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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{s*x} [/mm] für $x [mm] \le [/mm] 3$ [mm] f(x)=0,5*t*x^2 [/mm] für x>3
Untersuchen Sie, ob es [mm] s,t\in\IR [/mm] gibt, damit f(x) an der Stelle 3 stetig und diff.bar ist. |
hi,
also wie man vielleicht am vermehrten Posten merkt, stecke ich mitten in der Abi-Vorbereitung. Bei dieser Aufgabe habe ich ein kleines Problem, mein Lösungsansatz war folgender:
für stetigkeit müssen rechts und linksseitiger Grenzwert gleich sein und mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmen, also:
linksseitiger Grenzwert: Hier nimmt man f(x) für $x [mm] \le [/mm] 3$
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(3-h)=\bruch{1}{3*s} [/mm]
rechtsseitiger Grenzwert:Hier nimmt man f(x) für $x>3$
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(3+h)=\bruch{9*t}{2}
[/mm]
Der Funktionswert an der Stelle 3 ist [mm] f(3)=\bruch{1}{3*s}
[/mm]
Also ergibt sich hier die Bedingung für Stetigkeit:
(I) [mm] \bruch{9*t}{2}=\bruch{9*t}{2}
[/mm]
Für Diff.barkeit müssen rechts- und lnksseitiger Differentialquotient übereinstimmen:
linksseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für $x [mm] \le [/mm] 3$
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3-h)-f(3)}{-h}=\bruch{-1}{9*s}
[/mm]
rechtsseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für x>3
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3+h)-f(3)}{h}=3*t
[/mm]
es ergibt sich die Bedingung für diff.barkeit:
(II) [mm] \bruch{-1}{9*s}=3*t
[/mm]
Jetzt hat man durch (I) und (II) ein LGS mit zwei unbekannten und zwei Variablen, das aber nicht lösbar ist, ist das richtig ? Kommt mir eigenartig vor, da es eine Klausuraufgabe ist und dort eigentlich fast immer etwas herauskommt..
Lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{s*x}[/mm] für [mm]x \le 3[/mm]
> [mm]f(x)=0,5*t*x^2[/mm] für x>3
>
> Untersuchen Sie, ob es [mm]s,t\in\IR[/mm] gibt, damit f(x) an der
> Stelle 3 stetig und diff.bar ist.
> hi,
>
> also wie man vielleicht am vermehrten Posten merkt, stecke
> ich mitten in der Abi-Vorbereitung. Bei dieser Aufgabe habe
> ich ein kleines Problem, mein Lösungsansatz war folgender:
>
> für stetigkeit müssen rechts und linksseitiger Grenzwert
> gleich sein und mit dem Funktionswert an der Stelle
> übereinstimmen, also:
>
> linksseitiger Grenzwert: Hier nimmt man f(x) für [mm]x \le 3[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(3-h)=\bruch{1}{3*s}[/mm]
>
> rechtsseitiger Grenzwert:Hier nimmt man f(x) für [mm]x>3[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(3+h)=\bruch{9*t}{2}[/mm]
>
> Der Funktionswert an der Stelle 3 ist [mm]f(3)=\bruch{1}{3*s}[/mm]
>
> Also ergibt sich hier die Bedingung für Stetigkeit:
>
> (I) [mm]\bruch{9*t}{2}=\bruch{9*t}{2}[/mm]
Nein ! Das ist doch Unfug !
Richtig ist :
[mm]\bruch{9*t}{2}=\bruch{1}{3s}[/mm]
>
> Für Diff.barkeit müssen rechts- und lnksseitiger
> Differentialquotient übereinstimmen:
>
> linksseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für [mm]x \le 3[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3-h)-f(3)}{-h}=\bruch{-1}{9*s}[/mm]
>
> rechtsseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für x>3
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3+h)-f(3)}{h}=3*t[/mm]
Falsch !
Hier hast du übersehen, dass f(3) = [mm] \bruch{1}{3s} [/mm] ist
FRED
>
> es ergibt sich die Bedingung für diff.barkeit:
>
> (II) [mm]\bruch{-1}{9*s}=3*t[/mm]
>
> Jetzt hat man durch (I) und (II) ein LGS mit zwei
> unbekannten und zwei Variablen, das aber nicht lösbar ist,
> ist das richtig ? Kommt mir eigenartig vor, da es eine
> Klausuraufgabe ist und dort eigentlich fast immer etwas
> herauskommt..
>
> Lg,
>
> exeqter
>
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Hi,
entschuldige, bei (I) hab ich mich lediglich vertippt.
> > Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{s*x}[/mm] für [mm]x \le 3[/mm]
> > [mm]f(x)=0,5*t*x^2[/mm] für x>3
> >
> > Untersuchen Sie, ob es [mm]s,t\in\IR[/mm] gibt, damit f(x) an der
> > Stelle 3 stetig und diff.bar ist.
> > hi,
> >
> > also wie man vielleicht am vermehrten Posten merkt, stecke
> > ich mitten in der Abi-Vorbereitung. Bei dieser Aufgabe habe
> > ich ein kleines Problem, mein Lösungsansatz war folgender:
> >
> > für stetigkeit müssen rechts und linksseitiger Grenzwert
> > gleich sein und mit dem Funktionswert an der Stelle
> > übereinstimmen, also:
> >
> > linksseitiger Grenzwert: Hier nimmt man f(x) für [mm]x \le 3[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(3-h)=\bruch{1}{3*s}[/mm]
> >
> > rechtsseitiger Grenzwert:Hier nimmt man f(x) für [mm]x>3[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(3+h)=\bruch{9*t}{2}[/mm]
> >
> > Der Funktionswert an der Stelle 3 ist [mm]f(3)=\bruch{1}{3*s}[/mm]
> >
> > Also ergibt sich hier die Bedingung für Stetigkeit:
> >
> > (I) [mm]\bruch{9*t}{2}=\bruch{9*t}{2}[/mm]
>
>
> Nein ! Das ist doch Unfug !
>
> Richtig ist :
>
> [mm]\bruch{9*t}{2}=\bruch{1}{3s}[/mm]
>
>
>
entschuldige, bei (I) hab ich mich lediglich vertippt.
> >
> > Für Diff.barkeit müssen rechts- und lnksseitiger
> > Differentialquotient übereinstimmen:
> >
> > linksseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für [mm]x \le 3[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3-h)-f(3)}{-h}=\bruch{-1}{9*s}[/mm]
>
> >
> > rechtsseitiger Diff.quotient: hier wieder f(x) für x>3
> >
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(3+h)-f(3)}{h}=3*t[/mm]
>
> Falsch !
>
>
> Hier hast du übersehen, dass f(3) = [mm]\bruch{1}{3s}[/mm] ist
>
Das bedeutet dann was ? ich kann doch nicht den Differentialquotienten von rechts (an x0=3) berechnen, wenn etwas nur für x [mm] \le [/mm] 3 definiert ist ?! Wie sieht das dann aus ? müsste ich hier wieder den oberen teil der funktionsgleichung nehmen ?
>
> FRED
lg,
exeqter
> >
> > es ergibt sich die Bedingung für diff.barkeit:
> >
> > (II) [mm]\bruch{-1}{9*s}=3*t[/mm]
> >
> > Jetzt hat man durch (I) und (II) ein LGS mit zwei
> > unbekannten und zwei Variablen, das aber nicht lösbar ist,
> > ist das richtig ? Kommt mir eigenartig vor, da es eine
> > Klausuraufgabe ist und dort eigentlich fast immer etwas
> > herauskommt..
> >
> > Lg,
> >
> > exeqter
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 19.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
hat sich gerade erledigt, habe es selbst gesehen.
Danke,
exeqter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Glückwunsch
FRED
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hi nochmal,
ich bekomme es doch nicht auf die reihe, ich sehe den fehler, aber bekomme es nicht gerechnet... Wenn ich in den Diff.quotienten für [mm] f(3)=\bruch{1}{3*s} [/mm] einsetze habe ich doch sowohl s als auch t als variable da drin, zumindest von links, weil ich doch bei f(x+h) [mm] 0,5*t*x^2 [/mm] nehmen muss, oder ? Wie würde das sonst aussehen, ich muss doch irgendwie auf zwei ergebnisse kommen, das eine in abhängigkeit von t, das andere in abhängigkeit von s...
ich hab ein brett vor dem kopf, bitt nimm / nehmt es ab!!
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Benutze doch
$ [mm] \bruch{9\cdot{}t}{2}=\bruch{1}{3s} [/mm] $
(das war , deine von mir verbesserte, Gl. (I))
FRED
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> Benutze doch
>
>
>
>
> [mm]\bruch{9\cdot{}t}{2}=\bruch{1}{3s}[/mm]
>
das löse ich dann bsp. nach t auf und setze es dann für t ein dann bekomme ich von rechts und von links [mm] \bruch{2}{9*s}. [/mm] das ist gleich für alle werte von s. jetzt kriege ich doch aber immernoch keine lösung für Gl. (I)...
> (das war , deine von mir verbesserte, Gl. (I))
>
> FRED
lg
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> > Benutze doch
> >
> >
> >
> >
> > [mm]\bruch{9\cdot{}t}{2}=\bruch{1}{3s}[/mm]
> >
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> das löse ich dann bsp. nach t auf und setze es dann für t
> ein dann bekomme ich von rechts und von links
> [mm]\bruch{2}{9*s}.[/mm] das ist gleich für alle werte von s. jetzt
> kriege ich doch aber immernoch keine lösung für Gl. (I)...
Hallo,
Du hast doch jetzt herausgefunden:
für alle s,t mit [mm] \bruch{9\cdot{}t}{2}=\bruch{1}{3s} [/mm] ist die Funktion stetig.
Es gibt also sehr viele Kombinationen von s und t, für die die Funktion stetig ist, nämlich alle, bei denen [mm] t=\bruch{2}{27s} [/mm] ist.
Nun geht's weiter mit der Diffbarkeit, also Differentialquotienten an der Stelle 3 von links und rechts aufstellen:
[mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(3+h) -f(3)}{h} [/mm] und [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(3-h) -f(3)}{-h} [/mm] .
Im Gegensatz zu Dir habe ich hier nicht für beide dasselbe herausbekommen, und ich habe auch im Angesichte der Graphen ernsthafte Zweifel daran, daß Dein Ergebnis stimmt.
--
Ich lasse mich jetzt aber mal auf Deine Ergebnisse ein, um Dir zu zeigen, wie sie zu interpretieren wären:
wenn bei Deiner Rechnung die Differentialquotienten für jedes s übereinstimmen, dann hast Du als Forderung für die Differenzierbarkeit eben nur die Bedingung, daß [mm]\bruch{9\cdot{}t}{2}=\bruch{1}{3s}[/mm] gelten muß, dh. wenn Du irgendein s wählst, dann muß [mm] t=\bruch{2}{27s} [/mm] sein.
Du bekommst in diesem Fall für s und t nicht zwei Zahlen, sondern eine Anweisung, wie s und t aufeinander abzustimmen sind, damit alles schön paßt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Fr 20.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: f ist in 3 stetig [mm] \gdw \bruch{1}{3s}= \bruch{9t}{2}
[/mm]
Zur Diff. -barkeit:
Für x<3:
[mm] \bruch{f(x)-f(3)}{x-3} [/mm] ----> [mm] \bruch{-1}{9s} [/mm] (x--> 3)
Ich denke da sind wir uns einig.
Für x>3 erhalten wir mit f(3) = [mm] \bruch{1}{3s}= \bruch{9t}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{f(x)-f(3)}{x-3} [/mm] = [mm] \bruch{t}{2}\bruch{x^2-9}{x-3} [/mm] = [mm] \bruch{t(x+3)}{2} [/mm] ----> 3t (x--> 3)
Fazit: f ist in 3 diff.-bar [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3s} [/mm] = [mm] \bruch{9t}{2} [/mm] und [mm] \bruch{-1}{9s} [/mm] = 3t.
Wie man leicht sieht hat diese Gl. -System keine Lösung
Fassen wir zusammen:
f ist in 3 stetig [mm] \gdw \bruch{1}{3s}= \bruch{9t}{2}
[/mm]
und
für keine Wahl von s und t ist f in 3 diff.-bar.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 20.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
vielen Dank für eure Geduld. Jetzt habe ich es auch begriffen...
Einen schönen Tag noch !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 19.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{s*x}[/mm] für [mm]x \le 3[/mm]
> [mm]f(x)=0,5*t*x^2[/mm] für x>3
>
> Untersuchen Sie, ob es [mm]s,t\in\IR[/mm] gibt, damit f(x) an der
> Stelle 3 stetig und diff.bar ist.
> hi,
>
> also wie man vielleicht am vermehrten Posten merkt, stecke
> ich mitten in der Abi-Vorbereitung. Bei dieser Aufgabe habe
> ich ein kleines Problem, mein Lösungsansatz war folgender:
>
> für stetigkeit müssen rechts und linksseitiger Grenzwert
> gleich sein und mit dem Funktionswert an der Stelle
> übereinstimmen, also:
>
> linksseitiger Grenzwert: Hier nimmt man f(x) für [mm]x \le 3[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(3-h)=\bruch{1}{3*s}[/mm]
die Notation ist schlecht. Bei [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] kann [mm] $h\,$ [/mm] sowohl [mm] $\ge [/mm] 0$ als auch $< [mm] \,0$ [/mm] sein. Entweder schreibst Du vorher, dass bei allen Betrachtungen stets $h [mm] \, [/mm] > 0$ gelten soll, oder Du schreibst besser:
[mm] $$\lim_{0 < h \to 0}f(3-h)=... \text{ oder } \lim_{\substack{h \to 0\\h > 0}}f(3-h)=...\,,$$
[/mm]
und analoges.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Do 19.03.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
danke für den hinweis.
Lg
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