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Skalarprodukte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mo 18.05.2015
Autor: Neutron

Aufgabe
Sei V ein euklidischer Vektrorraum mit dem Skalarprodukt <.,.> und der induzierten Norm ||.||. Weiter sei f: V [mm] \to [/mm] V eine Abbildung, für die ||f(x) - f(y)|| = ||x - y|| und f(-x) = -f(x) für alle x,y [mm] \in [/mm] V gilt.

(a) Zeigen Sie, dass ||f(x)|| = ||x|| für alle x [mm] \in [/mm] V gilt.
(b) Zeigen Sie, f ist linear.
(c) Zeigen Sie, f ist eine Isometrie.
(d) Sei nun V endlich-dimensional. zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

Die Teilaufgaben (b) und (c) habe ich bereits gelöst. Jedoch fehlen mir die Ansätze bei (a) und vor allem bei (d). Wahrscheinlich ist (a) trivial nur ich komme einfach nicht darauf. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Skalarprodukte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Mo 18.05.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Sei V ein euklidischer Vektrorraum mit dem Skalarprodukt
> <.,.> und der induzierten Norm ||.||. Weiter sei f: V [mm]\to[/mm] V
> eine Abbildung, für die ||f(x) - f(y)|| = ||x - y|| und
> f(-x) = -f(x) für alle x,y [mm]\in[/mm] V gilt.
>  
> (a) Zeigen Sie, dass ||f(x)|| = ||x|| für alle x [mm]\in[/mm] V
> gilt.
>  (b) Zeigen Sie, f ist linear.
>  (c) Zeigen Sie, f ist eine Isometrie.
>  (d) Sei nun V endlich-dimensional. zeigen Sie, dass f
> bijektiv ist.
>  Die Teilaufgaben (b) und (c) habe ich bereits gelöst.
> Jedoch fehlen mir die Ansätze bei (a) und vor allem bei
> (d). Wahrscheinlich ist (a) trivial nur ich komme einfach
> nicht darauf. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.

zu (a):
Es gilt $f(0)=0$ klar warum?
Daraus folgt direkt die Behauptung.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Di 19.05.2015
Autor: Neutron

Sorry ist mir leider nicht klar :/  Woraus folgt das denn?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Di 19.05.2015
Autor: fred97


> Sorry ist mir leider nicht klar :/  Woraus folgt das denn?


Aus f(-x) = -f(x). Mit x=0 folgt:

   f(0)=-f(0).

FRED


Bezug
        
Bezug
Skalarprodukte: zu d)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mo 18.05.2015
Autor: angela.h.b.

Hallo,

f ist also ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes.
Es gilt: f bijektiv<==> f injektiv (<==> f surjektiv),
und weiter : f injektiv <==> kern [mm] f=\{0\}. [/mm]

Das sollte helfen.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Skalarprodukte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Di 19.05.2015
Autor: Neutron

Danke für deine Hilfe! Jedoch weis ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass Kern(f) = 0 ist. Aus welcher Eigenschaft kann man das ablesen?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Di 19.05.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Hilfe! Jedoch weis ich nicht genau, wie
> ich zeigen soll, dass Kern(f) = 0 ist. Aus welcher
> Eigenschaft kann man das ablesen?


   $ ||f(x)|| = ||x||$ für alle $x [mm] \in [/mm] V$

FRED


Bezug
        
Bezug
Skalarprodukte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 19.05.2015
Autor: fred97

Wieso hast Du die Frage wieder auf "nichtbeantwortet" gestellt ?

Sie wurde schon gestern ausreichend beantwortet.

FRED

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Di 19.05.2015
Autor: Neutron

Sorry weil ich noch weitere Fragen hatte. Aber Danke für eure Tipps! Habt mir echt weitergeholfen!

Bezug
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