Summe von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 13.02.2005 | | Autor: | c_craz |
Seien $K$ ein Korper, $V,W$ Vektorraume uber $K$ und [mm] $\varphi, \psi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ lineare Abbildungen.
[mm] ${\rm Bild}(\varphi [/mm] + [mm] \psi) \supseteq {\rm Bild}\, \varphi \cup {\rm Bild}\,\psi$
[/mm]
[mm] ${\rm Bild}(\varphi [/mm] + [mm] \psi) \supseteq {\rm Bild}\, \varphi [/mm] + [mm] {\rm Bild}\,\psi$
[/mm]
Die beiden Aussagen sollen auf ihre Richtigkeit überprüft werden.
Ich denke das mit [mm] $\varphi [/mm] + [mm] \psi$ [/mm] die arithmetische Summe der Abbildungen gemeint ist, das heißt, wenn man die Abbildungen durch Matrizen beschreibt, das man diese beiden Matrizen elementenweise addiert. Ich verstehe jedoch nicht was [mm] ${\rm Bild}\, \varphi [/mm] + [mm] {\rm Bild}\,\psi$ [/mm] im Vergleich zu [mm] ${\rm Bild}\, \varphi \cup {\rm Bild}\,\psi$ [/mm] bedeutet.
Bei der ersten Aussage ist mir klar, das sie falsch ist, anhand folgendem Beispiel:
[mm] $\varphi$: [/mm] x,y $ [mm] \mapsto$ [/mm] x,-y
[mm] $\psi$: [/mm] x,y $ [mm] \mapsto$ [/mm] x,y
[mm] $\psi$+$\varphi$: [/mm] x,y $ [mm] \mapsto$ [/mm] 2x,0
Aber bei dem zweiten verstehe ich nicht was mit dem + / "Summe" bei den beiden Mengen gemeint ist.
MfG
c_craz
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Hallo
> Bei der ersten Aussage ist mir klar, das sie falsch ist,
> anhand folgendem Beispiel:
> [mm]\varphi[/mm]: x,y [mm]\mapsto[/mm] x,-y
> [mm]\psi[/mm]: x,y [mm]\mapsto[/mm] x,y
> [mm]\psi[/mm]+[mm]\varphi[/mm]: x,y [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2x,0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") meines Erachtens ist das richtig.
> Aber bei dem zweiten verstehe ich nicht was mit dem + /
> "Summe" bei den beiden Mengen gemeint ist.
Ich denke, hier ist die gewöhnliche Summe von Unterräumen gemeint, denn um solche handelt es sich ja bei den Bildern, da phi und psi laut Voraussetzung lineare Abbildungen sind.
Die gewöhnliche Summe ist wie folgt definiert:
U+W={u+w | u[mm]\in[/mm]U, w[mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W}.
Das heißt de facto, daß wir, wenn wir die Summe zweier Mengen bilden, jede mögliche Summe aus Elementen der zwei Mengen bilden und diese in einer neuen Menge zusammenfassen.
Ich hoffe, das hilft dir weiter,
Gruß,
Christian
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