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Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 13.04.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Im Forster gibt es einen Satz zum Riemannschen Integral:

Sei a < b < c und f: [a,c] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion. f ist genau dann integrierbar, wenn sowohl f| [a,b] als auch f| [b,c] integrierbar sind und es gilt dann

[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm]

Der einfache Beweis sei dem Leser überlassen.
Na dann mache ich mich mal ran... :-)


a) Sei zuerst einmal vorausgesetzt, dass f: [a,c] integrierbar ist. Dann gibt es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c] [/mm] mit

[mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm]


Zu zeigen ist: Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]

und:

Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[b,c] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]


Gemäß Definition gilt

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] und analog
[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]

Deshalb folgt aus [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm]

=> [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon. [/mm]

Dann gilt aber auch [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] und [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon. [/mm]

Wegen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,c] [/mm] und [a,b] [mm] \subset [/mm] [a,c] sowie [b,c] [mm] \subset [/mm] [a,c] ist dies gleichbedeutend ist mit der Integrierbarkeit von f| [a,b] sowie f| [b,c]


Wäre dies so korrekt?



b) Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass sowohl f| [a,b] als auch f| [b,c] integrierbar sind.
Dann gibt es gemäß Voraussetzung zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \frac{\epsilon}{2} [/mm]

und:

Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[b,c] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \frac{\epsilon}{2}. [/mm]

Addiert man nun beides, so ergibt sich: [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] <=> [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon [/mm]

Es gilt nun gemäß Definition, dass [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] und analog
[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} [/mm]

Somit folgt insgesamt

[mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon, [/mm]

was gleichbedeutend ist mit der Integrierbarkeit von f: [a,c]


Wäre das soweit in Ordnung?


c)  Bleibt noch zu zeigen: [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm]

bzw.

[mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

<=> [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] = [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f\} [/mm] + [mm] inf\{\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm]


Es gilt gemäß Definition: [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm]

Folglich gilt [mm] inf\{\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,c], \psi \ge f\} [/mm] = [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} + \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge f, \psi \in \tau[b,c], \psi \ge f\} [/mm]


Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man weitermachen?



Ich wäre für eure Tipps und Antworten wie immer dankbar! :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Do 13.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> a) Sei zuerst einmal vorausgesetzt, dass f: [a,c]
> integrierbar ist. Dann gibt es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0
> Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,c][/mm] mit
>  
> [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon.[/mm]

[ok]


> Dann gilt aber auch [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon[/mm]

Warum?
Also die Aussage stimmt, aber einen kleinen Hinweis über die Nichtnegativität gewisser Summanden fände ich hier noch angebracht.

> Wäre dies so korrekt?

Ja.


> und:
>  
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[b,c][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und

Wer sagt dir, dass das dieselben Funktionen sind?
Erst mal sind das natürlich unterschiedliche Funktionen.

> Wäre das soweit in Ordnung?

Ja.


> Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man weitermachen?

Ja, aber es geht deutlich einfacher.
Mach dir mal klar, dass [mm] $f|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f*1_{[a,b]} [/mm] + [mm] f*1_{[b,c]}$ [/mm] und dann einfach Additivität des Integrals nutzen…

Gruß.
Gono

Bezug
                
Bezug
Satz zu Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Fr 14.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,

Hallo Gono und Danke für deinen Beitrag :-)

> > Dann gilt aber auch [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm] -
> > [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon[/mm]
>  Warum?
>  Also die Aussage stimmt, aber einen kleinen Hinweis über
> die Nichtnegativität gewisser Summanden fände ich hier
> noch angebracht.

Wie meinst du das mit der "Nichtnegativitär gewisser Summanden? ?

>  
>
> > und:
>  >  
> > Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[b,c][/mm]
> mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>  Wer sagt dir, dass das dieselben Funktionen sind?
>  Erst mal sind das natürlich unterschiedliche Funktionen.

Achso, würde man die dann anders benennen, also z.B. [mm] \phi_{2} [/mm] und [mm] \psi_{2} [/mm] ?

> > Wäre das soweit in Ordnung?
>  Ja.
>  
>
> > Wäre das bis hierhin korrekt? Und wie würde man
> weitermachen?
>  Ja, aber es geht deutlich einfacher.
>  Mach dir mal klar, dass [mm]f|_{[a,c]} = f*1_{[a,b]} + f*1_{[b,c]}[/mm]
> und dann einfach Additivität des Integrals nutzen…

Was meinst du genau mit [mm] f|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f*1_{[a,b]} [/mm] + [mm] f*1_{[b,c]} [/mm] ?

>  
> Gruß.
>  Gono

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Satz zu Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 So 16.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie meinst du das mit der "Nichtnegativitär gewisser  Summanden? ?

Na du argumentierst doch:

Aus: $ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] (\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx}) \le \epsilon [/mm] $

Folgt sowohl:

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \epsilon [/mm] $ als auch $ [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{b}^{c}{\phi(x) dx} \le \epsilon$ [/mm]

Wie begründest du das?

> Achso, würde man die dann anders benennen, also z.B.
> [mm]\phi_{2}[/mm] und [mm]\psi_{2}[/mm] ?

Sauberer wäre das, ja.

[mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \psi_1 [/mm] wären dann ja Treppenfunktionen auf [a,b] und [mm] \phi_2 [/mm] und [mm] \psi_2 [/mm] wären Treppenfunktionen auf [a,c]

Mach dir dann mal klar, dass die "verklebten" Treppenfunktionen [mm] $\phi [/mm] = [mm] \phi_1 1_{[a,b]} [/mm] + [mm] \phi_21_{[b,c]}$ [/mm] und für [mm] \psi [/mm] analog dann aber Treppenfunktionen auf [a,c] sind.
Demzufolge ist das "nur" eine technische, aber eigentlich notwendige Argumentation.

> Was meinst du genau mit [mm]f|_{[a,c]}[/mm] = [mm]f*1_{[a,b]}[/mm] +
> [mm]f*1_{[b,c]}[/mm] ?

Links steht f eingeschränkt auf [a,c], rechts steht f multipliziert mit der Indikatorfunktion auf [a,b] bzw [b,c] (und rein formal stimmt die Gleichheit natürlich nicht für die Stelle b, aber Unterschiede an einer Stelle sind fürs Integral ja eh egal.

Gruß,
Gono

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