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So, meine Frage:
Wie kann man von der Kurve auf eine Spur schließen? Ich tue mir sehr sehr, mir die Kurven vorzustellen. Verstehe das auch nicht so ganz mit dem Definitionsbereich und sowieso die Bilder nicht. Kann mir einer helfen, wie man auf solche Bilder kommt und wenn man jetzt zum Beispiel für t=1 einsetzt bei der ersten Kurve, dann bekommt man ja (Cos(1),Sin(1), Dieser Punkt liegt auf der Kurve?
Muss ich die Funktion, also f(t), als Vektor sehen?
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
PS:ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
eine Parameterdarstellung einer Kurve erfolgt durch Vektoren, es gelten Vektoraddition, man kann Skalar- und Kreuzprodukte im [mm] \IR^3 [/mm] bilden usw.
Die Spur ergibt sich dann als zusammenhängende Menge an Punkten, deren Lage von t abhängt. Daher müssen die Komponentenfunktionen möglichst bijektiv sein.
Die Vektorkoordinaten eines Punktes erhält man durch Einsetzen eines Wertes für den Parameter - ( Cos(1), Sin(1) ) wäre ein Punkt auf dem Einheitskreis.
Maschinell wird eine Kurve geplottet, indem man Punkte vershiedener Werte mit Geraden verbindet und den Abstand zwischen zwei Werten [mm] \Delta [/mm] t möglichst klein wählt.
lg
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Vielen Dank schonmal für deine Erklärung, aber irgendwie verstehe ich es trotzdem nicht.
Kannst du mir bei Aufgabe 1 mal helfen, die Bilder den Kurven zuzuordnen.
kann man sagen, dass die erste Kurve dem dritten Bild zugeordnet wird, weil da ja cos und sin einfach vorkommen und deshalb sehr kreisähnlich aussieht?
Und vielleicht kann mir noch einer sagen, wie man vorgeht, wenn man eine Spur zeichnen soll?
Ich freue mich über jede Hilfe
gruß
TheBozz-mismo
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Also bei den Spuren hast du jetzt nur eine Vermutung fundiert. An direkten Punktauswertungen müsste man die Zuordnung festmachen, was gerade bei deinen Beispielen großen Aufwand bedeutet.
Vom eigentlichen Hinschauen bekommt man es nur dann raus, wenn man Unterschiede in der Symmetrie herausfindet - hier sind z.B. alle y- Werte symmetrisch um den Intervallmittelpunkt verteilt - aber leider bei allen Kurven.
Zur zweiten Spur würde ich die dritte Kurve zuordnen - die x- und y-Werte werden innerhalb des Intervalls jeweils genau zwei mal gleich null - bei den anderen Spuren haben die y-Werte mehr Nullstellen.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 30.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank schonmal für deine Erklärung, aber irgendwie
> verstehe ich es trotzdem nicht.
Könnte es nicht eher sein, dass du die Arbeit scheust?
Es ist doch nun wirklich nicht zuviel verlangt (wenn man die Lösung wirklich selbst erringen WILL),
mit dem Parameter t das vorgegebene Intervall zu durchlaufen und in regelmäßigen Abständen (ich empfehle jeweils [mm] \pi/4) [/mm] die x- und y-Koordinate auszurechnen.
Gruß Abakus
> Kannst du mir bei Aufgabe 1 mal helfen, die Bilder den
> Kurven zuzuordnen.
> kann man sagen, dass die erste Kurve dem dritten Bild
> zugeordnet wird, weil da ja cos und sin einfach vorkommen
> und deshalb sehr kreisähnlich aussieht?
>
> Und vielleicht kann mir noch einer sagen, wie man vorgeht,
> wenn man eine Spur zeichnen soll?
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> Ich freue mich über jede Hilfe
> gruß
> TheBozz-mismo
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> Könnte es nicht eher sein, dass du die Arbeit scheust?
> Es ist doch nun wirklich nicht zuviel verlangt (wenn man
> die Lösung wirklich selbst erringen WILL),
> mit dem Parameter t das vorgegebene Intervall zu
> durchlaufen und in regelmäßigen Abständen (ich empfehle
> jeweils [mm]\pi/4)[/mm] die x- und y-Koordinate auszurechnen.
> Gruß Abakus
Ich denke mal nicht, dass ich die Arbeit scheue. Bis jetzt kannte ich nur normale Funktionen wie [mm] 4x^2. [/mm] Ich finde, dass das jetzt schon ne Umstellung ist und mir fällt es schwer, sich da hereinzuversetzen.
Außerdem versuche ich mir dieses Thema selbst beizubringen mit Internet, Skripte, etc.
Also, du hast , dass man t einsetzen soll und dann die x,y Kooridinate erhält.
Bei der ersten Funktion zum Beispiel wähle ich t= [mm] \bruch{-3*\pi}{2}, [/mm] dann bekomme ich als Koordinaten [mm] (0,\bruch{-3*\pi}{2}).
[/mm]
Ich habe noch eine Frage zur SKizze: Ist die y-Achse der Parameter t und wie kann ich den errechneten Punkt im Koordinatenkreuz finden? Sorry, aber ich würde es gerne verstehen.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen würde
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich habe noch eine Frage zur SKizze: Ist die y-Achse der
> Parameter t und wie kann ich den errechneten Punkt im
Nein, nein. Es werden (x(t),y(t)) gezeichnet.
> Koordinatenkreuz finden? Sorry, aber ich würde es gerne
Gemeinerweise haben die Achsen keine Maßmarkierungen. Du kannst also nur qualitativ bzw. relativ markante Punkt zur Argumentation in Beziehung setzen.
>verstehen
Heißt meistens nur machen und sich daran gewöhnen.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 30.03.2010 | | Autor: | gfm |
Man könnte die Schnitte mit den Achsenuntersuchen. Oder man könnte versuchen, Gleichungen F(x,y)=0 aus den Parameterdarstellungen zu gewinnen, an denen man es besser sieht, oder eine andere Parameterdarstellung wählen.
Z.B. die erste Funktion:
Wenn man an die Darstellung [mm] z=re^{i\phi}=r\cos{\phi}+ir\sin{\phi} [/mm] für komplexe Zahlen denkt und nach einer Parametrisierung für den Radius und das Argument sucht, möchte man
[mm] r(t)\cos{\phi(t)}=t\cos{t}
[/mm]
[mm] r(t)\sin{\phi(t)}=t\sin{t}
[/mm]
Daraus folgt [mm]r(t)^2=t^2[/mm] also [mm]r(t)=|t|[/mm] sowie
[mm]\cos{\phi(t)}=sgn(t)\cos{t}[/mm] und [mm]\sin{\phi(t)}=sgn(t)\sin{t}[/mm]
Im Negativen braucht man also ein Vorzeichenwechsel. Das bekommt man durch Addition von [mm] \pi [/mm] hin.
Daraus folgt [mm]\phi(t)=t*1_{[0,\infty)}(t)+(t+\pi)*1_{(-\infty,0)}(t)=t+\pi*1_{(-\infty,0)}(t)[/mm] und insgesamt [mm]z=|t|e^{i[t+\pi*1_{(-\infty,0)}(t)]}[/mm]
Nun ist [mm] t\in[-\frac{3}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi]
[/mm]
Wenn t bei [mm] -\frac{3}{2}\pi [/mm] startet ist das Argument von z -90°. Wir erhalten dann eine Spirale die bei -90° auf der y-Achse beginnt und mit 180° in den Ursprung einläuft. Wenn t nun gleich null ist fällt das zusätzliche [mm] \pi [/mm] weg und wir erhalten eine Spirale die mit 0° aus dem Ursprung herausläuft und bei 270° auf der y-Achse endet. Das wäre dann das dritte Bild.
LG
gfm
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Vielen Dank für deine Hilfe. ich glaube, ich muss mir nochmal die komplexen zahlen zu Gemüte führen(mit Argument, etc.)
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gfm |
Also wenn es hier nicht um eine ausführliche Kurvendiskussion geht, sondern nur um eine begründetet Zuordnung, dann entwickele doch die Koordinatenfunktionen bei bei [mm]t=0[/mm] bis zum jeweils ersten Term:
Es ergibt sich
[mm] (t,t^4)\to [/mm] Parabel vierten Grades, sehr platt gedrückt
[mm] (t^3,t^2)\to [/mm] Wurzelverlauf
[mm] (t,t^2)\to [/mm] "normale" Parabel
Die Bilder lassen sich damit eindeutig zuordnen.
LG
gfm
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> bei bei [mm]t=0[/mm] bis zum jeweils ersten Term:
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> Es ergibt sich
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> [mm](t,t^4)\to[/mm] Parabel vierten Grades, sehr platt gedrückt
> [mm](t^3,t^2)\to[/mm] Wurzelverlauf
> [mm](t,t^2)\to[/mm] "normale" Parabel
Könntest du mir etwas genauer erklären, wie du darauf kommst? Also, wenn man in den Kurven jeweils t=0 setzt, kommt doch überall 0 heraus.
Was meinst du bis zum jeweils ersten term?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gfm |
Ich meine eine Potenzreihenentwicklung bei t=0 bis zur ersten nicht konstanten Potenz von t.
Z.B.
[mm] t*\cos t=t*(1-t^2/2+...)=t+... [/mm]
[mm] t*\sin t=t*(t-t^3/6+...)=t^2-...
[/mm]
LG
gfm
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