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Satz von Arzela-Ascoli < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Arzela-Ascoli: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Do 06.10.2016
Autor: Lohrre

Aufgabe
Satz von Arzela Ascoli: J:=[a,b] , [mm] ({f_n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] f_n: [/mm] J [mm] \to \IR [/mm] gleichgradig stetig. Außerdem [mm] |(f_n) [/mm] (x)| [mm] \le [/mm] C, für n [mm] \ge [/mm] 1, x [mm] \in [/mm] J. Dann existiert eine gleichmäßig konvergente Teilfolge [mm] {(f_n_k)}_{k \in \IN}. [/mm]

Hallo,

ich habe Probleme beim Beweis zum Satz von Arzela Ascoli.
Zum Beweis:

A:= [mm] {x_1,x_2, ...} [/mm] sei eine abzählbare in J dichte Punktemenge Die Folge [mm] {(f_n(x1))}_{n \in \IN} [/mm] ist beschränkt. (ERSTES WARUM?)

Nach Satz von Bolzano - Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge [mm] {(f_n_k(x1))}{k \in \IN}. [/mm] Die Folge [mm] {(f_n_k(x2))}_{k \in \IN} [/mm] ist ebenfalls beschränkt (WIEDER WARUM?), also existiert eine konvergente Teilfolge [mm] {(f_n_k_l(x2))}_{l \in \IN}. [/mm] Durch Fortfahren des Prozesses erhält man Folgen der Form:
[mm] {(f_n_k)}{k \in \IN} [/mm] ist konvergent für [mm] x_1 [/mm]
[mm] {(f_n_k_l)}{l \in \IN} [/mm] ist konvergent für [mm] x_1,x_2 [/mm]
.
.
.

Diagonalfolge [mm] f_N_1,f_n_k_1,... [/mm] ist für [mm] x_1,x_2,.. [/mm] konvergent. (WARUM??)
Es folgt,dass die Diagonalfolge glm. konvergent ist (wg. eines Satzes, der sagt, wenn die Funktionenfolge in J gleichgradigstetid und konv. für x einer dichten Teilmenge ist, dann konv. die Funktionenfolge auch für x [mm] \in [/mm] J.)


Hoffentlich findet sich wieder jemand, der mir weiterhelfen kann :)

Danke euch, mfg Lohrre

        
Bezug
Satz von Arzela-Ascoli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Do 06.10.2016
Autor: fred97


> Satz von Arzela Ascoli: J:=[a,b] , [mm]({f_n})_{n \in \IN}[/mm] mit
> [mm]f_n:[/mm] J [mm]\to \IR[/mm] gleichgradig stetig. Außerdem [mm]|(f_n)[/mm] (x)|
> [mm]\le[/mm] C, für n [mm]\ge[/mm] 1, x [mm]\in[/mm] J. Dann existiert eine
> gleichmäßig konvergente Teilfolge [mm]{(f_n_k)}_{k \in \IN}.[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe Probleme beim Beweis zum Satz von Arzela Ascoli.
> Zum Beweis:
>  
> A:= [mm]{x_1,x_2, ...}[/mm] sei eine abzählbare in J dichte
> Punktemenge Die Folge [mm]{(f_n(x1))}_{n \in \IN}[/mm] ist
> beschränkt. (ERSTES WARUM?)

es ist doch [mm] |f_n (x_1)| \le [/mm] C für jedes n ( nach Voraussetzung )


>  
> Nach Satz von Bolzano - Weierstraß existiert eine
> konvergente Teilfolge [mm]{(f_n_k(x1))}{k \in \IN}.[/mm] Die Folge
> [mm]{(f_n_k(x2))}_{k \in \IN}[/mm] ist ebenfalls beschränkt (WIEDER
> WARUM?),


gleicher Grund wie oben



> also existiert eine konvergente Teilfolge
> [mm]{(f_n_k_l(x2))}_{l \in \IN}.[/mm] Durch Fortfahren des Prozesses
> erhält man Folgen der Form:
>  [mm]{(f_n_k)}{k \in \IN}[/mm] ist konvergent für [mm]x_1[/mm]
>  [mm]{(f_n_k_l)}{l \in \IN}[/mm] ist konvergent für [mm]x_1,x_2[/mm]
>  .
>  .
>  .
>  
> Diagonalfolge [mm]f_N_1,f_n_k_1,...[/mm] ist für [mm]x_1,x_2,..[/mm]
> konvergent. (WARUM??)

Nach Konstruktion !


Fred


>   Es folgt,dass die Diagonalfolge glm. konvergent ist (wg.
> eines Satzes, der sagt, wenn die Funktionenfolge in J
> gleichgradigstetid und konv. für x einer dichten Teilmenge
> ist, dann konv. die Funktionenfolge auch für x [mm]\in[/mm] J.)
>  
>
> Hoffentlich findet sich wieder jemand, der mir weiterhelfen
> kann :)
>  
> Danke euch, mfg Lohrre


Bezug
                
Bezug
Satz von Arzela-Ascoli: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 06.10.2016
Autor: Lohrre

Ok, danke! Die ersten zwei Warum's sind mir jetzt klar! Aber das dritte (nach Kosntruktion?) verstehe ich leider nicht.

MFG

Bezug
                        
Bezug
Satz von Arzela-Ascoli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Fr 07.10.2016
Autor: fred97

$ [mm] {(f_{n_k})}_{k \in \IN} [/mm] $ ist konvergent für $ [mm] x_1 [/mm] $
$ [mm] {(f_{n_{k_l}})}_{l \in \IN} [/mm] $ ist konvergent für $ [mm] x_1,x_2 [/mm] $
...
...
...

Die Diagonalfolge nenne ich mal [mm] (d_j). [/mm]

Dann ist [mm] (d_j(x_1))_{j \ge 1} [/mm] eine Teilfolge von [mm] (f_{n_k}(x_1)), [/mm] also ist [mm] (d_j(x_1))_{j \ge 1} [/mm] konvergent.

Weiter ist  [mm] (d_j(x_1))_{j \ge 2} [/mm] eine Teilfolge von [mm] (f_{n_{k_l}})(x_2), [/mm] also ist [mm] (d_j(x_2))_{j \ge 1} [/mm] konvergent.

Genauso:  [mm] (d_j(x_3))_{j \ge 3} [/mm] ist eine Teilfolge der dritten Zeilenfolge oben, also ist [mm] (d_j(x_3))_{j \ge 1} [/mm] konvergent.


Etc .....

Bezug
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