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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit
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Stetigkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 01.01.2015
Autor: Wartberg

Aufgabe
Ist die Funktion

f: [mm] \IR \to \IR: [/mm]  x [mm] \mapsto \begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1 - x , & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases} [/mm]

stetig?


Guten Tag und ein frohes Neues Jahr,

ich beschäftige mich momentan mit der obigen Aufgabe und würde gerne erfahren, wie ich den Beweis zu Ende führen kann.

Behauptung:

Die Funktion f ist nicht stetig.

Beweis:

Damit eine Funktion stetig wäre, müsste gelten:

[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0  [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall x,x_{0}: |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

In Worten: Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] lässt sich ein [mm] \delta [/mm] finden, sodass, wenn der Abstand zweier x und [mm] x_{0} [/mm] des Definitionsbereich kleiner ist als dieses [mm] \delta, [/mm] dies impliziert, dass die Funtkionswerte dieser x, [mm] x_{0} [/mm] kleiner sind als das [mm] \varepsilon. [/mm]


Um die Stetigkeit in der obigen Aufgabe zu widerlegen, kann ich ja ein Gegenbeispiel angeben:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (eine recht beliebige Wahl, aber das ist ja bei einem Gegenbeispiel egal)

Sei nun [mm] \delta [/mm] > 0 beliebig, so lassen sind selbst in einem noch so kleinen [mm] \delta [/mm] - Intervall ein

x [mm] \in \IQ [/mm]
[mm] x_{0} \in \IR\\IQ [/mm]

finden.
Dies erkläre ich mir so, da ja sowohl [mm] \IQ, [/mm] als auch [mm] \IR [/mm] dicht sind und ich so immer noch zwei Zahlen der beiden Kategorien finden darf.

Dann folgt:

Sei 0 < [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta, [/mm] dann folgt:

[mm] |f(x)-f(x_{0}| [/mm] = |x -(1-x)| = |2x - 1|

Dies soll nun kleiner sein als mein gewähltes [mm] \varepsilon, [/mm] also

|2x-1| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]

Hier komme ich allerdings nicht so recht weiter. Einmal dachte ich mir, dass ich hier aufhören könnte, da die obige Bedingung ja nur für 0,25 < x < 0,75 und nicht den gesamten Definitionsbereich erfüllt ist.


Normal bei solchen [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Stetigkeitsuntersuchungen ist es ja, dass ich ein [mm] \delta [/mm] unabhängig von x (und abhängig von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \varepsilon) [/mm] finde, aber auch dies ist mir hier nicht geglückt, um die fehlende Stetigkeit zu beweisen bzw. eine passende Abschätzung zu finden.

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Liebe Grüße

Wartberg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Do 01.01.2015
Autor: abakus


> Ist die Funktion

>

> f: [mm]\IR \to \IR:[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1 - x , & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases}[/mm]

>

> stetig?

>

> Guten Tag und ein frohes Neues Jahr,

>

> ich beschäftige mich momentan mit der obigen Aufgabe und
> würde gerne erfahren, wie ich den Beweis zu Ende führen
> kann.

>

> Behauptung:

>

> Die Funktion f ist nicht stetig.

>

> Beweis:

>

> Damit eine Funktion stetig wäre, müsste gelten:

>

> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall x,x_{0}: |x-x_{0}|[/mm]
> < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - [mm]f(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

>

> In Worten: Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] lässt sich ein [mm]\delta[/mm]
> finden, sodass, wenn der Abstand zweier x und [mm]x_{0}[/mm] des
> Definitionsbereich kleiner ist als dieses [mm]\delta,[/mm] dies
> impliziert, dass die Funtkionswerte dieser x, [mm]x_{0}[/mm] kleiner
> sind als das [mm]\varepsilon.[/mm]

>
>

> Um die Stetigkeit in der obigen Aufgabe zu widerlegen, kann
> ich ja ein Gegenbeispiel angeben:

>

> Sei [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (eine recht beliebige Wahl,
> aber das ist ja bei einem Gegenbeispiel egal)

>

> Sei nun [mm]\delta[/mm] > 0 beliebig, so lassen sind selbst in einem
> noch so kleinen [mm]\delta[/mm] - Intervall ein

>

> x [mm]\in \IQ[/mm]
> [mm]x_{0} \in \IR\\IQ[/mm]

>

> finden.
> Dies erkläre ich mir so, da ja sowohl [mm]\IQ,[/mm] als auch [mm]\IR[/mm]
> dicht sind und ich so immer noch zwei Zahlen der beiden
> Kategorien finden darf.

>

> Dann folgt:

>

> Sei 0 < [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta,[/mm] dann folgt:

>

> [mm]|f(x)-f(x_{0}|[/mm] = |x -(1-x)| = |2x - 1|

>

> Dies soll nun kleiner sein als mein gewähltes [mm]\varepsilon,[/mm]
> also

>

> |2x-1| < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]

>

> Hier komme ich allerdings nicht so recht weiter. Einmal
> dachte ich mir, dass ich hier aufhören könnte, da die
> obige Bedingung ja nur für 0,25 < x < 0,75 und nicht den
> gesamten Definitionsbereich erfüllt ist.

>
>

> Normal bei solchen [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm]
> Stetigkeitsuntersuchungen ist es ja, dass ich ein [mm]\delta[/mm]
> unabhängig von x (und abhängig von [mm]x_{0}[/mm] und [mm]\varepsilon)[/mm]
> finde, aber auch dies ist mir hier nicht geglückt, um die
> fehlende Stetigkeit zu beweisen bzw. eine passende
> Abschätzung zu finden.

>

> Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

>

> Liebe Grüße

>

> Wartberg

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
ich habe so den intuitiven Verdacht, dass die Funktion an der Stelle x=0,5 stetig ist, und nur für [mm] $x\ne [/mm] 0,5$ ist sie unstetig.

Du darst dir übrigens kein konkretes Epsilon vorgeben. Du hast irgendein kleines Intervall   [mm](x_0-\delta; x_0+\delta)[/mm] , bei dem eine Grenze etwas näher an 0,5 liegt als die andere. An der Seite, die näher an 0,5 liegt, sind die Abstände zwischen den Funktionswerten der rationalen und der irrationalen Zahlen am geringsten. Das Epsilon muss kleiner sein als dieser Abstand.
Nun läuft es aber praktisch gerade umgekehrt, denn du gibst dir ja kein [mm] $\delta$ [/mm] vor, sondern ein [mm] $\epsilon$. [/mm]
So lange x nicht 0,5 ist sollte es dir auch gelingen, zu jedem  [mm] $\epsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$ [/mm] zu finden.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Do 01.01.2015
Autor: Wartberg

Hallo abakus,

erst einmal vielen Dank, dass Du Dich meinem Problem angenommen hast.

Ich habe momentan das Problem, dass ich mir nicht wirklich vorstellen kann, wie genau diese Funktion verläuft und wieso sie, wie Du sagst, bei x = 0,5 stetig ist, weil ich a) nicht weiß, wie ich eine solche Funktion, also eine solche mit dieser "Fallunterscheidung" bei z.B. WolframAlpha eingeben soll oder mir b) die Intuition fehlt, da ich noch recht am Anfang meiner "Mathematiker-Karriere" stehe.

Nunja, Du schreibst erst,

> ich habe so den intuitiven Verdacht, dass die Funktion an der Stelle x=0,5 stetig ist, und nur für $ [mm] x\ne [/mm] 0,5 $ ist sie unstetig

und später

> So lange x nicht 0,5 ist sollte es dir auch gelingen, zu jedem  $ [mm] \epsilon [/mm] $ ein $ [mm] \delta [/mm] $ zu finden.

aber widerspricht sich das nicht, da ja, wenn ich zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finde, wenn x [mm] \not= [/mm] 0,5 ist, dass es dann auch bei x [mm] \not= [/mm] 0,5 stetig ist?


Um Stetigkeit zu zeigen, bin ich bisher immer so vorgegangen:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Sei 0 < [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta, [/mm] mit [mm] \delta [/mm] = ...

Dann folgt, wenn ich wieder x [mm] \in \IQ, x_{0} \in \IR\\IQ [/mm] wähle:

|f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] = |x - (1 - [mm] x_{0})| [/mm] = |-1 + [mm] (x+x_{0})| [/mm]

Doch wie bekomme ich jetzt aus [mm] (x+x_{0}) [/mm] ein [mm] (x-x_{0}), [/mm] damit ich durch das Delta eine Abschätzung nach oben machen darf?

Liebe Grüße

Wartberg

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Do 01.01.2015
Autor: abakus


> Hallo abakus,

>

> erst einmal vielen Dank, dass Du Dich meinem Problem
> angenommen hast.

>

> Ich habe momentan das Problem, dass ich mir nicht wirklich
> vorstellen kann, wie genau diese Funktion verläuft und
> wieso sie, wie Du sagst, bei x = 0,5 stetig ist, weil ich
> a) nicht weiß, wie ich eine solche Funktion, also eine
> solche mit dieser "Fallunterscheidung" bei z.B.
> WolframAlpha eingeben soll oder mir b) die Intuition fehlt,
> da ich noch recht am Anfang meiner "Mathematiker-Karriere"
> stehe.

>

> Nunja, Du schreibst erst,

>

> > ich habe so den intuitiven Verdacht, dass die Funktion an
> der Stelle x=0,5 stetig ist, und nur für [mm]x\ne 0,5[/mm] ist sie
> unstetig

>

> und später

>

> > So lange x nicht 0,5 ist sollte es dir auch gelingen, zu
> jedem [mm]\epsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] zu finden.

>

> aber widerspricht sich das nicht, da ja, wenn ich zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] finde, wenn x [mm]\not=[/mm] 0,5 ist, dass es
> dann auch bei x [mm]\not=[/mm] 0,5 stetig ist?

>
>

> Um Stetigkeit zu zeigen, bin ich bisher immer so
> vorgegangen:

>

> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Sei 0 < [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta,[/mm]
> mit [mm]\delta[/mm] = ...

>

> Dann folgt, wenn ich wieder x [mm]\in \IQ, x_{0} \in \IR\\IQ[/mm]
> wähle:

>

> |f(x) - [mm]f(x_{0})|[/mm] = |x - (1 - [mm]x_{0})|[/mm] = |-1 + [mm](x+x_{0})|[/mm]

>

> Doch wie bekomme ich jetzt aus [mm](x+x_{0})[/mm] ein [mm](x-x_{0}),[/mm]
> damit ich durch das Delta eine Abschätzung nach oben
> machen darf?

>

> Liebe Grüße

>

> Wartberg

Hallo,
die Eigenschaft "stetig" an sich gibt es so nicht.
Es gibt
- stetig an einer Stelle
- stetig in einem Intervall (also stetig an jeder Stelle des Intervalls)
- stetig im gesamte Definitionsbereich


Deine Funktion ist an der Stelle x=0,5 stetig, weil für jede sich an die Stelle x=0,5 annähernde Folge von Argumenten  die Folge der Funktionswerte den gleichen Grenzwert (hier ebenfalls 0,5) besitzt.
Wer zwingt dich übrigens, das Epsilon-Delta-Kriterium zu verwenden?
Die Funktion ist an jeder Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ungleich 0,5 unstetig, weil eine Annäherung an [mm] $x_0$ [/mm] entlang ausschließlich rationaler Werte einen anderen Grenzwert liefert als entlang ausschließlich irrationaler Werte.
Nehmen wir doch mal die Zahl [mm] $x_0=\pi$. [/mm]
Die Folge
3
3,1
3,14
3,141
3,1415
(fortwährend genauere Annäherung von [mm] $\pi$) [/mm] besteht nur aus rationalen Zahlen, dafür gilt der Teil der Funktionsgleichung mit f(x)=x.
Die Funktionswerte bilden also genau die selbe Folge und konvergieren gegen [mm]  $\pi$. [/mm]
Die Folge von x-Werten
[mm] $0,9*\pi$ [/mm]
[mm] $0,99*\pi$ [/mm]
[mm] $0,999*\pi$ [/mm]
[mm] $0,9999*\pi$  [/mm]
... geht auch gegen  [mm] $\pi$ [/mm] und besteht ausschließlich aus irrationalen Folgengliedern, für die die Vorschrift f(x)=1-x gilt.
Die zugehörigen Funktionswerte sind
[mm]  $1-0,9*\pi$ [/mm]
[mm] $1-0,99*\pi$ [/mm]
[mm] $1-0,999*\pi$ [/mm]
[mm] $1-0,9999*\pi$ [/mm]  , und diese Folge konvergiert gegen [mm]  $1-\pi$ [/mm] .
Da man bei Annäherung an die Stelle pi auch verschiedenen Wegen verschiedene Grenzwerte bekommt, ist die Funktion an der Stelle pi nicht stetig.
Diese Überlegung kann man auf alle Stellen (außer 0,5) verallgemeinern.
Gruß Abakus
 

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