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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Spiegelung Gerade und Punkte
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Spiegelung Gerade und Punkte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Sa 12.03.2005
Autor: Defender

hi@all

Ich bin nun seit Tagen an einer Aufgabe gescheitert. Und am Dienstag schreibe ich die Klausur unter anderem darüber.

Erstmal die Aufgabe:
Gegeben sind die Geraden:
g1: [mm] \vektor{0 \\ 0,5 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -2} [/mm]

g2: [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 3} [/mm] + s * [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ -1} [/mm]

a) Spiegele die Gerade g1 an der Geraden g2

b) Bestimme einen Punkt P2 auf g2, sodass das Dreieck p1 S p2 gleichschenklig ist.

c) Die Gerade durch die Punkte P1, P2 soll am Punkt S gespiegelt werden. Bestimme die Spiegelpunkte.

Zu den Aufgaben stehen in meinem Arbeitsbuch keine Informationen. (Über Spiegelung) Ich weiss leider nicht wie ich das rechnen soll. Ausserdem ist eine Zeichnung sicher sinnvoll bei dieser Aufgabe. Ein Lösungsansatz ist, das man bei a) einen Punkt spiegelt und dann daraus die Geradengleichung herleitet. Bei b) und c) fällt mir nichts sinnvolles ein. Bin nun etwas aufgeregt, weil ich da nun lange dran sitze und nicht weiterkomme.

Wäre echt super, wenn einer mir erklären könnte wie man bei diesen Aufgaben vorgehen muss.

Gruß
Defender

        
Bezug
Spiegelung Gerade und Punkte: zu Teil a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 So 13.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Defender

Erstmal mußt du dir überlegen , dass du zwei Punkte brauchst um eine Gerade zu basteln. Also suchst du dir zwei Punkte auf [mm] g_{1} [/mm] und spiegelst sie an [mm] g_{2}! [/mm]

Ich rechne dir hier noch mal beipielhaft die Spiegellung eines Punktes an einer Geraden vor:

Nennen wir den Punkt P ,  [mm] \overrightarrow{0P}= \overrightarrow{p} [/mm]

und die Gerade G:  [mm] \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a}+t* \overrightarrow{b} [/mm]

Jetzt mußt du den Fußpunkt des Lotes von P auf die Gerade G bestimmen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

1.) Der Endpunkt von [mm] x_{0} [/mm] liegt auf G , also gibt es einen Parameterwert [mm] t_{0} [/mm] , so daß  [mm] \overrightarrow{x_{0}}= \overrightarrow{a}+t_{0}* \overrightarrow{b} [/mm] ist.

2.) Das Lot [mm] x_{0}-p [/mm] steht senkrecht auf  [mm] \overrightarrow{b} [/mm] , d. h. [mm] (x_{0}-p)* \overrightarrow{b}=0 [/mm] oder [mm] x_{0}* \overrightarrow{b}= \overrightarrow{p}* \overrightarrow{b} [/mm]

Jetzt setzen wir [mm] x_{0}* \overrightarrow{b}= \overrightarrow{p}* \overrightarrow{b} [/mm] in [mm] \overrightarrow{x_{0}}= \overrightarrow{a}+t_{0}* \overrightarrow{b} [/mm] ein , aber vorher formen wir noch ein wenig um:

Wir multiplizieren [mm] \overrightarrow{x_{0}}= \overrightarrow{a}+t_{0}* \overrightarrow{b} [/mm] mit  [mm] \overrightarrow{b} [/mm]

und erhalten dann:

[mm] \overrightarrow{x_{0}}* \overrightarrow{b}= \overrightarrow{p}* \overrightarrow{b}= \overrightarrow{a}* \overrightarrow{b}+t_{0}* \overrightarrow{b^{2}} [/mm]

Auflösen nach [mm] t_{0} [/mm] ergibt:

[mm] t_{0}=\bruch{( \overrightarrow{p}- \overrightarrow{a})* \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b^{2}}} [/mm]

Und jetzt machst du mal alleine weiter. Du mußt dir jetzt nur noch mal so eine Zeichnung wie oben machen und dann dürfte es nicht mehr schwierig sein den Spiegelpunkt zu bestimmen. Sonst frag einfach nochmal!

Gruß Fabian


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Spiegelung Gerade und Punkte: Danke aber...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 So 13.03.2005
Autor: Defender

hi!

Danke für deine Hilfe! Du hast ja auch sogar eine Zeichnung gemacht :)

Trotzdem muss ich sagen, das ich das nicht verstehe, das ganze ist mir irgendwie zu kompliziert, erscheint mir nicht schlüssig...

Also was  mir klar ist bei a) Um an die Spiegelgerade zu kommen, muss ich 2 Punkte auf Gerade 1 finden, die ich dann an Gerade 2 Spiegel, aus den Spiegelpunkten kann ich dann die Spiegelgerade ableiteten oder?

Bisher haben wir immer einfache Sachen gerechnet ala Schnittpunkte, Abstände oder Lagebeziehung...dieses scheint mir jedoch sehr schwer zu sein.

Gruß
Defender

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Spiegelung Gerade und Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 So 13.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Defender

Was genau ist dir denn nicht schlüssig. Also ich wüßte nicht wie man das sonst machen könnte. Eine Gerade an einer Geraden zu spiegeln ist auch ein wenig umständlich. Es wäre natürlich leichter einen Gerade an einem Punkt zu spiegeln, weil man dann nicht den Lotfußpunkt berechnen muß.

Ich mach nochmal ein wenig weiter, vielleicht wird es dann klarer!

Denn Spiegelpunkt erhälst du durch folgende Rechnung:

[mm] p'=2\overrightarrow{x_{0}}-\overrightarrow{p} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]


Und noch ein kleiner Tipp: Prüf doch mal nach , ob sich die beiden Geraden schneiden , dann kannst du dir die Berechnung des zweiten Punktes sparen!!! Weißt du auch warum ?

Gruß Fabian

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Spiegelung Gerade und Punkte: Spiegelung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 So 13.03.2005
Autor: Defender

hi!

Ja die beiden Geraden schneiden sich.

Ich versuche das nun nochmal zu rechnen, aber leider fällt mir das sehr schwer weil ich mit den Vektoren irgendwie nicht klar komme.

Wieso ist denn $ [mm] p'=2\overrightarrow{x_{0}}-\overrightarrow{p} [/mm] $, also warum muss man [mm] 2\overrightarrow{x_{0}} [/mm] nehmen? (wieso 2 mal)

Gruß
Defender

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Spiegelung Gerade und Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 So 13.03.2005
Autor: Fabian

Hallo

Schau dir doch noch mal meine tolle Zeichnung an ;-)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Da kannst du doch erkennen , das der Abstand von P zu Lotfußpunkt [mm] =\overrightarrow{x_{0}}- \overrightarrow{p} [/mm] ist. Na ja , und der Abstand von P und P' ist gleich [mm] 2*\overrightarrow{x_{0}}- \overrightarrow{p} [/mm]

Ich weiß jetzt auch nicht mehr wie ich das anders erklären soll. Wenn dein Lehrer euch die Musterlösung gibt , dann kannst du sie ja mal posten.

Gruß Fabian

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Spiegelung Gerade und Punkte: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 So 13.03.2005
Autor: Defender

hi!

Also ich habe nun so eine ähnliche Aufgabe gelöst, dort war der Punkt der gespiegelt werden muss gegeben (E). Gesucht ist nun  [mm] E_{spiegel} [/mm] . Dann habe ich den Abstand zur Geraden ermittelt ( Punkt / Gerade )  Und den Lotfußpunkt nenne ich mal q. Den Punkt habe ich dann auch ermittelt und habe dann die Gleichung:  [mm] E_{spiegel} [/mm] =  [mm] \overrightarrow{Xq} [/mm] +  [mm] \overrightarrow{EQ} [/mm]
So habe ich dann den Punkt  [mm] E_{spiegel} [/mm] herausgefunden.

Bei dieser Aufgabe ist ja nur anders, das der Punkt den ich spiegeln muss nicht gegeben ist.

Gruß
Defender


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Spiegelung Gerade und Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Mo 14.03.2005
Autor: Fabian

Hallo Defender

Was soll ich dir jetzt antworten? Ich weiß nicht wie du auf den Lotfußpunkt gekommen bist. Gerade bei solchen Aufgaben ist eine Zeichnung immer hilfreich. Wie gesagt, meld dich noch mal wenn dein Lehrer euch die Musterlösung gibt. Schau doch mal auf dieser Seite nach  []Mathe-Aufgaben.de. Hier findet man die Lösung zu so manchen Problem. Ich glaub da wird auch die Spiegelung behandelt.

Gruß Fabian

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Spiegelung Gerade und Punkte: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Mo 14.03.2005
Autor: Defender

hi!

Danke für deine Hilfe! Ich denke ich habe das nun verstanden. Ich habe heute auch nochmal Spiegelungsaufgaben mit einem Kumpel zusammen gerechnet und das Ergebnis stimmte :)

Hoffentlich kann ich morgen in der Klausur alles :-)

Gruß
Defender

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