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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt und Basis
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Skalarprodukt und Basis: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mi 08.01.2014
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Seien B = [mm] (u_{1},....,u_{n}) [/mm] eine beliebige Basis von einem Vektorraum V und < , > ein Skalarprodukt auf V.
Zeigen Sie mit einem Beweis, dass die Angabe der Bilder
[mm] :=g_{i,j} [/mm] der Vektoren der Basis B das Skalarprodukt < , > eindeutig definiert.

Ich habe hier leider nicht den blassesten Schimmer, wie ich Anfangen soll.... :(

        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mi 08.01.2014
Autor: Sax

Hi,

du sollst nachweisen, dass du das Skalarprodukt von zwei beliebigen Vektoren v und w, also <v,w> ausrechnen kannst, wenn du weißt, welche Werte die Skalarprodukte der Basisvektoren haben.
Dieser Nachweis wird dir gelingen, wenn du v und w mit Hilfe der Basisvektoren darstellst und die Rechenregeln anwendest, die für ein Skalarprodukt gelten.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Mi 08.01.2014
Autor: Ymaoh

Aber die Skalarprodukte der Basisvektoren sind doch immer 0,
es sei denn ich nehme das Skalarprodukt von [mm] e_{i}, e_{i} [/mm]
(also von einem Basisvektor mit sich selbst, un da ist dann das Skalarprodukt doch 1)
?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 08.01.2014
Autor: Sax

Hi,

was du hier schreibst, gilt für die sog. kanonische Basis [mm] (e_1, e_2, [/mm] ...) und das sog. Standardskalarprodukt.

Für einen Vektorraum gibt es aber noch andere Basen, eine davon ist die in der Aufgabenstellung genannte [mm] (u_1, u_2, [/mm] ...). Und wie diese Basisvektoren zu multiplizieren sind, wird durch die Angabe der Zahlen [mm] g_{i,j} [/mm] festgelegt, diese Zahlen sind als gegeben anzusehen.

Gruß Sax.

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Skalarprodukt und Basis: ONB
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Mi 08.01.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hi,
>  
> was du hier schreibst, gilt für die sog. kanonische Basis
> [mm](e_1, e_2,[/mm] ...) und das sog. Standardskalarprodukt.

ich wollte nur ergänzen, dass das nicht alles ist, was möglich ist. Generell
(allgemeiner) kann man mal den Begriff "Orthonormalbasis" nachschlagen!

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 08.01.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Aber die Skalarprodukte der Basisvektoren sind doch immer
> 0,
>  es sei denn ich nehme das Skalarprodukt von [mm]e_{i}, e_{i}[/mm]
>  
> (also von einem Basisvektor mit sich selbst, un da ist dann
> das Skalarprodukt doch 1)
>  ?

Sax hatte dazu ja schon ein wenig gesagt - ich habe dazu noch etwas
ergänzt.

So als Hinweise (die auch schon fast vollständig so gegeben worden sind):

1. Schlag' den Begriff "euklidischer Vektorraum" nach (VR mit Skalarprodukt).
[Ich gehe davon aus, dass ihr Vektorräume über [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet - aber prinzipiell
reicht es für die Aufgabe auch aus, diesen Fall zu verstehen - man muss
dann am Ende nur überall [mm] $\IR$ [/mm] durch [mm] $K\,$ [/mm] - der entsprechende Körper - ersetzen!]

2. Schlage die Eigenschaften eines Skalarprodukts nach - bzw. ich bin mal
nett: []Lese sie hier (klick!) nach!

3. Wie war das noch mit einer Basis - was kann man damit anfangen? Wenn
$u, v [mm] \in V\,,$ [/mm] dann existieren hier nach Voraussetzung (Skalare) [mm] $\lambda_1,..., \lambda_n;\;\; \red{\mu_1},...,\red{\mu_n} \in [/mm] K$ mit

    [mm] $u=\sum_{k=1}^n \red{\mu_k} u_k$ [/mm] und [mm] $v=\sum_{m=1}^n \lambda_m u_m.$ [/mm]

Also ist

    [mm] $=\left\langle \sum_{k=1}^n \red{\mu_k} u_k, \sum_{m=1}^n \lambda_m u_m \right\rangle$ [/mm]

So, jetzt darfst Du mit 2. arbeiten und der Voraussetzung

    [mm] $=g_{ij}\,.$ [/mm]

P.S. Ich habe nur die [mm] $\mu_k$ [/mm] rotmarkiert, damit man sie besser von den [mm] $u_k$ [/mm]
unterscheiden kann!

Gruß,
  Marcel

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Skalarprodukt und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Do 09.01.2014
Autor: Ymaoh

Vielen Dank schon mal :)
Also, ich habe jetzt das folgende:

<v,w> = [mm] <\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}u_{i} [/mm] , [mm] \summe_{i=1}^{n} \beta_{j}u_{j}> [/mm]
Linearität im ersten Argument ->

[mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm]

Linearität im zweiten Argument ->

[mm] \summe_{i,j}^{n} \alpha_{i} \beta_{j} [/mm]

Und jetzt kann ich die Skalare noch rausziehen:
[mm] \alpha_{i} \beta_{j} \summe_{i,j}^{n} [/mm]

Und damit ist dann gezeigt, dass das Skalarprodukt der Vektoren v,w als Linearkombination des Skalarproduktes der Basisvektoren darstellbar ist.

Ist das so korrekt?

Edit: Die Skalare kann ich natürlich nicht rausziehen, da laufen die Indizes ja mit.


Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Do 09.01.2014
Autor: fred97


> Vielen Dank schon mal :)
>  Also, ich habe jetzt das folgende:
>  
> <v,w> = [mm]<\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}u_{i}[/mm] ,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \beta_{j}u_{j}>[/mm]
>  Linearität im ersten
> Argument ->
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm]
>  
> Linearität im zweiten Argument ->
>  
> [mm]\summe_{i,j}^{n} \alpha_{i} \beta_{j} [/mm]


Aber nur, wenn es sich um einen reellen Vektorraum handelt !

Im komplexen Fall lautet es so:

[mm]\summe_{i,j}^{n} \alpha_{i} \overline{\beta_{j}} [/mm]

>  
> Und jetzt kann ich die Skalare noch rausziehen:

Blos nicht !!!!!!


>  [mm]\alpha_{i} \beta_{j} \summe_{i,j}^{n} [/mm]
>  
> Und damit ist dann gezeigt, dass das Skalarprodukt der
> Vektoren v,w als Linearkombination des Skalarproduktes der
> Basisvektoren darstellbar ist.
>  
> Ist das so korrekt?
>  
> Edit: Die Skalare kann ich natürlich nicht rausziehen, da
> laufen die Indizes ja mit.

Die Kurve hast Du ja gerade nochmal gekriegt !

FRED

>  


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Bezug
Skalarprodukt und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Do 09.01.2014
Autor: Ymaoh

Gerade so :)

So, nun gibt es aber einen zweiten Teil zu dieser Aufgabe, wo ich wieder nicht genau weiß, was überhaupt gefragt ist:

(ii)
Wir versuchen nun, ein neues Skalarprodukt zu definieren und setzen:

[mm] _{B} [/mm] = [mm] \Delta_{i,j} [/mm]

Wie müssen wir <u,v>_{B} für beliebige u,v [mm] \in [/mm] V definieren, damit < , > ein Skalarprodukt ist?


Das ist ja das Kronecker-Delta, das ist mir so erstmal bekannt. Und das ist ja genau 1, falls die beiden U im Skalarprodukt den selben index haben, sonst ist es immer Null. Aber ich verstehe nicht genau, was hier von mir gefordert wird?

Bezug
                                                        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Do 09.01.2014
Autor: fred97


> Gerade so :)
>  
> So, nun gibt es aber einen zweiten Teil zu dieser Aufgabe,
> wo ich wieder nicht genau weiß, was überhaupt gefragt
> ist:
>  
> (ii)
>  Wir versuchen nun, ein neues Skalarprodukt zu definieren
> und setzen:
>  
> [mm]_{B}[/mm] = [mm]\Delta_{i,j}[/mm]
>  
> Wie müssen wir <u,v>_{B} für beliebige u,v [mm]\in[/mm] V
> definieren, damit < , > ein Skalarprodukt ist?
>  
>
> Das ist ja das Kronecker-Delta, das ist mir so erstmal
> bekannt. Und das ist ja genau 1, falls die beiden U im
> Skalarprodukt den selben index haben, sonst ist es immer
> Null. Aber ich verstehe nicht genau, was hier von mir
> gefordert wird?

Wenn [mm]_{B}[/mm] = [mm]\Delta_{i,j}[/mm] vorausgesetzt ist, so ist die Frage, wie man für u,v [mm] \in [/mm] V den Ausdruck

    $<u,v>_B$

definieren muss, damit $<*,*>_B$ ein Skalarprodukt auf V definiert.

Ich verrate es Dir: es gibt nur eine Möglichkeit.

Da tasten wir uns mal heran.

Es gibt eindeutig bestimmte Skalare [mm] s_1,...,s_n,t_1,...,t_n [/mm] mit

(*)  [mm] u=\summe_{j=1}^{n}s_j*u_j [/mm]  und [mm] v=\summe_{k=1}^{n}t_k*u_k [/mm]

Nun nimm mal an $<*,*>_B$ definiert ein SKP auf V, wobei [mm]_{B}[/mm] = [mm]\Delta_{i,j}[/mm] gilt.

Berechne damit und mit den Darstellungen in (*) den Ausdruck

    $<u,v>_{B}.$

Was kommt heraus ?

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Do 09.01.2014
Autor: Ymaoh

Also, das ist ja analog zur ersten Teilaufgabe, und dann kommt da raus:

[mm] \summe_{j,k=1}^{n} s_{j}t_{k} [/mm]

Da jetzt aber alle summanden, in denen die Indizes unterschiedlich sind, Null ergeben, bleibt:

[mm] \summe_{j=1}^{n} s_{j}t_{j} [/mm]
wobei [mm] [/mm] , also das Kronecker Delta, den Wer 1 hat, also bleibt nur noch:

[mm] \summe_{j=1}^{n} s_{j}t_{j} [/mm]

Aber wie habe ich damit etwas zur Definition des "neuen" Skalarprodukts gesagt?


Bezug
                                                                        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Do 09.01.2014
Autor: fred97


> Also, das ist ja analog zur ersten Teilaufgabe, und dann
> kommt da raus:
>  
> [mm]\summe_{j,k=1}^{n} s_{j}t_{k} [/mm]
>  
> Da jetzt aber alle summanden, in denen die Indizes
> unterschiedlich sind, Null ergeben, bleibt:
>  
> [mm]\summe_{j=1}^{n} s_{j}t_{j}[/mm]
>  wobei [mm][/mm] , also das Kronecker Delta, den Wer
> 1 hat, also bleibt nur noch:
>  
> [mm]\summe_{j=1}^{n} s_{j}t_{j}[/mm]

Stimmt. Ist der Vektorraum aber komplex, so kommt raus

[mm]\summe_{j=1}^{n} s_{j}* \overline{t_{j}}[/mm]

>  
> Aber wie habe ich damit etwas zur Definition des "neuen"
> Skalarprodukts gesagt?

Jetzt sagst Du folgendes:

zu u,v [mm] \in [/mm] V gibt es eindeutig bestimmte Skalare $ [mm] s_1,...,s_n,t_1,...,t_n [/mm] $ mit

  $ [mm] u=\summe_{j=1}^{n}s_j\cdot{}u_j [/mm] $  und $ [mm] v=\summe_{k=1}^{n}t_k\cdot{}u_k [/mm] $.

Wir setzen dann

(*) [mm] $_B:=\summe_{j=1}^{n} s_{j}t_{j}$ [/mm]

(bzw. im komplexen Fall [mm] $_B:=\summe_{j=1}^{n} s_{j}* \overline{t_{j}}$. [/mm]

Dann ist klar, dass

   $ [mm] _{B} [/mm] $ = $ [mm] \Delta_{i,j} [/mm] $

erfüllt ist.

zeigen solltest Du noch, dass in (*) tatsächlich ein SKP auf V def. wird.

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Do 09.01.2014
Autor: Ymaoh

Ah, okay, das ist leicht.
Dann hab ichs.
Vielen Dank :)

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Do 09.01.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank schon mal :)
>  Also, ich habe jetzt das folgende:
>  
> <v,w> = [mm]<\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}u_{i}[/mm] ,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \beta_{j}u_{j}>[/mm]
>  Linearität im ersten
> Argument ->
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm]

benutzt Du hier die sogenannte Einsteinsche Summenkonvention? Denn
"eigentlich" sollte da

    [mm] $...=\sum_{i=1}^n \alpha_i \left\langle u_i, \sum_{j=1}^n \beta_j u_j\right\rangle$ [/mm]

> Linearität im zweiten Argument ->
>  
> [mm]\summe_{i,j}^{n} \alpha_{i} \beta_{j} [/mm]

Jo, das würde man vielleicht als

    [mm] $\sum_{(i,j) \in \{1,...,n\} \times \{1,...,n\}} \alpha_i \beta_j $ [/mm]

ansehen (das ist eine etwas "eigenwillige" Notation von Dir - vielleicht hast
Du aber auch nur unter dem Summenzeichen das "=1" vergessen...). Ich
würde es "elementarer" lassen und entsprechend dem vorhergesagten
erstmal als

    [mm] $...=\sum_{i=1}^n \alpha_i \left(\sum_{j=1}^n \beta_j \right)$ [/mm]

hinschreiben, und danach dann

    [mm] $...=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \,.$ [/mm]

(Letzteres ist aufgrund der Kommutativität der Addition das Gleiche wie

    [mm] $...=\sum_{i,j \in \{1,...,n\}} \alpha_i \beta_j \,.$ [/mm]

[So hätte ich Dein [mm] $\sum_{i,j}^n [/mm] ...$ verstanden...!])

Und jetzt wäre es vielleicht sinnvoll, das noch kurz als

    [mm] $...=\sum_{i,j=1}^n \alpha_i \beta_j g_{i,j}$ [/mm]

zu schreiben, damit deutlich(er) wird, dass da nun "alles bekannt" ist, um
den Ausdruck auszuwerten.

Gruß,
  Marcel

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