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Forum "Algebra" - Signum einer Permutation
Signum einer Permutation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Signum einer Permutation: Frage zum Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Fr 29.09.2006
Autor: phrygian

Hallo!

Im Buch "Einführung in die Algebra" von Fischer/Sacher steht auf S.43 der Beweis zur Aussage, daß die Abbildung, die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ein Gruppenhomomorphismus ist.
Im Beweis wird die Gleichung

[mm] [center]$\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}=\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$[/center] [/mm]
(wobei [mm] \pi [/mm] und [mm] \sigma [/mm] Permutationen sind) benutzt, die für mich nicht so offensichtlich ist. Könnte jemand überprüfen, ob meine Herleitung dieser Gleichung stimmt?

Herleitung:
Aus

[mm] [center]$\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$[/center] [/mm]
erhält man durch Umtaufen der Variablen $i$ auf $j$ und der Variablen $j$ auf $i$ den gleichwertigen Ausdruck

[mm] [center]$\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{\pi(\sigma(j))- \pi(\sigma(i))}{\sigma(j)- \sigma(i)}$.[/center] [/mm]
Dies ist wiederum gleich

[mm] [center]$\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{(-1) \left[\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j)) \right]}{(-1) \left[\sigma(i)- \sigma(j)\right]}$,[/center] [/mm]

und durch Kürzen erhält man daraus schließlich

[mm] [center]$\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}$.[/center] [/mm]

Stimmt's so?

Gruß, phrygian

        
Bezug
Signum einer Permutation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Fr 29.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> Im Buch "Einführung in die Algebra" von Fischer/Sacher
> steht auf S.43 der Beweis zur Aussage, daß die Abbildung,
> die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
>  Im Beweis wird die Gleichung
>  
> [mm]\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}=\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm]
>  
> (wobei [mm]\pi[/mm] und [mm]\sigma[/mm] Permutationen sind) benutzt, die für
> mich nicht so offensichtlich ist. Könnte jemand überprüfen,
> ob meine Herleitung dieser Gleichung stimmt?
>
> Herleitung:
> Aus
>
> [mm]\produkt_{i>j \atop \sigma(i)< \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm]
>  
> erhält man durch Umtaufen der Variablen [mm]i[/mm] auf [mm]j[/mm] und der
> Variablen [mm]j[/mm] auf [mm]i[/mm] den gleichwertigen Ausdruck
>  
> [mm]\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{\pi(\sigma(j))- \pi(\sigma(i))}{\sigma(j)- \sigma(i)}[/mm].
>  
> Dies ist wiederum gleich
>  
> [mm]\produkt_{j>i \atop \sigma(j)< \sigma(i)} \bruch{(-1) \left[\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j)) \right]}{(-1) \left[\sigma(i)- \sigma(j)\right]}[/mm],
>  
> und durch Kürzen erhält man daraus schließlich
>  
> [mm]\produkt_{i \sigma(j)} \bruch{\pi(\sigma(i))- \pi(\sigma(j))}{\sigma(i)- \sigma(j)}[/mm].
>  
> Stimmt's so?

Jep :-)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Signum einer Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Fr 29.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Felix!

Vielen Dank für Deine Antwort!

Gruß, phrygian


P.S.: Ich hoffe, Du hast Dich mittlerweile von Deiner Erkältung erholt!

Bezug
                        
Bezug
Signum einer Permutation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Fr 29.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> P.S.: Ich hoffe, Du hast Dich mittlerweile von Deiner
> Erkältung erholt!

Noch nicht ganz, aber der Taschentuchverbrauch ist schon ziemlich stark zurueckgegangen :-)

LG Felix



Bezug
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