht der Frequenz
> reden).
Tut mir leid, Dein erstes Ergebins war richtig, aber die Rechnung falsch.
Es gilt [mm] $\Lambda=\gamma T\Rightarrow \gamma=\frac{\Lambda}{T}=\Lambda f\approx 0,35s^{-1}$
[/mm]
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> Nun zur c) Eine gedämpfte Schwingung müsste doch einen
> exponentiellen Abfall haben. Sprich die Amplitude einer
> gedämpften Schwingung nimmt exponentiell zum Zeitverlauf
> ab oder?
Ja genau. Kannst Du dazu eine Gleichung hinschreiben? Die sieht ungefähr so aus:
[mm] $x(t)=e^{-\gamma t}\cdot(\ldots)$
[/mm]
Die Amplitude zu Beginn der Schwingung ist $x(0)$ und Du willst die Zeit wissen, nach der sie auf 70% abgesunken ist, also musst Du die Gleichung [mm] $x(t)=0,7\cdot [/mm] x(0)$ lösen.
Gruß,
notinX
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Hallo und danke für die Antwort!
Also wenn ich jetzt die Funktion x(t) = [mm] e^-(\delta [/mm] * t) * sin [mm] (\omega [/mm] * t)
Zum Zeitpunkt 0 gilt folgendes x(0) = 1
x(t) = 0.7 * x(0)
[mm] e^-(\delta [/mm] * t) = 0,7 * x(0)
[mm] -\delta [/mm] * t = ln ( 0,7 * x(0))
t = ln (0,7 * x(0)) / -0,35 = 1,02s
Wenn ich den Sinus Term weglasse... bin mir nicht sicher was ich mit dem machen soll.
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Hallo!
Die Amplitude ist normalerweise der Maximalwert, den die Schwingung annimmt, also dann, wenn sin(..)=1 ist, oder einfach der Vorfaktor. Daher ist es richtig, "den Sinus weg zu lassen".
Übrigens, zu der Dämpfung hab ich noch was: Hier ist ein Bild der Amplitude eines gedämpften Oszillators mit einer Eigenfrequenz (ungedämpft) von 1 und einer Anfangsamplitude von 1. Die Dämfung wird in 0.05er schritten von 0.05 auf 0.5 erhöht, die blaue Linie geht durch alle Maxima.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie schon festgestellt, wird die max. Amplitude kleiner, und die Resonanzfrequenz verschiebt sich nach unten.
Was noch nicht gesagt wurde ist, daß diese anfangs recht schmale Spitze mit zunehmender Dämfung auch breiter wird.
Um die Auswirkung mal an einem realen Beispiel zu erklären: Ein Radioempfänger besitzt einen Schwingkreis bzw. Oszillator, der von den Funkwellen angeregt wird. Nun ist der Schwingkreis gedämpft (Widerstände). Ist die Dämpfung klein, reagiert der Schwingkreis auf Anregung in einem sehr schmalen Frequenzbereich. Ist der Widerstand zu hoch, dann reagiert der Schwingkreis auf Anregung aus einem größeren Frequenzbereich, und wenn du Pech hast, empfängst du zwei Sender gleichzeitig. Und davon keinen besonders gut, denn die maximale Amplitude ist ja recht klein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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