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Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 13.04.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Im Forster gibt es einen Satz zum Riemannschen Integral:

Sei a < b < c und f: [a,c] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion. f ist genau dann integrierbar, wenn sowohl f| [a,b] als auch f| [b,c] integrierbar sind und es gilt dann

[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm]

Der einfache Beweis sei dem Leser überlassen.
Na dann mache ich mich mal ran... :-)


a) Sei zuerst einmal vorausgesetzt, dass f: [a,c] integrierbar ist. Dann gibt es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c] [/mm] mit

[mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm]


Zu zeigen ist: Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]

und:

Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[b,c] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]


Gemäß Definition gilt

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] und analog
[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]

Deshalb folgt aus [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]

=> [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon. [/mm]

Dann gilt aber auch [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] und [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm]

Wegen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c] [/mm] und [a,b] [mm] \subset [/mm] [a,c] sowie [b,c] [mm] \subset [/mm] [a,c] ist dies gleichbedeutend ist mit der Integrierbarkeit von f| [a,b] sowie f| [b,c]


Wäre dies so korrekt?



b) Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass sowohl f| [a,b] als auch f| [b,c] integrierbar sind.
Dann gibt es gemäß Voraussetzung zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \frac{\epsilon}{2} [/mm]

und:

Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[b,c] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \frac{\epsilon}{2}. [/mm]

Addiert man nun beides, so ergibt sich: [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] <=> [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon [/mm]

Es gilt nun gemäß Definition, dass [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] und analog
[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]

Somit folgt insgesamt

[mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon, [/mm]

was gleichbedeutend ist mit der Integrierbarkeit von f: [a,c]


Wäre das soweit in Ordnung?


c)  Bleibt noch zu zeigen: [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm]

bzw.

[mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

<=> [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] = [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f\} [/mm] + [mm] inf\{\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm]


Es gilt gemäß Definition: [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm]

Folglich gilt [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] = [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} + \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f, \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm]


Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man weitermachen?



Ich wäre für eure Tipps und Antworten wie immer dankbar! :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Do 13.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> a) Sei zuerst einmal vorausgesetzt, dass f: [a,c]
> integrierbar ist. Dann gibt es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0
> Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,c][/mm] mit
>  
> [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon.[/mm]

[ok]


> Dann gilt aber auch [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon[/mm]

Warum?
Also die Aussage stimmt, aber einen kleinen Hinweis über die Nichtnegativität gewisser Summanden fände ich hier noch angebracht.

> Wäre dies so korrekt?

Ja.


> und:
>  
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[b,c][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und

Wer sagt dir, dass das dieselben Funktionen sind?
Erst mal sind das natürlich unterschiedliche Funktionen.

> Wäre das soweit in Ordnung?

Ja.


> Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man weitermachen?

Ja, aber es geht deutlich einfacher.
Mach dir mal klar, dass [mm] $f|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f*1_{[a,b]} [/mm] + [mm] f*1_{[b,c]}$ [/mm] und dann einfach Additivität des Integrals nutzen…

Gruß.
Gono

Bezug
                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Fr 14.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,

Hallo Gono und Danke für deinen Beitrag :-)

> > Dann gilt aber auch [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] -
> > [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon[/mm]
>  Warum?
>  Also die Aussage stimmt, aber einen kleinen Hinweis über
> die Nichtnegativität gewisser Summanden fände ich hier
> noch angebracht.

Wie meinst du das mit der "Nichtnegativitär gewisser Summanden? ?

>  
>
> > und:
>  >  
> > Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[b,c][/mm]
> mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>  Wer sagt dir, dass das dieselben Funktionen sind?
>  Erst mal sind das natürlich unterschiedliche Funktionen.

Achso, würde man die dann anders benennen, also z.B. [mm] \phi_{2} [/mm] und [mm] \psi_{2} [/mm] ?

> > Wäre das soweit in Ordnung?
>  Ja.
>  
>
> > Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man
> weitermachen?
>  Ja, aber es geht deutlich einfacher.
>  Mach dir mal klar, dass [mm]f|_{[a,c]} = f*1_{[a,b]} + f*1_{[b,c]}[/mm]
> und dann einfach Additivität des Integrals nutzen…

Was meinst du genau mit [mm] f|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f*1_{[a,b]} [/mm] + [mm] f*1_{[b,c]} [/mm] ?

>  
> Gruß.
>  Gono

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 So 16.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie meinst du das mit der "Nichtnegativitär gewisser  Summanden? ?

Na du argumentierst doch:

Aus: $ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon [/mm] $

Folgt sowohl:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] $ als auch $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon$ [/mm]

Wie begründest du das?

> Achso, würde man die dann anders benennen, also z.B.
> [mm]\phi_{2}[/mm] und [mm]\psi_{2}[/mm] ?

Sauberer wäre das, ja.

[mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \psi_1 [/mm] wären dann ja Treppenfunktionen auf [a,b] und [mm] \phi_2 [/mm] und [mm] \psi_2 [/mm] wären Treppenfunktionen auf [a,c]

Mach dir dann mal klar, dass die "verklebten" Treppenfunktionen [mm] $\phi [/mm] = [mm] \phi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \phi_21_{[b,c]}$ [/mm] und für [mm] \psi [/mm] analog dann aber Treppenfunktionen auf [a,c] sind.
Demzufolge ist das "nur" eine technische, aber eigentlich notwendige Argumentation.

> Was meinst du genau mit [mm]f|_{[a,c]}[/mm] = [mm]f*1_{[a,b]}[/mm] +
> [mm]f*1_{[b,c]}[/mm] ?

Links steht f eingeschränkt auf [a,c], rechts steht f multipliziert mit der Indikatorfunktion auf [a,b] bzw [b,c] (und rein formal stimmt die Gleichheit natürlich nicht für die Stelle b, aber Unterschiede an einer Stelle sind fürs Integral ja eh egal.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Di 25.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Gono und Danke für deine Antwort! :-)

Die Indikatorfunktion kanne ich bisher noch nicht, aber ich habe mich eingelesen und sie besagt folgendes:

[mm] 1_{[a,b]} \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [a,b] \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} [/mm]

Dann versuche ich mal, meine Schritte genauer zu präzisieren:

a) Sei zuerst einmal vorausgesetzt, dass f: [a,c] integrierbar ist. Dann gibt es zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 Treppenfunktionen $ [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c] [/mm] $ mit

$ [mm] \phi \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi [/mm] $ und

$ [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm] $


Zu zeigen ist: Zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 gibt es Treppenfunktionen $ [mm] \phi_{1}, \psi_{1} \in \tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \phi_{1} \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi_{1} [/mm] $ und

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} \le \epsilon [/mm] $

und:

Zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 gibt es Treppenfunktionen $ [mm] \phi_{2}, \psi_{2} \in \tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \phi_{2} \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi_{2} [/mm] $ und

$ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} \le \epsilon [/mm] $

Setze nun $ [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \phi_21_{[b,c]} [/mm] $ und analog [mm] \psi [/mm] = [mm] \psi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \psi_21_{[b,c]}. [/mm]

Für x [mm] \in [/mm] [a,b] gilt dann [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi_{1}(x), \psi(x) [/mm] = [mm] \psi_{1}(x) [/mm] und somit:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} \le \epsilon [/mm] $

Analog ergibt sich für x [mm] \in [/mm] [a,c]:

$ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} \le \epsilon. [/mm] $

Folglich sind f|: [a,b] und f|: [b,c] integrierbar.


b) Seien umgekehrt f|: [a,b] und f|: [b,c] integrierbar.

Dann gibt es zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen

[mm] \phi_{1}, \psi_{1} \in \tau[a,b] [/mm]  mit  [mm] \phi_{1} \le [/mm]  f  [mm] \le \psi_{1}, [/mm]

[mm] \phi_{2}, \psi_{2} \in \tau[b,c] [/mm]  mit  [mm] \phi_{2} \le [/mm]  f  [mm] \le \psi_{2} [/mm]

und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx} [/mm]  -  [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} \le \epsilon/2 [/mm]

sowie

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm]  -  [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} \le \epsilon/2 [/mm]


Aus der Definition folgt direkt:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] $

Zusammen mit dem Satz über die Monotonie von Treppenfunktionen folgt:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx} [/mm] $  -  $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} [/mm] + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm] $  -  $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} \le \epsilon [/mm]

Setze nun wiederum $ [mm] \phi [/mm] = [mm] \phi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \phi_21_{[b,c]} [/mm] $ und analog [mm] \psi [/mm] = [mm] \psi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \psi_21_{[b,c]}. [/mm] Dann sind [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c]. [/mm]

Für x [mm] \in [/mm] [a,b] gilt:


$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx} [/mm] $  -  $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} [/mm] + $ $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm] $  - $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} [/mm] =  [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] $

und analog für x [mm] \in [/mm] [b,c]

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm]


=> Die Funktion f: [a,c] ist integrierbar.




------

Wäre dies so nun in Ordnung?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Mi 26.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sieht soweit schick aus… eine grundlegende Kleinigkeit hast du aber vergessen :-)

> Setze nun wiederum [mm]\phi = \phi_1 1_{[a,b]} + \phi_21_{[b,c]}[/mm]
> und analog [mm]\psi[/mm] = [mm]\psi_1 1_{[a,b]}[/mm] + [mm]\psi_21_{[b,c]}.[/mm] Dann
> sind [mm]\phi, \psi \in \tau[a,c].[/mm]

Nämlich [mm] $\phi \le [/mm] f [mm] \le \psi$. [/mm]
Das ist ja durchaus relevant :-)

> Wäre dies so nun in Ordnung?

Ja.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 26.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,

Hallo Gono,
Danke für's Drüberschauen :-)

> sieht soweit schick aus… eine grundlegende Kleinigkeit
> hast du aber vergessen :-)

> > Setze nun wiederum [mm]\phi = \phi_1 1_{[a,b]} + \phi_21_{[b,c]}[/mm]
> > und analog [mm]\psi[/mm] = [mm]\psi_1 1_{[a,b]}[/mm] + [mm]\psi_21_{[b,c]}.[/mm] Dann
> > sind [mm]\phi, \psi \in \tau[a,c].[/mm]
>  
> Nämlich [mm]\phi \le f \le \psi[/mm].
>  Das ist ja durchaus relevant
> :-)

Ja klar!

Wie würde man denn nun noch die Aussage zeigen, dass

[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm] ?

Mein Ansatz war ja zu zeigen, dass

$ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $

also die ganze Aussage für Oberintegrale zu zeigen?

Wäre dieser Ansatz zielführend? Oder gibt es einen eleganteren Weg, den über
f| [a,c] = f * [mm] 1_{[a,b]} [/mm] + f * [mm] 1_{[b,c]} [/mm] ?

> Gruß,
>  Gono

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Fr 28.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mein Ansatz war ja zu zeigen, dass
>
> [mm]\integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm]
>  
> also die ganze Aussage für Oberintegrale zu zeigen?

Kannst du so machen… ist aber umständlich!
  

> Wäre dieser Ansatz zielführend? Oder gibt es einen
> eleganteren Weg, den über
> f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm]1_{[b,c]}[/mm] ?

also den finde ich deutlich eleganter!
Du weißt bereits, dass alles oben integrierbare Funktionen sind.
Du weißt, das Integral ist linear…

na nun fang doch mal mit:

[mm] $\int_a^c [/mm] f(x) dx = [mm] \int_a^c f(x)|_{[a,c] } [/mm] dx = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx + [mm] \int_b^c [/mm] f(x) dx$

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Fr 28.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,
>  
> > Mein Ansatz war ja zu zeigen, dass
> >
> > [mm]\integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] =
> > [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] +
> > [mm]\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm]
>  >  
> > also die ganze Aussage für Oberintegrale zu zeigen?
>  
> Kannst du so machen… ist aber umständlich!
>    
> > Wäre dieser Ansatz zielführend? Oder gibt es einen
> > eleganteren Weg, den über
> > f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm]1_{[b,c]}[/mm] ?
>  
> also den finde ich deutlich eleganter!
>  Du weißt bereits, dass alles oben integrierbare
> Funktionen sind.
>  Du weißt, das Integral ist linear…
>  
> na nun fang doch mal mit:
>  
> [mm]\int_a^c f(x) dx = \int_a^c f(x)|_{[a,c] } dx = \ldots = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx[/mm]
>  
> Gruß,
>  Gono


Hallo Gono und Danke für deinen Beitrag :-)

Mit f| [a,c] = f * [mm] 1_{[a,b]} [/mm] + f * [mm] 1_{[b,c]} [/mm] ist:

Es ist [mm] \int_a^c [/mm] f(x) dx = [mm] \int_a^c f(x)|_{[a,c] } [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{c}{(f(x) * 1_{[a,b]} + f(x) * 1_{[b,c]}) dx} [/mm] = [mm] \int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[a,b]} dx} [/mm] + [mm] \int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b}{f(x) * 1_{[a,b]} dx} [/mm] + [mm] \int_{b}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \int_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm]


Wäre das soweit ok?

Viele Grüße,
X3nion

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Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Fr 28.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es ist [mm]\int_a^c[/mm] f(x) dx = [mm]\int_a^c f(x)|_{[a,c] }[/mm] dx =
> [mm]\int_{a}^{c}{(f(x) * 1_{[a,b]} + f(x) * 1_{[b,c]}) dx}[/mm] =
> [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]
> = [mm]\int_{a}^{b}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{b}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]
> = [mm]\int_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\int_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm]

[ok]

Gruß,
Gono

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Satz zu Integralen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Fr 28.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Gono,

okay perfekt, Danke :-)

Gruß X3nion

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Satz zu Integralen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Fr 28.04.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen,


etwas Wasser in den Wein:


> Mit f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm]1_{[b,c]}[/mm] ist:

Diese Gleichheit stimmt nur fast: An der Stelle b stimmen die beiden Funktionen im Allgemeinen nicht überein.

Hier lässt sich die Argumentation retten, indem man die Tatsache nutzt (und bei Bedarf beweist), dass Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler Funktionswerte erhalten bleiben.


> Es ist [mm]\int_a^c[/mm] f(x) dx = [mm]\int_a^c f(x)|_{[a,c] }[/mm] dx =
> [mm]\int_{a}^{c}{(f(x) * 1_{[a,b]} + f(x) * 1_{[b,c]}) dx}[/mm] =

(Hier und im Folgenden fehlt das (x) hinter den Indikatorfunktionen.)


> [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]
> = [mm]\int_{a}^{b}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{b}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]

Wie würdet ihr diesen Schritt begründen?
Wenn ich nichts übersehe, muss man spätestens hier alles auf die Integral-Definition herunterbrechen.
Daher frage ich mich, ob dieser Weg wirklich kürzer wird als der ursprünglich von X3nion eingeschlagene direkte Weg über die Integral-Definition.


Viele Grüße
Tobias

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Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Fr 28.04.2017
Autor: X3nion


> Hallo zusammen,

Hallo Tobias!

> etwas Wasser in den Wein:

dann ist er nicht so stark;-)

> > Mit f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm]1_{[b,c]}[/mm] ist:
>  Diese Gleichheit stimmt nur fast: An der Stelle b stimmen
> die beiden Funktionen im Allgemeinen nicht überein.

Stimmt, jetzt wo du es sagst, wäre ja dann f(b) = f(b) + f(b).
Könnte man hier nicht schreiben: f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm] 1_{]b,c]}? [/mm]

> Hier lässt sich die Argumentation retten, indem man die
> Tatsache nutzt (und bei Bedarf beweist), dass
> Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler
> Funktionswerte erhalten bleiben.

Wie würde man dies dann beweisen?
Also was ich weiß ist, dass wenn [mm] \phi \in \tau[a,b] [/mm] gegeben ist bzgl. der Unterteilung

a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b gegeben ist und wenn [mm] \phi [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] für k = 1, ..., n ist.

Dann ist [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}). [/mm]

Also schließe ich daraus, dass es ausreicht, dass [mm] \phi [/mm] (x) = [mm] c_{k} [/mm] ( für [mm] x\in ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] ) ist.
In der Formel [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] werden ja die Funktionswerte von [mm] \phi [/mm] an den Stellen [mm] x_{k} [/mm] nicht beachtet, sondern es wird ja vielmehr wegen [mm] c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] die die Breite des Rechtecks auf die Punkte [mm] x_{k} [/mm] und [mm] x_{k-1} [/mm] fortgesetzt.

Könnte dieser Zusammenhang etwas damit zu tun haben?

> > Es ist [mm]\int_a^c[/mm] f(x) dx = [mm]\int_a^c f(x)|_{[a,c] }[/mm] dx =
> > [mm]\int_{a}^{c}{(f(x) * 1_{[a,b]} + f(x) * 1_{[b,c]}) dx}[/mm] =
> (Hier und im Folgenden fehlt das (x) hinter den
> Indikatorfunktionen.)

Ups ja klar!

> > [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{a}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]
> > = [mm]\int_{a}^{b}{f(x) * 1_{[a,b]} dx}[/mm] + [mm]\int_{b}^{c}{f(x) * 1_{[b,c]} dx}[/mm]
> Wie würdet ihr diesen Schritt begründen?
>  Wenn ich nichts übersehe, muss man spätestens hier alles
> auf die Integral-Definition herunterbrechen.
>  Daher frage ich mich, ob dieser Weg wirklich kürzer wird
> als der ursprünglich von X3nion eingeschlagene direkte Weg
> über die Integral-Definition.

Ja die Option habe ich mir auch offengehalten.
Man müsste zeigen: [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

<=> $ [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] $ = $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f\} [/mm] $ + $ [mm] inf\{\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm] $


Es folgt ja eigentlich direkt aus der Definition: $ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $


Folglich gilt $ [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] $ = $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} + \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f, \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm] $

Hier wüsste ich aber nicht, wie ich von [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} + \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f, \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm] auf $ [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f\} [/mm] $ + $ [mm] inf\{\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm] $ kommen soll.


Hast du / hat jemand von euch einen Rat? ;-)

> Viele Grüße
>  Tobias


Viele Grüße,
X3nion

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Satz zu Integralen: 1. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Fr 28.04.2017
Autor: tobit09


> > > Mit f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm] + f * [mm]1_{[b,c]}[/mm] ist:
>  >  Diese Gleichheit stimmt nur fast: An der Stelle b
> stimmen
> > die beiden Funktionen im Allgemeinen nicht überein.
>  
> Stimmt, jetzt wo du es sagst, wäre ja dann f(b) = f(b) +
> f(b).
>  Könnte man hier nicht schreiben: f| [a,c] = f * [mm]1_{[a,b]}[/mm]
> + f * [mm]1_{]b,c]}?[/mm]

Ja.


> > Hier lässt sich die Argumentation retten, indem man die
> > Tatsache nutzt (und bei Bedarf beweist), dass
> > Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler
> > Funktionswerte erhalten bleiben.
>  
> Wie würde man dies dann beweisen?
>  Also was ich weiß ist, dass wenn [mm]\phi \in \tau[a,b][/mm]
> gegeben ist bzgl. der Unterteilung
>  
> a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b gegeben ist und wenn
> [mm]\phi[/mm] | [mm]]x_{k-1}, x_{k}[[/mm] = [mm]c_{k}[/mm] für k = 1, ..., n ist.
>
> Dann ist [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k}[/mm]
> - [mm]x_{k-1}).[/mm]
>  
> Also schließe ich daraus, dass es ausreicht, dass [mm]\phi[/mm] (x)
> = [mm]c_{k}[/mm] ( für [mm]x\in ]x_{k-1}, x_{k}[[/mm] ) ist.
>  In der Formel [mm]\summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]
> werden ja die Funktionswerte von [mm]\phi[/mm] an den Stellen [mm]x_{k}[/mm]
> nicht beachtet, sondern es wird ja vielmehr wegen
> [mm]c_{k}(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm] die die Breite des Rechtecks auf die
> Punkte [mm]x_{k}[/mm] und [mm]x_{k-1}[/mm] fortgesetzt.
>  
> Könnte dieser Zusammenhang etwas damit zu tun haben?

Ich glaube, du hast die wesentliche Idee: Das Integral von Treppenfunktionen hängt nicht von endlich vielen Funktionswerten der Treppenfunktion ab, da diese als Stützstellen gewählt werden können und damit "nicht in die Berechnung des Integrals einfließen".

Schließlich gilt es noch, mithilfe dieser Erkenntnis zu zeigen, dass Ober- und Unterintegral beliebiger beschränkter Funktionen [mm] $f\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] sich bei Abänderung endlich vieler Funktionswerte von f nicht ändern.

Falls du einen detaillierten Beweis suchst, schlage ich vor, dass du dafür einen neuen Thread eröffnest. Dann bleibt es übersichtlicher.

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Satz zu Integralen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:01 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias und vielen Dank für deine Antwort! :-)



> Ich glaube, du hast die wesentliche Idee: Das Integral von Treppenfunktionen > hängt nicht von endlich vielen Funktionswerten der Treppenfunktion ab, da  
> diese als Stützstellen gewählt werden können und damit "nicht in die
> Berechnung des Integrals einfließen".

> Schließlich gilt es noch, mithilfe dieser Erkenntnis zu zeigen, dass Ober- und
> Unterintegral beliebiger beschränkter Funktionen $ [mm] f\colon[a,b]\to\IR [/mm] $ sich
> bei Abänderung endlich vieler Funktionswerte von f nicht ändern.

> Falls du einen detaillierten Beweis suchst, schlage ich vor, dass du dafür einen > neuen Thread eröffnest. Dann bleibt es übersichtlicher.

Okay alles klar, dann mache ich das so! ;-)

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Satz zu Integralen: 2. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Fr 28.04.2017
Autor: tobit09


>  Man müsste zeigen: [mm]\integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm]
>  
> <=> [mm]inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\}[/mm]
> = [mm]inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f\}[/mm]
> + [mm]inf\{\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\}[/mm]

Genau.


> Es folgt ja eigentlich direkt aus der Definition:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}[/mm]

Direkt aus der Definition folgt diese Gleichheit?
Jedenfalls hast du dir diese Gleichheit für Treppenfunktionen [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$ [/mm] schon überlegt?
(Ich habe nicht den gesamten Thread studiert.)
Wir werden sie noch benötigen.


> Folglich gilt [mm]inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\}[/mm]
> = [mm]inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} + \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f, \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\}[/mm]

Die Schreibweise auf der rechten Seite ergibt nicht wirklich Sinn, da [mm] $\psi$ [/mm] zum einen für eine Abbildung [mm] $\psi\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] und zum anderen gleichzeitig für eine Abbildung [mm] $\psi\colon[b,c]\to\IR$ [/mm] stehen soll?

Wenn du diese Schreibweise korrigierst (z.B. durch Verwendung von der Bezeichnungen [mm] $\psi_1$ [/mm] und [mm] $\psi_2$) [/mm] hast, halte ich die behauptete Gleichheit für näher "begründungsbedürftig".


Zum Nachweis von [mm]\integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] würde ich [mm] "$\le$" [/mm] und [mm] "$\ge$" [/mm] separat beweisen.

Etwa [mm] "$\le$": [/mm]

Es genügt, [mm]\integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] [mm] $\le$[/mm]  [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx}[/mm] + [mm] $\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] zu zeigen.

Sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.

Dann existiert ein [mm] $\psi_1\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\psi_1\ge f|_{[a,b]}$ [/mm] und [mm] $\int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2$. [/mm]
Ebenso existiert ein [mm] $\psi_2\in\tau[b,c]$ [/mm] mit [mm] $\psi_2\ge f|_{[b,c]}$ [/mm] und [mm] $\int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2$. [/mm]

Sei [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$ [/mm] definiert durch

     [mm] $\psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases}$. [/mm]

Dann ist [mm] $\psi\in\tau[a,c]$ [/mm] mit [mm] $\psi\ge [/mm] f$ und daher

      [mm] $\int_a^{c\*}f(x)\;dx\le\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi_1(x)\; dx+\int_b^c\psi_2(x)\;dx<(\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)+(\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)=\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\varepsilon. [/mm]

Beim mittleren Gleichheitszeichen geht dabei ein, dass das Integral von Treppenfunktionen [mm] $[b,c]\to\IR$ [/mm] nicht von dem Funktionswert an der Stelle b abhängt.

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Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:12 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias,

wie immer danke ich dir für deine ausführliche Antwort :-)

>> Es folgt ja eigentlich direkt aus der Definition:
>> $ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $
>> = $ [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $

> Direkt aus der Definition folgt diese Gleichheit?
> Jedenfalls hast du dir diese Gleichheit für Treppenfunktionen
> $ [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] $ schon überlegt?
> (Ich habe nicht den gesamten Thread studiert.)
> Wir werden sie noch benötigen.

Hm ja ich dachte es ist ersichtlich, dass sich das aus der Definition ergibt.
Dann versuche ich einen Beweis:

Sei [mm] \phi_{1} \in \tau[a,b] [/mm] definiert bezüglich der Unterteilung

Z: a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b

und sei [mm] \phi_{1} [/mm] | [mm] ]x_{i-1}, x_{i}[ [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] für i = 1, ..., n. Dann setzt man:

[mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}). [/mm]

Sei nun [mm] \phi_{2} \in \tau[b,c] [/mm] definiert bzgl. der Unterteilung

Z': b = [mm] x_{0}' [/mm] < [mm] x_{1}' [/mm] < ... < [mm] x_{m}' [/mm] = c und sei [mm] \phi_{2} [/mm] | [mm] ]x_{j-1}', x_{j}'[ [/mm] = [mm] c_{j} [/mm] für j = 1, ..., m. Dann setzt man analog

[mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^{n} c_{j}'(x_{j}' [/mm] - [mm] x_{j-1}'). [/mm]

Zu zeigen ist:
Sei nun [mm] \phi \in \tau[a,c] [/mm] definiert bzgl. der Unterteilung

a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{h} [/mm] = c

und sei [mm] \phi [/mm] | [mm] ]t_{l-1}, t_{l}[ [/mm] = [mm] c_{l}'' [/mm] für l = 1, ..., n. Dann wird definiert:

[mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{l=1}^{n} c_{l}''(t_{l} [/mm] - [mm] t_{l-1}) [/mm]

Und es gilt die Gleichheit:

[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]



Nun ist ja Folgendes gegeben:

1) Sei [mm] \phi_{1} \in \tau[a,b] [/mm] definiert bezüglich der Unterteilung

Z: a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b

und sei [mm] \phi_{1} [/mm] | [mm] ]x_{i-1}, x_{i}[ [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] für i = 1, ..., n. Dann setzt man:

[mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}). [/mm]

2) Sei nun [mm] \phi_{2} \in \tau[b,c] [/mm] definiert bzgl. der Unterteilung

Z': b = [mm] x_{0}' [/mm] < [mm] x_{1}' [/mm] < ... < [mm] x_{m}' [/mm] = c und sei [mm] \phi_{2} [/mm] | [mm] ]x_{j-1}', x_{j}'[ [/mm] = [mm] c_{j} [/mm] für j = 1, ..., m. Dann setzt man analog

[mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^{n} c_{j}'(x_{j}' [/mm] - [mm] x_{j-1}') [/mm]


Definiere nun [mm] \phi(x):= \begin{cases} \phi_{1}(x), & \mbox{für } x \in [a,b] \\ \phi_{2}(x), & \mbox{für } x \in ]b,c] \end{cases} [/mm]

Und setze a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{h} [/mm] = c als diejenige Unterteilung, welche alle Teilpunkte von Z und Z' enthält, also:

[mm] \{t_{0}, t_{1}, ..., t_{j}\} [/mm] = [mm] \{x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}\} \cup \{x_{0}', x_{1}', ..., x_{m}'\} [/mm]

Es folgt, dass [mm] \phi [/mm] auf jedem Teilintervall [mm] ]t_{l-1}, t_{l}[ [/mm] konstant ist.
Folglich gilt [mm] \phi \in \tau[a,c]. [/mm]

Ferner gilt, dass [mm] \phi [/mm] | [mm] ]t_{l-1}, t_{l}[ [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] (wobei [mm] ]t_{l-1}, t_{l}[ \subseteq [/mm] [a,b]) für i = 1, ..., n, i = l (0 < l [mm] \le [/mm] i) und analog [mm] \phi [/mm] | [mm] ]t_{l-1}, t_{l}[ [/mm] = [mm] c_{j}' [/mm] (mit [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ \subseteq [/mm] [b,c]) für j = 1, ..., n, j = l (i < l [mm] \le [/mm] j)

Setze nun [mm] c_{k}'' [/mm] := [mm] \begin{cases} c_{i}, & \mbox{für } x \in [a,b] \\ c_{j}', & \mbox{für } x \in ]b,c] \end{cases} [/mm]

Insgesamt folgt also:

[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{m} c_{j}'(x_{j}' [/mm] - [mm] x_{j-1}') [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}''(t_{l} [/mm] - [mm] t_{l-1}) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]



- Ich bin mir nicht sicher ob alles stimmt, da alles ein chaotisches Spiel mit den Indizes ist.

- Eine Frage hatte ich zusätzlich noch

> Dann existiert ein $ [mm] \psi_1\in\tau[a,b] [/mm] $ mit
> $ [mm] \psi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm] $ und $ [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.
> Ebenso existiert ein $ [mm] \psi_2\in\tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_2\ge f|_{[b,c]} [/mm] $ und $ [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.

Wieso existieren diese [mm] \psi_{1} [/mm] und [mm] \psi_{2}, [/mm] sodass die jeweiligen Differenzen < [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] sind? Ist es so, da [mm] \int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx [/mm] das Infimum aller Integrale [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx [/mm] mit [mm] \psi_{1} \ge [/mm] f ist, somit unendlich viele davon existieren und somit zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \psi_{1} [/mm] existiert, sodass eben die Differenz < [mm] \epsilon [/mm] ist?

Besteht die Menge [mm] \{\integral_{a}^{b} {\psi_{1}(x) dx}: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge f\} [/mm] also aus lückenlosen Elementen (wie bei den reellen Zahlen), sodass eben dann zu jedem gegebenen [mm] \epsilon [/mm] > 0 die Differenz [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx< \epsilon [/mm] ist?



Viele Grüße,
X3nion

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Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:57 Mo 01.05.2017
Autor: tobit09


> >> Es folgt ja eigentlich direkt aus der Definition:
>  >> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] +

> [mm]\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}[/mm]
>  >> =

> [mm]\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}[/mm]
>  
> > Direkt aus der Definition folgt diese Gleichheit?
>  > Jedenfalls hast du dir diese Gleichheit für

> Treppenfunktionen
> > [mm]\psi\colon[a,c]\to\IR[/mm] schon überlegt?
>  > (Ich habe nicht den gesamten Thread studiert.)

>  > Wir werden sie noch benötigen.

>
> Hm ja ich dachte es ist ersichtlich, dass sich das aus der
> Definition ergibt.
>  Dann versuche ich einen Beweis:

Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du beweisen:
Für alle Treppenfunktionen [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$ [/mm] gilt [mm] $\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}+\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}=\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}$. [/mm]

Dann fände ich es naheliegend, den Beweis wie folgt zu beginnen:

Sei also [mm] $\psi$ [/mm] eine beliebig vorgegebene Treppenfunktion [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}+\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}=\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}$. [/mm]

Leider betrachtest du stattdessen beliebig vorgegebene Treppenfunktionen [mm] $\phi_1\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] und [mm] $\phi_2\colon[b,c]\to\IR$. [/mm]
Daher sehe ich keinen direkten Zusammenhang deines Beweis-Versuches zur Aussage, die du zeigen möchtest.

(Oder habe dich irgendwo missverstanden?)


> Sei [mm]\phi_{1} \in \tau[a,b][/mm] definiert bezüglich der
> Unterteilung
>  
> Z: a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b
>  
> und sei [mm]\phi_{1}[/mm] | [mm]]x_{i-1}, x_{i}[[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] für i = 1,
> ..., n. Dann setzt man:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i}[/mm]
> - [mm]x_{i-1}).[/mm]

(Ich würde lieber schreiben:
"Dann ist [mm]\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1}[/mm]) nach Definition des Integrals von Treppenfunktionen".
Schließlich triffst du hier keine neue Definition, sondern wendest eine vorhandene Definition an.)


> Sei nun [mm]\phi_{2} \in \tau[b,c][/mm] definiert bzgl. der
> Unterteilung
>  
> Z': b = [mm]x_{0}'[/mm] < [mm]x_{1}'[/mm] < ... < [mm]x_{m}'[/mm] = c und sei [mm]\phi_{2}[/mm]
> | [mm]]x_{j-1}', x_{j}'[[/mm] = [mm]c_{j}[/mm] für j = 1, ..., m.

(Ich würde hier [mm] $c_j'$ [/mm] statt [mm] $c_j$ [/mm] schreiben, damit die Bezeichnungen nicht kollidieren.)

> Dann setzt
> man analog
>
> [mm]\integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{j=1}^{n} c_{j}'(x_{j}'[/mm]
> - [mm]x_{j-1}').[/mm]
>  
> Zu zeigen ist:
>  Sei nun [mm]\phi \in \tau[a,c][/mm] definiert bzgl. der
> Unterteilung
>  
> a = [mm]t_{0}[/mm] < [mm]t_{1}[/mm] < ... < [mm]t_{h}[/mm] = c
>  
> und sei [mm]\phi[/mm] | [mm]]t_{l-1}, t_{l}[[/mm] = [mm]c_{l}''[/mm] für l = 1, ...,
> n. Dann wird definiert:
>  
> [mm]\integral_{a}^{c}{\phi(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{l=1}^{n} c_{l}''(t_{l}[/mm]
> - [mm]t_{l-1})[/mm]
>  
> Und es gilt die Gleichheit:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{c}{\phi(x) dx}[/mm]

Diese Gleichheit möchtest du doch gerade beweisen???
Warum gilt sie?


> Nun ist ja Folgendes gegeben:
>  
> 1) Sei [mm]\phi_{1} \in \tau[a,b][/mm] definiert bezüglich der
> Unterteilung
>  
> Z: a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b
>  
> und sei [mm]\phi_{1}[/mm] | [mm]]x_{i-1}, x_{i}[[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] für i = 1,
> ..., n. Dann setzt man:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i}[/mm]
> - [mm]x_{i-1}).[/mm]
>  
> 2) Sei nun [mm]\phi_{2} \in \tau[b,c][/mm] definiert bzgl. der
> Unterteilung
>  
> Z': b = [mm]x_{0}'[/mm] < [mm]x_{1}'[/mm] < ... < [mm]x_{m}'[/mm] = c und sei [mm]\phi_{2}[/mm]
> | [mm]]x_{j-1}', x_{j}'[[/mm] = [mm]c_{j}[/mm] für j = 1, ..., m. Dann setzt
> man analog
>
> [mm]\integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx}[/mm] := [mm]\summe_{j=1}^{n} c_{j}'(x_{j}'[/mm]
> - [mm]x_{j-1}')[/mm]

Das hattest du doch oben schon???


> Definiere nun [mm]\phi(x):= \begin{cases} \phi_{1}(x), & \mbox{für } x \in [a,b] \\ \phi_{2}(x), & \mbox{für } x \in ]b,c] \end{cases}[/mm]

Dieses [mm] $\phi$ [/mm] ist also ein anderes als obiges [mm] $\phi$? [/mm]
Obiges [mm] $\phi$ [/mm] war ja beliebig vorgegeben, wenn ich dich richtig verstanden habe.


> Und setze a = [mm]t_{0}[/mm] < [mm]t_{1}[/mm] < ... < [mm]t_{h}[/mm] = c als diejenige
> Unterteilung, welche alle Teilpunkte von Z und Z' enthält,
> also:
>  
> [mm]\{t_{0}, t_{1}, ..., t_{j}\}[/mm] = [mm]\{x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}\} \cup \{x_{0}', x_{1}', ..., x_{m}'\}[/mm]

(Also offenbar h=j. Eine der beiden Bezeichnungen hätte ausgereicht... ;-) )


> Es folgt, dass [mm]\phi[/mm] auf jedem Teilintervall [mm]]t_{l-1}, t_{l}[[/mm]
> konstant ist.

Ja. Dabei würde ich mit Folgendem argumentieren:
Im Falle [mm] $l\le [/mm] n$ gilt [mm] $]t_{l-1},t_l[=]x_{l-1},x_l[\subseteq[a,b]$ [/mm] und im Falle $l>n$ gilt [mm] $]t_{l-1},t_l[=]x_{l-1-n}',x_{l-n}'[\subseteq]b,c]$. [/mm]


>  Folglich gilt [mm]\phi \in \tau[a,c].[/mm]

Ja.


> Ferner gilt, dass [mm]\phi[/mm] | [mm]]t_{l-1}, t_{l}[[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] (wobei
> [mm]]t_{l-1}, t_{l}[ \subseteq[/mm] [a,b]) für i = 1, ..., n, i = l
> (0 < l [mm]\le[/mm] i)

Ich kann nicht wirklich folgen, wie i und l zusammenhängen sollen.

Du meinst wohl:
Für jedes [mm] $l\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] ist ( [mm] $]t_{l-1},t_l[=]x_{l-1},x_l[$ [/mm] und daher) [mm] $\phi|_{]t_{l-1},t_l[}=c_l$. [/mm]


> und analog [mm]\phi[/mm] | [mm]]t_{l-1}, t_{l}[[/mm] = [mm]c_{j}'[/mm]
> (mit [mm]]t_{j-1}, t_{j}[ \subseteq[/mm] [b,c]) für j = 1, ..., n,
> j = l (i < l [mm]\le[/mm] j)

Du meinst wohl:
Für jedes [mm] $l\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] mit $l>n$ ist [mm] $\phi|_{]t_{l-1},t_l[}=c_{l-n}$. [/mm]

> Setze nun [mm]c_{k}''[/mm] := [mm]\begin{cases} c_{i}, & \mbox{für } x \in [a,b] \\ c_{j}', & \mbox{für } x \in ]b,c] \end{cases}[/mm]

??? Was sind x, i und j?

Du meinst wohl:
Sei [mm] $k\in\{1,2\ldots,h\}$. [/mm]
Setze nun [mm] $c_k''=\begin{cases} c_{k}, & \mbox{für } k\le n \\ c_{k-n}', & \mbox{für } k>n \end{cases}$. [/mm]


> Insgesamt folgt also:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b}^{c}{\phi_{2}(x) dx}[/mm]

(Hier geht ein, dass das Integral von Treppenfunktionen [mm] $[b,c]\to\IR$ [/mm] nicht vom Funktionswert an der Stelle b abhängt.)


> = [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i}[/mm]
> - [mm]x_{i-1})[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{m} c_{j}'(x_{j}'[/mm] - [mm]x_{j-1}')[/mm]

Ja.


> = [mm]\summe_{k=1}^{n} c_{k}''(t_{l}[/mm] - [mm]t_{l-1})[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{c}{\phi(x) dx}[/mm]

Nein. Korrekt wäre bei meiner Wahl von [mm] $c_k''$: [/mm]

[mm] $\ldots=\summe_{k=1}^hc_k''(t_k-t_{k-1})=\int_a^c\phi(x)\;dx$. [/mm]


Bei all meinen Einzelanmerkungen sollte das eingangs von mir Festgestellte nicht untergehen:

Ich erkenne keinen direkten Zusammenhang zwischen dem, was du tust, und dem, was du (wenn ich dich richtig verstehe) eigentlich zeigen möchtest.


Hier mein Vorschlag einer Beweis-Skizze:
(Ich habe eine Argumentation gewählt, die nicht bereits voraussetzt, dass mit [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$ [/mm] auch [mm] $\psi|_{[a,b]}$ [/mm] und [mm] $\psi|_{[b,c]}$ [/mm] Treppenfunktionen sind.)

Sei [mm] $\psi$ [/mm] eine beliebig vorgegebene Treppenfunktion [mm] $\psi\colon[a,c]\to\IR$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}+\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}=\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}$. [/mm]

Sei [mm] $a=t_0
Wir dürfen annehmen, dass ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] existiert mit [mm] $t_n=b$: [/mm]
Falls dies nicht ohnehin der Fall ist, existiert ein [mm] $n\in\{1,2,\ldots,h\}$ [/mm] mit [mm] $t_{n-1} Dann ist [mm] $a=t_0
Nun ist [mm] $a=t_0
Unter Verwendung dieser Unterteilungen erhalten wir

[mm] $\integral_a^b\psi(x)\;dx+\integral_b^c\psi(x)\;dx=\sum_{k=1}^n c_k(t_k-t_{k-1})+\sum_{k=n+1}^hc_k(t_k-t_{k-1})=\sum_{k=1}^h c_k(t_k-t_{k-1})=\integral_a^c\psi(x)\;dx$, [/mm]

also die nachzuweisende Gleichheit.


> - Eine Frage hatte ich zusätzlich noch

Dazu schreibe ich eine separate Antwort.

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias und Dankeschön!

Stimmt, deine Variante ist um einiges einfacher und übersichtlicher ;-)

Aber eine Frage habe ich dazu noch:

> Wir dürfen annehmen, dass ein $ [mm] n\in\{0,1,\ldots,h\} [/mm] $ existiert mit $ [mm] t_n=b [/mm] $:
> Falls dies nicht ohnehin der Fall ist, existiert ein $ [mm] n\in\{1,2,\ldots,h\} [/mm] $ mit $ [mm] t_{n-1}
> Dann ist $ [mm] a=t_0
> ebenfalls eine zu $ [mm] \psi [/mm] $ kompatible Unterteilung des Intervalls [a,c], deren
> Komponente mit Index n gerade b ist.

Wieso folgt aus [mm] t_{n-1}

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mo 01.05.2017
Autor: tobit09


> > Wir dürfen annehmen, dass ein [mm]n\in\{0,1,\ldots,h\}[/mm]
> existiert mit [mm]t_n=b [/mm]:
>  > Falls dies nicht ohnehin der Fall

> ist, existiert ein [mm]n\in\{1,2,\ldots,h\}[/mm] mit [mm]t_{n-1}
>  
> > Dann ist
> [mm]a=t_0
> > ebenfalls eine zu [mm]\psi[/mm] kompatible Unterteilung des
> Intervalls [a,c], deren
> > Komponente mit Index n gerade b ist.
>
> Wieso folgt aus [mm]t_{n-1}

Das folgt so gar nicht.

Zugegeben ist meine Argumentation zwar kompakt in der Notation, aber nicht ganz simpel. Ich verwende mit

     "Wir dürfen annehmen, dass ein [mm]n\in\{0,1,\ldots,h\}[/mm] existiert mit [mm]t_n=b [/mm]"

ein sogenanntes o.B.d.A.-Argument (o.B.d.A. ist eine Abkürzung für "ohne Beschränkung der Allgemeinheit").

Ich hätte genauso gut schreiben können:

      "O.B.d.A. existiere ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] mit [mm] $t_n=b$." [/mm]

Ich führe also den Beweis der nachzuweisenden Integralgleichung unter der Zusatzannahme, dass ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] mit [mm] $t_n=b$ [/mm] existiert.

Ich behaupte also nicht, dass so ein $n$ existiert, sondern nehme es an.

Warum habe ich trotzdem am Ende die nachzuweisende Integralgleichung allgemein (unabhängig von dieser Zusatzannahme) gezeigt?

Grob und unpräzise gesagt: Weil wir die ursprüngliche Unterteilung durch eine entsprechende Unterteilung mit der Zusatzeigenschaft [mm] $t_n=b$ [/mm] ersetzen können.

Mittels

>  > Falls dies nicht ohnehin der Fall

> ist, existiert ein [mm]n\in\{1,2,\ldots,h\}[/mm] mit [mm]t_{n-1}
>  
> > Dann ist
> [mm]a=t_0
> > ebenfalls eine zu [mm]\psi[/mm] kompatible Unterteilung des
> Intervalls [a,c], deren
> > Komponente mit Index n gerade b ist.

zeige ich nämlich, dass eine solche Unterteilung mit der Zusatzeigenschaft [mm] $t_n=b$ [/mm] existiert.


Ich weiß nicht, ob du schon mit o.B.d.A.-Argumenten vertraut bist?
Bei Bedarf kann ich mehr und Präziseres dazu schreiben.
(Zugegeben ist meine obige Erklärung eher anschaulich als präzise.)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:23 Di 02.05.2017
Autor: tobit09

Ich versuche noch einmal eine präzisere und hoffentlich besser verständliche Erklärung für das o.B.d.A.:


"Wir dürfen o.B.d.A. annehmen, dass ein [mm]n\in\{0,1,\ldots,h\}[/mm] existiert mit [mm]t_n=b [/mm]"

An dieser "o.B.d.A.-Stelle" des Beweises sind wir in folgender Situation:

Wir haben eine natürliche Zahl $h$ und eine zu [mm] $\psi$ [/mm] kompatible Unterteilung [mm] $a=t_0
Wir sind also in der Situation, dass wir folgende Bemerkung beweisen möchten:


Bemerkung 1:
Sei [mm] $h\in\IN$ [/mm] und [mm] $a=t_0 Dann gilt [mm] $\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx$. [/mm]


Tatsächlich zeigen wir nach der o.B.d.A.-Annahme eine eigentlich schwächere Bemerkung:


Bemerkung 2:
Sei [mm] $h\in\IN$ [/mm] und [mm] $a=t_0 Es existiere ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] mit [mm] $t_n=b$. [/mm]
Dann gilt [mm] $\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx$. [/mm]


Nun behaupte ich aber: Aus Bemerkung 2 folgt Bemerkung 1 (Beweis siehe unten).
Also genügt es, statt Bemerkung 1 die eigentlich schwächere Bemerkung 2 zu zeigen.

Das o.B.d.A. meint also: Wir beweisen Bemerkung 2 statt Bemerkung 1, behaupten aber, dass Bemerkung 2 die Bemerkung 1 impliziert.

Das o.B.d.A. ist also nur dann erlaubt, wenn wir uns klarmachen können, dass Bemerkung 2 tatsächlich Bemerkung 1 impliziert.

Warum ist das hier der Fall?

Gelte Bemerkung 2.
Zu zeigen ist Bemerkung 1.

Zum Nachweis von Bemerkung 1 sei [mm] $h\in\IN$ [/mm] und  eine zu [mm] $\psi$ [/mm] kompatible Unterteilung [mm] $a=t_0 Zu zeigen ist [mm] $\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx$. [/mm]

Wenn schon ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] existiert mit [mm] $t_n=b$, [/mm] wenden wir Bemerkung 2 einfach auf unsere Unterteilung [mm] $a=t_0 Anderenfalls existiert ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] mit [mm] $t_{n-1} Dann wenden wir Bemerkung 2 auf die Unterteilung [mm] $a=t_0

Ich habe also nun ausführlich formuliert, was das o.B.d.A. hier meint und warum es erlaubt ist.

In der Praxis formuliert man dies nicht so aus, sondern geht davon aus, dass dem Leser die Bedeutung des o.B.d.A. klar ist.
Auch die Begründung, dass das o.B.d.A. erlaubt ist, wird meist verkürzt (z.B. "Indem wir gegebenenfalls b in die Unterteilung einfügen, können wir o.B.d.A. annehmen, dass ein [mm] $n\in\{0,1,\ldots,h\}$ [/mm] existiert mit [mm] $t_n=b$.") [/mm] oder komplett dem Leser überlassen.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Mo 01.05.2017
Autor: tobit09


> - Eine Frage hatte ich zusätzlich noch
>  
> > Dann existiert ein [mm]\psi_1\in\tau[a,b][/mm] mit
> > [mm]\psi_1\ge f|_{[a,b]}[/mm] und
> [mm]\int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm].
>  
> > Ebenso existiert ein [mm]\psi_2\in\tau[b,c][/mm] mit [mm]\psi_2\ge f|_{[b,c]}[/mm]
> und
> [mm]\int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm].
>
> Wieso existieren diese [mm]\psi_{1}[/mm] und [mm]\psi_{2},[/mm] sodass die
> jeweiligen Differenzen < [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] sind?

Das folgt aus folgender allgemeiner Bemerkung (die anschaulich gesprochen in etwa sagt, dass man das Infimum einer Menge durch Elemente der Menge beliebig annähern kann):

Sei [mm] $A\subseteq\IR$ [/mm] nichtleer und nach unten beschränkt (d.h. A besitzt eine reelle Zahl als Infimum.)
Dann existiert zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein Element [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $a-\inf A<\varepsilon$. [/mm]

Beweis der Bemerkung:

Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgegeben.
Da [mm] $\inf [/mm] A$ die größte untere Schranke von A ist, ist [mm] $\inf A+\varepsilon$ [/mm] keine untere Schranke von A.
Also existiert ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $a<\inf A+\varepsilon$ [/mm] (denn anderenfalls wäre [mm] $\inf A+\varepsilon$ [/mm] doch eine untere Schranke von A).
Es folgt wie gewünscht [mm] $a-\varepsilon<\inf [/mm] A$.


> Ist es
> so, da [mm]\int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx[/mm] das Infimum aller Integrale
> [mm]\int_a^b\psi_1(x)\;dx[/mm] mit [mm]\psi_{1} \ge[/mm] f ist, somit
> unendlich viele davon existieren

Mit irgendeiner Unendlichkeit argumentiere ich nicht.


> Besteht die Menge [mm]\{\integral_{a}^{b} {\psi_{1}(x) dx}: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge f\}[/mm]
> also aus lückenlosen Elementen (wie bei den reellen
> Zahlen)

Was sind "lückenlose Elemente"?

Meinst du vielleicht folgende Frage:
Ist die Menge [mm] $\{\integral_{a}^{b} {\psi_{1}(x) dx}: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge f\}\subseteq\IR$ [/mm] ein Intervall?

Die Antwort darauf lautet: Ja, das kann man zeigen.
Für meine Argumentation ist das aber unerheblich.

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias und Danke für deine Ausführungen :-)

Eine kurze Frage hierzu noch:

> Sei $ [mm] A\subseteq\IR [/mm] $ nichtleer und nach unten beschränkt (d.h. A besitzt eine
> reelle Zahl als Infimum.)
> Dann existiert zu jedem $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ ein Element $ [mm] a\in [/mm] A $ mit $ [mm] a-\inf A<\varepsilon [/mm] $.

Würde diese Bemerkung auch z.B. für Mengen gelten, die nur aus natürlichen oder nur aus rationalen Zahlen besteht?
Eigentlich ja schon, weil ja A [mm] \subseteq \IR [/mm] vorausgesetzt wird und z.B. die Menge A:= [mm] \{0, 1, 2\} [/mm] ja auch eine Teilmenge der reellen Zahlen wäre.

> Meinst du vielleicht folgende Frage:
> Ist die Menge $ [mm] \{\integral_{a}^{b} {\psi_{1}(x) dx}: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge f\}\subseteq\IR [/mm] $ ein Intervall?

Ja genau das meinte ich :-)

> Die Antwort darauf lautet: Ja, das kann man zeigen.

Hmm wäre das ein Beweis, den ich hinbekommen könnte? ;-)

Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mo 01.05.2017
Autor: tobit09


> > Sei [mm]A\subseteq\IR[/mm] nichtleer und nach unten beschränkt
> (d.h. A besitzt eine
> > reelle Zahl als Infimum.)
>  > Dann existiert zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein Element [mm]a\in A[/mm]

> mit [mm]a-\inf A<\varepsilon [/mm].
>
> Würde diese Bemerkung auch z.B. für Mengen gelten, die
> nur aus natürlichen oder nur aus rationalen Zahlen
> besteht?

Ja.

>  Eigentlich ja schon, weil ja A [mm]\subseteq \IR[/mm] vorausgesetzt
> wird und z.B. die Menge A:= [mm]\{0, 1, 2\}[/mm] ja auch eine
> Teilmenge der reellen Zahlen wäre.

Genau.


> > Meinst du vielleicht folgende Frage:
>  > Ist die Menge [mm]\{\integral_{a}^{b} {\psi_{1}(x) dx}: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge f\}\subseteq\IR[/mm]

> ein Intervall?
>  
> Ja genau das meinte ich :-)
>  
> > Die Antwort darauf lautet: Ja, das kann man zeigen.
>  
> Hmm wäre das ein Beweis, den ich hinbekommen könnte? ;-)

Die Aussage, dass die genannte Menge ein Intervall ist, wirst du vermutlich nirgendwo konkret benötigen.
Dennoch wäre dieser Nachweis aus meiner Sicht eine denkbare Übungsaufgabe (aber halt kein Muss).
Ich vermute, dass du etwas Hilfestellung benötigen würdest, aber dann die Idee hinter dem Beweis gut verstehen würdest.

Wenn du diese Übungsaufgabe mit Unterstützung bearbeiten möchtest, starte am besten auch hierfür einen neuen Thread.
Darin solltest du dann posten, von welcher Definition eines Intervalles du dabei ausgehen möchtest. Es sind nämlich verschiedene äquivalente Definitionen denkbar.

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 So 25.06.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Einiges an Zeit ist nun vergangen seit meiner letzten Nachricht in diesem Post, nun habe ich wieder etwas mehr Zeit.
Dankeschön nochmal für deine sehr ausführlichen und detaillierten Erläuterungen gegen Ende, Tobias!

1) Lässt sich die Gleichheit [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm] , a < b < c, nicht einfach mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen?

Demgemäß gilt ja: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) = F(c) - F(a) = [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] ?


2) Und zu der Tatsache, dass das Integral nicht von den Funktionswerten an den Stützstellen abhängt:

Sei f eine Riemann-Integrierbare Funktion, [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a und [mm] (b_{n}){n\in\IN} [/mm] eine monoton wachsende Folge mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = b. Dann gilt:

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx} [/mm]

Denn es ergibt sich aufgrund 1:

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{a_{n}}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b_{n}}^{b}{f(x) dx}. [/mm]

Da f Riemann-integrierbar und somit beschränkt ist, ergibt sich:

[mm] \left|\integral_{a}^{a_{n}}{f(x) dx}\right| \le K(a_{n} [/mm] - a) und analog [mm] \left|\integral_{b_{n}}^{b}{f(x) dx} \right| \le [/mm] K(b - [mm] b_{n}). [/mm]

Offensichtlich gilt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} K(a_{n} [/mm] - a) = 0 = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm]  K(b - [mm] b_{n}) [/mm] und daraus ergibt sich die Behauptung. Folglich ergibt sich das Integral auch, wenn man nicht von a nach b integriert, sondern von [mm] a_{n} [/mm] > a nach [mm] b_{n} [/mm] < b mit [mm] \lim a_{n} [/mm] = a und [mm] \lim b_{n} [/mm] = b und die Werte an den Integrationsgrenzen sind nicht von Bedeutung.

Wäre das soweit korrekt?


Viele Grüße,
X3nion


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Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mo 26.06.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Einiges an Zeit ist nun vergangen seit meiner letzten
> Nachricht in diesem Post, nun habe ich wieder etwas mehr
> Zeit.
>  Dankeschön nochmal für deine sehr ausführlichen und
> detaillierten Erläuterungen gegen Ende, Tobias!
>  
> 1) Lässt sich die Gleichheit [mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm] , a
> < b < c, nicht einfach mit dem Hauptsatz der Differential-
> und Integralrechnung beweisen?
>  
> Demgemäß gilt ja: [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm] = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) =
> F(c) - F(a) = [mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}[/mm] ?
>  
>

Ist f "nur" Riemann - integrierbar über [a,b], so muß f keine Stammfunktion besitzen !

Du kannst zwar definieren [mm] $F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}$, [/mm] dann ist aber F i.a. keine Stammfunktion von f.



> 2) Und zu der Tatsache, dass das Integral nicht von den
> Funktionswerten an den Stützstellen abhängt:
>  
> Sei f eine Riemann-Integrierbare Funktion,
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine monoton fallende Folge mit
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a und [mm](b_{n}){n\in\IN}[/mm]
> eine monoton wachsende Folge mit [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm]
> = b. Dann gilt:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx}[/mm]
>  
> Denn es ergibt sich aufgrund 1:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{a_{n}}{f(x) dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{b_{n}}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>  
> Da f Riemann-integrierbar und somit beschränkt ist, ergibt
> sich:
>  
> [mm]\left|\integral_{a}^{a_{n}}{f(x) dx}\right| \le K(a_{n}[/mm] -
> a) und analog [mm]\left|\integral_{b_{n}}^{b}{f(x) dx} \right| \le[/mm]
> K(b - [mm]b_{n}).[/mm]
>  
> Offensichtlich gilt [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} K(a_{n}[/mm] - a)
> = 0 = [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}[/mm]  K(b - [mm]b_{n})[/mm] und daraus
> ergibt sich die Behauptung. Folglich ergibt sich das
> Integral auch, wenn man nicht von a nach b integriert,
> sondern von [mm]a_{n}[/mm] > a nach [mm]b_{n}[/mm] < b mit [mm]\lim a_{n}[/mm] = a und
> [mm]\lim b_{n}[/mm] = b und die Werte an den Integrationsgrenzen
> sind nicht von Bedeutung.
>  
> Wäre das soweit korrekt?

Ja, damit ist gezeigt: dem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] sind die Funktionswerte f(a) und f(b) völlig schnuppe !

Allgemeiner gilt: sind f,g:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] zwei Funktionen, ist f Riemann-integrierbar über [a,b] und is [mm] \{x \in [a,b]: f(x) \ne g(x)\} [/mm] endlich, so ist  g Riemann-integrierbar über [a,b] und  [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \integral_{a}^{b}{g(x) dx}. [/mm]


>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  


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Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mo 26.06.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred,

Danke für deine Antwort!

> Ja, damit ist gezeigt: dem Integral $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ sind die
> Funktionswerte f(a) und f(b) völlig schnuppe !

Also dem verkohlten Docht einer Kerze gleichend? Oder einer Sternschnuppe ähnelnd? ;-)


> Allgemeiner gilt: sind f,g:[a,b] $ [mm] \to \IR [/mm] $ zwei Funktionen,
> ist f Riemann-integrierbar über [a,b] und is $ [mm] \{x \in [a,b]: f(x) \ne g(x)\} [/mm] $ > endlich, so ist  g Riemann-integrierbar über [a,b] und  
> $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \integral_{a}^{b}{g(x) dx}. [/mm] $

Würde sich dieser Fall aus der endlich wiederholten Anwendung des Falles
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx} [/mm] $ auf die jeweils benachbarten x-Stellen ergeben?



> Ist f "nur" Riemann - integrierbar über [a,b], so muß f keine Stammfunktion
> besitzen !

> Du kannst zwar definieren $ [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] $, dann ist
> aber F i.a. keine Stammfunktion von f.

Stimmt, da habe ich mich soeben schlau gemacht.

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & -1 \le x \le 0 \\ 1, & 0 < x \le 1 \end{cases} [/mm]

Die Funktion ist Riemann-integrierbar über [-1, 1], aber F'(0) existiert nicht.


Viele Grüße,
X3nion


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Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Mo 26.06.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Danke für deine Antwort!
>  
> > Ja, damit ist gezeigt: dem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> sind die
> > Funktionswerte f(a) und f(b) völlig schnuppe !
>  
> Also dem verkohlten Docht einer Kerze gleichend? Oder einer
> Sternschnuppe ähnelnd? ;-)
>  
>
> > Allgemeiner gilt: sind f,g:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] zwei Funktionen,
> > ist f Riemann-integrierbar über [a,b] und is [mm]\{x \in [a,b]: f(x) \ne g(x)\}[/mm]
> > endlich, so ist  g Riemann-integrierbar über [a,b] und  
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \integral_{a}^{b}{g(x) dx}.[/mm]
>  
> Würde sich dieser Fall aus der endlich wiederholten
> Anwendung des Falles
>  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x) dx}[/mm]
> auf die jeweils benachbarten x-Stellen ergeben?

Ja


>  
>
>
> > Ist f "nur" Riemann - integrierbar über [a,b], so muß f
> keine Stammfunktion
> > besitzen !
>  
> > Du kannst zwar definieren [mm]F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm],
> dann ist
> > aber F i.a. keine Stammfunktion von f.
>
> Stimmt, da habe ich mich soeben schlau gemacht.
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & -1 \le x \le 0 \\ 1, & 0 < x \le 1 \end{cases}[/mm]
>  
> Ist Riemann-integrierbar, aber F'(0) existiert nicht.

So ist es.




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Satz zu Integralen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:52 Mo 26.06.2017
Autor: X3nion

Hmm somit würde ich den Fall beweisen mit meinem ursprünglichen Ansatz und analog zu dem, was Tobias geschrieben hat.

Mein Ansatz:  [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx}$ [/mm] <=> [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ , also die Zurückführung des Falles aus die Oberintegrale.

Zitat von Tobias:

> Zum Nachweis von $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $
> würde ich "$ [mm] \le [/mm] $" und "$ [mm] \ge [/mm] $" separat beweisen.

> Etwa "$ [mm] \le [/mm] $":

> Es genügt, $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon [/mm] $
> für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ zu zeigen.

> Sei also $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ beliebig vorgegeben.

> Dann existiert ein $ [mm] \psi_1\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm] $
> und $ [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.
> Ebenso existiert ein $ [mm] \psi_2\in\tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_2\ge f|_{[b,c]} [/mm] $ und $ [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.

> Sei $ [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] $ definiert durch

>      $ [mm] \psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases} [/mm] $.

> Dann ist $ [mm] \psi\in\tau[a,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] f $ und daher

      $ [mm] $\int_a^{c\*}f(x)\;dx\le\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi_1(x)\; dx+\int_b^c\psi_2(x)\;dx<(\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)+(\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)=\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\varepsilon. [/mm] $

> Beim mittleren Gleichheitszeichen geht dabei ein, dass das Integral von
> Treppenfunktionen $ [mm] [b,c]\to\IR [/mm] $ nicht von dem Funktionswert an der Stelle b abhängt.


Nun [mm] \ge: [/mm]

Man zeige [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm]  +  [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] +  [mm] \varepsilon [/mm]  für alle  [mm] \varepsilon>0 [/mm]  ,
denn daraus folgt: [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm]  +  [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

Nun komme ich aber nicht weiter, denn die Ungleichheitskette muss ja nun lauten:
[mm] \int_a^{c\*}f(x)\;dx \ge \int_a^c\phi(x)\;dx [/mm] = [mm] \int_a^b\phi(x)\;dx [/mm] + [mm] \int_b^c\phi(x)\;dx [/mm] = ...., aber dafür wiederum muss [mm] \phi \le [/mm] f gelten.
Dann könnte man aber doch nicht mehr sagen, dass ein [mm] \phi_1\in\tau[a,b] [/mm] existiert  mit [mm] \phi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm]
und [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx-\int_a^{b\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2, [/mm]

denn [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx \not\in \{\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx: \phi_{1} \in \tau{a,b}, \phi_{1} \ge f}\}, [/mm] aus welcher Menge sich dann durch das Infimum das Oberintegral bestimmt, sondern [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx \in \{\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx: \phi_{1} \in \tau{a,b}, \phi_{1} \le f}\}, [/mm] aber daraus ergibt sich ja durch das Supremum das Unterintegral.

Ich bin etwas verwirrt, könnt ihr mir helfen? :-) Wäre euch dankbar!


Viele Grüße,
X3nion

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Satz zu Integralen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 29.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Satz zu Integralen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:06 Do 29.06.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

da die Fälligkeit abgelaufen ist, stelle ich meine Fragen nochmals in der Hoffnung, dass sie mir nun jemand beantworten kann :-)

------


Hmm somit würde ich den Fall beweisen mit meinem ursprünglichen Ansatz und analog zu dem, was Tobias geschrieben hat.

Mein Ansatz:  [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx}$ [/mm] <=> [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ , also die Zurückführung des Falles aus die Oberintegrale.

Zitat von Tobias:

> Zum Nachweis von $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $
> würde ich "$ [mm] \le [/mm] $" und "$ [mm] \ge [/mm] $" separat beweisen.

> Etwa "$ [mm] \le [/mm] $":

> Es genügt, $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon [/mm] $
> für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ zu zeigen.

> Sei also $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ beliebig vorgegeben.

> Dann existiert ein $ [mm] \psi_1\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm] $
> und $ [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.
> Ebenso existiert ein $ [mm] \psi_2\in\tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_2\ge f|_{[b,c]} [/mm] $ und $ [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.

> Sei $ [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] $ definiert durch

>      $ [mm] \psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases} [/mm] $.

> Dann ist $ [mm] \psi\in\tau[a,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] f $ und daher

      $ [mm] $\int_a^{c\*}f(x)\;dx\le\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi_1(x)\; dx+\int_b^c\psi_2(x)\;dx<(\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)+(\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)=\int_a^{b\*}f(x)\;dx+\int_b^{c\*}f(x)\;dx+\varepsilon. [/mm] $

> Beim mittleren Gleichheitszeichen geht dabei ein, dass das Integral von
> Treppenfunktionen $ [mm] [b,c]\to\IR [/mm] $ nicht von dem Funktionswert an der Stelle b abhängt.


Nun [mm] \ge: [/mm]

Man zeige [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm]  +  [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] +  [mm] \varepsilon [/mm]  für alle  [mm] \varepsilon>0 [/mm]  ,
denn daraus folgt: [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm]  +  [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

Nun komme ich aber nicht weiter, denn die Ungleichheitskette muss ja nun lauten:
[mm] \int_a^{c\*}f(x)\;dx \ge \int_a^c\phi(x)\;dx [/mm] = [mm] \int_a^b\phi(x)\;dx [/mm] + [mm] \int_b^c\phi(x)\;dx [/mm] = ...., aber dafür wiederum muss [mm] \phi \le [/mm] f gelten.
Dann könnte man aber doch nicht mehr sagen, dass ein [mm] \phi_1\in\tau[a,b] [/mm] existiert  mit [mm] \phi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm]
und [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx-\int_a^{b\*}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2, [/mm]

denn [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx \not\in \{\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx: \phi_{1} \in \tau{a,b}, \phi_{1} \ge f}\}, [/mm] aus welcher Menge sich dann durch das Infimum das Oberintegral bestimmt, sondern [mm] \int_a^b\phi_1(x)\;dx \in \{\integral_{a}^{b}{\phi_{1}(x) dx: \phi_{1} \in \tau{a,b}, \phi_{1} \le f}\}, [/mm] aber daraus ergibt sich ja durch das Supremum das Unterintegral.

Ich bin etwas verwirrt, könnt ihr mir helfen? :-) Wäre euch dankbar!


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Satz zu Integralen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 03.07.2017
Autor: matux

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