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SKP und Lösungsmenge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mo 30.06.2014
Autor: LinaInfo

Aufgabe
Wir betrachten [mm] \IR^3 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt und die Lösungsmenge [mm] E\subseteq\IR^3 [/mm] der Gleichung:
3x+3y-z=5
a) Warum ist E eine Ebene?
b) Geben sie einen Normalenvektor von E an
c) Bestimmen Sie den Abstand von E zum Punkt (0,0,0) [mm] \in \IR^3 [/mm]
d) Wie lautet die Normalform von E?

Heyho Matheraum!
Ich komme bei manchen Aufgaben nicht weiter oder bin mir unsicher.
a) Ich weiß nicht so recht wie ich das belegen soll.
b) Naja den Normalenvektor kann man ja einfach ablesen:
[mm] \vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1} [/mm]
c)Ich habe mal die Hessesche Normalform in Koordinatenschreibweise angewendet:
E: 2x+3y-z=5
[mm] \vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1} [/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}=\wurzel{9}=3 [/mm]
d=(2*0+3*0-1*0-5)/3=5/3
Also müsste der Abstand 5/3 betragen.
d)Mir fällt gerade keine Gleichung ein.

Liebe Grüße Lina
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
SKP und Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Mo 30.06.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenvh]

> Wir betrachten [mm]\IR^3[/mm] mit dem Standardskalarprodukt und die
> Lösungsmenge [mm]E\subseteq\IR^3[/mm] der Gleichung:
> 3x+3y-z=5
> a) Warum ist E eine Ebene?
> b) Geben sie einen Normalenvektor von E an
> c) Bestimmen Sie den Abstand von E zum Punkt (0,0,0) [mm]\in \IR^3[/mm]

>

> d) Wie lautet die Normalform von E?
> Heyho Matheraum!
> Ich komme bei manchen Aufgaben nicht weiter oder bin mir
> unsicher.
> a) Ich weiß nicht so recht wie ich das belegen soll.

Da würde ich über die Normalenform einer Ebene

E: [mm] \left(\vec{x}-\vec{p}\right)*\vec{n}=0 [/mm]

argumentieren und zeigen, dass man die gegebene Koordinatenform entsprechend umformen kann.

> b) Naja den Normalenvektor kann man ja einfach ablesen:
> [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]

Der passt aber nicht zur gegebenen Gleichung!

> c)Ich habe mal die Hessesche
> Normalform in Koordinatenschreibweise angewendet:
> E: 2x+3y-z=5
> [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]

>

> [mm]|\vec{n}|=\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}=\wurzel{9}=3[/mm]
> d=(2*0+3*0-1*0-5)/3=5/3

Jetzt solltest du dich so langsam für eine VErsion entscheiden. Die Zahlen siond völlig falsch, die methode ist richtig.

> Also müsste der Abstand 5/3 betragen.
> d)Mir fällt gerade keine Gleichung ein.

>

Was meinst du damit? Also konkret: mit dieser Problembeschreibung kann man nichts anfangen. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
SKP und Lösungsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Mo 30.06.2014
Autor: LinaInfo


> Da würde ich über die Normalenform einer Ebene
>  
> E: [mm]\left(\vec{x}-\vec{p}\right)*\vec{n}=0[/mm]
>  
> argumentieren und zeigen, dass man die gegebene
> Koordinatenform entsprechend umformen kann.
>  

Ah stimmt super danke!

> > b) Naja den Normalenvektor kann man ja einfach ablesen:
>  > [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]

>  
> Der passt aber nicht zur gegebenen Gleichung!
>  

Oh stimmt es muss: [mm] \vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ -1} [/mm] sein.

> > c)Ich habe mal die Hessesche
>  > Normalform in Koordinatenschreibweise angewendet:

>  > E: 2x+3y-z=5

>  > [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]

>  >
>  > [mm]|\vec{n}|=\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}=\wurzel{9}=3[/mm]

>  > d=(2*0+3*0-1*0-5)/3=5/3

>  
> Jetzt solltest du dich so langsam für eine VErsion
> entscheiden. Die Zahlen sind völlig falsch, die methode
> ist richtig.
>  

Bei d müsste es ja heißen:
HNF: (2x+3y+(-z)-5)/3=d
jetzt den Punkt einsetzen:
d= (2*0+3*0+(-1)*0-5)/3
und raus kommt 5/3.
Wieso sind das falsche zahlen?

>  > d)Mir fällt gerade keine Gleichung ein.

>  >
>  
> Was meinst du damit? Also konkret: mit dieser
> Problembeschreibung kann man nichts anfangen. :-)
>  

Naja bei den anderen Aufgaben gab es immer eine Formel oder einen Satz der beschreibt wie man so etwas berechnet oder zeigt. Ich finde nur nichts für die Normalform von E.

>
> Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
SKP und Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Mo 30.06.2014
Autor: Diophant

Hallo,

das passt alles nicht zusammen und legt den Verdacht nahe, dass du dich da nicht wirklich mit der Thematik auseinandergesetzt hast. Hier schreibst du:

> > Da würde ich über die Normalenform einer Ebene
> >
> > E: [mm]\left(\vec{x}-\vec{p}\right)*\vec{n}=0[/mm]
> >
> > argumentieren und zeigen, dass man die gegebene
> > Koordinatenform entsprechend umformen kann.
> >
> Ah stimmt super danke!

>

Also muss man davon ausgehen, dass dir die Normalenform einer Ebene bekannt ist und ebenso der Sinn meines Tipps?

> > > b) Naja den Normalenvektor kann man ja einfach ablesen:
> > > [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]
> >
> > Der passt aber nicht zur gegebenen Gleichung!
> >
> Oh stimmt es muss: [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ -1}[/mm] sein.

Nein, bei der im Themenstart gegebenen Gleichung

E: 3x+3y-z=5

lautet der Normalenvektor

[mm] \vec{n}=\vektor{3\\3\\-1} [/mm]

>

> > > c)Ich habe mal die Hessesche
> > > Normalform in Koordinatenschreibweise angewendet:
> > > E: 2x+3y-z=5
> > > [mm]\vec{n}=\vektor{2\\ 3\\ 1}[/mm]
> > >
> > > [mm]|\vec{n}|=\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}=\wurzel{9}=3[/mm]
> > > d=(2*0+3*0-1*0-5)/3=5/3
> >
> > Jetzt solltest du dich so langsam für eine VErsion
> > entscheiden. Die Zahlen sind völlig falsch, die methode
> > ist richtig.
> >
> Bei d müsste es ja heißen:
> HNF: (2x+3y+(-z)-5)/3=d
> jetzt den Punkt einsetzen:
> d= (2*0+3*0+(-1)*0-5)/3
> und raus kommt 5/3.
> Wieso sind das falsche zahlen?

Siehe oben.

>

> > > d)Mir fällt gerade keine Gleichung ein.
> > >
> >
> > Was meinst du damit? Also konkret: mit dieser
> > Problembeschreibung kann man nichts anfangen. :-)
> >
> Naja bei den anderen Aufgaben gab es immer eine Formel oder
> einen Satz der beschreibt wie man so etwas berechnet oder
> zeigt. Ich finde nur nichts für die Normalform von E.
> >

Warum bestätigst du dann weiter oben, den Sinn des Tipps mit der Umformung verstanden zu haben?

Die Normalenform einer Ebene wird i.d.R. in der Darstellung

E: [mm] \left(\vec{x}-\vec{p}\right)*\vec{n}=0 [/mm]

angegeben, wobei P ein beliebiger Punkt der Ebene ist. Mach dir klar, was diese Gleichung geoometrisch aussagt (wann ist das Skalarproduklt gleich Null?), dann solltest du eine Antwort auf a) auch ohne Angabe der Normalenform hinbekommen (die ja offensichtlich erst in d) gesucht ist).

Auf jeden Fall solltest du dich in die Materie gründlicher einarbeiten, das ist alles Schulstoff und sollte sitzen!


Gruß, Diophant

Bezug
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