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Riemannsche Summen Satz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:54 Mi 12.04.2017
Autor: X3nion

Einen schönen guten Abend zusammen! :-)

Ich hänge gerade bei den Riemannschen Summen und habe Fragen zu einem Beweis über diese.
Ich habe die Definition der Riemannschen Summe sowie der Mascheinweite abgetippt, und eben den Satz und dessen Beweis.


1) Definition Riemannsche Summe:

Sei f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion,

a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b

eine Unterteilung von [a,b] und [mm] \xi_{k} [/mm] ein beliebiger Punkt ("Stützstelle") aus dem Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}]. [/mm] Das Symbol

Z:= [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm]

bezeichne die zusammenfassung der Teilpunkte und Stützstellen

Dann heißt

S(Z,f) := [mm] \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm]

Riemannsche Summe der Funktion f bezüglich Z.


2) Ferner ist die Feinheit / Maschenweite von Z definiert als

[mm] \mu(Z) [/mm] := [mm] max(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.



3)Satz: Sei f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit [mm] \mu(Z) \le \delta [/mm] gilt

[mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \epsilon [/mm]

bzw. [mm] \limes_{\mu(Z) \rightarrow 0} [/mm] S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]


Beweis:

Sind [mm] \phi, \psi [/mm] Treppenfunktionen mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi, [/mm] so gilt offenbar für alle Zerlegungen Z

S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi). [/mm]

Daraus folgt, dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist. Sei also f bzgl. der Unterteilung

a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{m} [/mm] = b definiert. Da f beschränkt ist, existiert

M:= sup [mm] \{ |f(x)|: x \in [a,b] \} \in \IR_{+}. [/mm]

Sei Z:= [mm] ((x_{k})_{0 \le k \le n}, (\xi_{k})_{1 \le k \le n}) [/mm] irgend eine Unterteilung mit Stützstellen des Intervalls [a,b] und F [mm] \in \tau[a,b] [/mm] die durch F(a) = f(a) und

F(x) = [mm] F(\xi_{k}) [/mm] für [mm] x_{k-1} [/mm] < x [mm] \le x_{k} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)

definierte Treppenfunktion. Dann gilt

S(Z,f) = [mm] \integral_{a}^{b}{F(x) dx}, [/mm]

also [mm] \left| \integral_{a}^{b}{f(x) dx} - S(Z,f) \right| \le \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx}. [/mm]

Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] der Gesamtlänge 2m [mm] \mu(Z) [/mm] von 0 verschieden sein kann. In jedem Fall gilt aber

|f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M, also ist

[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le [/mm] 4mM [mm] \mu(Z). [/mm]

Da dies für [mm] \mu(Z) \rightarrow [/mm] 0 gegen 0 konvergiert, folgt die Behauptung des Satzes


------------


Um nun zu meinen Fragen zu kommen

a) Wieso genügt es, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist?

b) Gilt für alle Zerlegungen S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi), [/mm] da wegen [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] gilt:

[mm] \phi(\xi_{k}) \le f(\xi_{k}) \le \psi(\xi_{k}) [/mm] und deshalb insgesamt

[mm] \summe_{k=1}^{n}\psi(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) \le \summe_{k=1}^{n}f(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) \le \summe_{k=1}^{n}\psi(\xi_{k})(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] ?

c) Es steht ja geschrieben, dass offenbar für alle Zerlegungen
S(Z, [mm] \phi) \le [/mm] S(Z, f) [mm] \le S(Z,\psi) [/mm] gilt. Aber ist es so, dass im direkten Vergleich immer dieselben Zerlegungen gewählt werden, also z.B.

[mm] S(Z_{1}, \phi) \le S(Z_{1}, [/mm] f) [mm] \le S(Z_{1}, \psi) [/mm]
[mm] S(Z_{2}, \phi) \le S(Z_{2}, [/mm] f) [mm] \le S(Z_{2}, \psi) [/mm] ... ?

d) Wird mit f bereits eine Treppenfunktion betrachtet? Und ist f beschränkt, da [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] gilt?

e) Wieso stimmen die Funktionen f und F auf allen Teilintervallen [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] überein, für die [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] keinen Teilpunkt [mm] t_{j} [/mm] enthält?
Wenn man [mm] t_{0} [/mm] = [mm] x_{0}, t_{1} [/mm] = [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{m} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] wählt, so enthält doch jedes Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] Teilpunkte [mm] t_{j}, [/mm] aber f und F stimmen exakt überein.
Oder ist es so gemeint, dass - damit f und F nicht übereinstimmen - [mm] t_{j} [/mm] im Intervall [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] liegen muss aber kein Randpunkt sein darf,  also [mm] t_{j} \in ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] ?

f) Wieso kann der Betrag |f(x) - F(x)| höchstens auf 2m Teilintervallen ]x{k-1}, [mm] x_{k}[ [/mm] von 0 verschieden sein?

g) Ist die Gesamtlänge 2m [mm] \mu(Z), [/mm] da ein Intervall [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] die Länge [mm] \mu(Z) [/mm] hat und diese Länge dann mit 2m multipliziert wird?

h) Folgt aus |f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M schlussendlich

[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le [/mm] 4mM [mm] \mu(Z), [/mm]

da sich f(x) höchstens für die Intervalllänge 2m [mm] \mu(Z) [/mm] von F(x) unterscheiden kann ( ansonsten gilt ja f(x) = F(x) ) und somit gilt:

|f(x) - F(x)| [mm] \le [/mm] 2M => [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - F(x)| dx} \le \integral_{a}^{b}{2M dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{a + 2m \mu(Z)}{2M dx} [/mm] = 2M ( a + 2m [mm] \mu(Z) [/mm] ) - 2Ma = 4mM [mm] \mu(Z), [/mm] wobei ich beim vorletzten Gleichheitszeichen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt habe?


Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Riemannsche Summen Satz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 17.04.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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