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System 3Spezies/DGL/Lösbarkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 So 18.06.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Betrachten Sie das folgende System einer Reaktion dreier Spezies

[mm] u_1'=-0.04*u_1+10^4*u_2*u_3 [/mm]
[mm] u_2'=0.04u_1-10^4*u_2*u_3-3*10^7*u_2^2 [/mm]
[mm] u_3'=3*10^7*u_2^2 [/mm]


a) Es gilt Massenerhaltung, d.h [mm] u_1(t)+u_2(t)+u_3(t)=u_1(0)+u_2(0)+u_3(0) [/mm] für alle Zeiten [mm] t\ge [/mm] 0, für die die Lösung existiert.

b) für [mm] u_i(0) \in [0,\infty) [/mm] (i=1,2,3) gilt [mm] u_i(t)\in [0,\infty) [/mm] (i=1,2,3) für alle Zeiten [mm] t\ge [/mm] 0, für die die Lösung existiert und eindeutig ist.

c) für [mm] u_i(0) \in [0,\infty) [/mm] (i=1,2,3) existiert eine eindeutige Lösung für alle Zeiten t [mm] \in (0,\infty) [/mm]

Hallo ihr Lieben,
Ich hab Probleme mit dieser Aufgabe!
Zur a)

Meine Idee :
[mm] u'=u_1'+u_2'+u_3'=0 [/mm] => u=const => u(t)=u(0)
Geht das so?

Wie könnte man bei der b Vorgehen?
Wäre super wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, sodass wir das gemeinsam lösen können.

Danke
Und schönes Wochenende :)

        
Bezug
System 3Spezies/DGL/Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 So 18.06.2017
Autor: HJKweseleit


> Betrachten Sie das folgende System einer Reaktion dreier
> Spezies
>  
> [mm]u_1'=-0.04*u_1+10^4*u_2*u_3[/mm]
>  [mm]u_2'=0.04u_1-10^4*u_2*u_3-3*10^7*u_2^2[/mm]
>  [mm]u_3'=3*10^7*u_2^2[/mm]
>  
>
> a) Es gilt Massenerhaltung, d.h
> [mm]u_1(t)+u_2(t)+u_3(t)=u_1(0)+u_2(0)+u_3(0)[/mm] für alle Zeiten
> [mm]t\ge[/mm] 0, für die die Lösung existiert.
>  
> b) für [mm]u_i(0) \in [0,\infty)[/mm] (i=1,2,3) gilt [mm]u_i(t)\in [0,\infty)[/mm]
> (i=1,2,3) für alle Zeiten [mm]t\ge[/mm] 0, für die die Lösung
> existiert und eindeutig ist.
>  
> c) für [mm]u_i(0) \in [0,\infty)[/mm] (i=1,2,3) existiert eine
> eindeutige Lösung für alle Zeiten t [mm]\in (0,\infty)[/mm]
>  Hallo
> ihr Lieben,
>  Ich hab Probleme mit dieser Aufgabe!
>  Zur a)
>  
> Meine Idee :
>  [mm]u'=u_1'+u_2'+u_3'=0[/mm] => u=const => u(t)=u(0)

> Geht das so?

Ja, und das hast du sicherlich dadurch herausgefunden, dass du alle rechten Seiten der obigen Gleichungen addiert hast.

>
> Wie könnte man bei der b Vorgehen?

b) will sagen: Sind alle drei Werte beim Start nicht-negativ, so bleibt das so.

Das sieht man sehr einfach bei [mm] u_1. [/mm] Wenn [mm] u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] nicht negativ sind, ist der zweite Summand auch nicht negativ und führt nicht zu einer Verringerung von [mm] u_1. [/mm] Der erste Summand verringert [mm] u_1, [/mm] aber nur, solange [mm] u_1 [/mm] positiv ist. Würde sich [mm] u_1 [/mm] auf 0 verringern, gäbe es keine weitere Abnahme. [mm] u_1 [/mm] kann somit die 0 nicht unterschreiten, solange die anderen beiden es nicht tun.

Für [mm] u_2 [/mm] gilt zunächst: Alles, was bei [mm] u_1 [/mm] hinzukommt oder weggeht, kommt von bzw. geht an [mm] u_2, [/mm] weil dort dieselben Summanden wie bei [mm] u_1 [/mm] auftauchen, nur mit anderen Vorzeichen. Aber [mm] u_2 [/mm] wird von [mm] u_3 [/mm] "ausgelutscht": Zu [mm] u_3 [/mm] hin gibt es nur einen Abfluss, weil [mm] u_2^2 [/mm] nicht negativ ist, und der wird von [mm] u_2 [/mm] gespeist. Wenn [mm] u_2 [/mm] auf 0 sinkt, fließt allerdings nichts mehr ab, weil die letzten beiden Summanden 0 werden.

Für [mm] u_3 [/mm] gilt: solange [mm] u_2 [/mm] noch nicht 0 ist, wächst [mm] u_3. [/mm]

Bildlich: [mm] u_1, u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] sind 3 Bassins in dieser Reihenfolge, die mit Wasser gefüllt sind. Dabei schwappt das Wasser zwischen [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] in die eine oder andere Richtung oder hin und her, die beiden tauschen sich aus. Permanent fließt aber das Wasser von [mm] u_2 [/mm] durch einen Abfluss im Boden nach [mm] u_3. [/mm]


Fazit: [mm] u_3 [/mm] zieht so lange Wasser, bis [mm] u_2 [/mm] leer ist. [mm] u_2 [/mm] bekommt dann noch wieder von [mm] u_1 [/mm] Wasser, falls dort noch etwas ist, das dann über kurz oder lang nach [mm] u_3 [/mm] abgezogen wird (vorher kann es noch zwischen [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] hin- und herschwappen), bis auch [mm] u_1 [/mm] leer ist. Zum Schluss ist alles in [mm] u_3. [/mm]

Zu c) weiß ich nicht, was genau erwartet wird: Lösung des DGLL-Systems, Plausibilitätserklärung, Matrizenbetrachtung ...?

> Wäre super wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, sodass
> wir das gemeinsam lösen können.
>
> Danke
> Und schönes Wochenende :)


Bezug
                
Bezug
System 3Spezies/DGL/Lösbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 So 18.06.2017
Autor: Noya



> Ja, und das hast du sicherlich dadurch herausgefunden, dass
> du alle rechten Seiten der obigen Gleichungen addiert
> hast.

Genau das wollte ich damit ausdrücken!


> b) will sagen: Sind alle drei Werte beim Start
> nicht-negativ, so bleibt das so.

Ja wenn du das so sagst macht das voll sinn!
Frage: aus a) folgt ja, dass u =  const oder? ist dann nicht auch automatisch [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] const?
und u ist ja gerade eben [mm] u=\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3} [/mm] oder nicht?

>  
> Das sieht man sehr einfach bei [mm]u_1.[/mm] Wenn [mm]u_2[/mm] und [mm]u_3[/mm] nicht
> negativ sind, ist der zweite Summand auch nicht negativ und
> führt nicht zu einer Verringerung von [mm]u_1.[/mm] Der erste
> Summand verringert [mm]u_1,[/mm] aber nur, solange [mm]u_1[/mm] positiv ist.
> Würde sich [mm]u_1[/mm] auf 0 verringern, gäbe es keine weitere
> Abnahme. [mm]u_1[/mm] kann somit die 0 nicht unterschreiten, solange
> die anderen beiden es nicht tun.
>
> Für [mm]u_2[/mm] gilt zunächst: Alles, was bei [mm]u_1[/mm] hinzukommt oder
> weggeht, kommt von bzw. geht an [mm]u_2,[/mm] weil dort dieselben
> Summanden wie bei [mm]u_1[/mm] auftauchen, nur mit anderen
> Vorzeichen. Aber [mm]u_2[/mm] wird von [mm]u_3[/mm] "ausgelutscht": Zu [mm]u_3[/mm]
> hin gibt es nur einen Abfluss, weil [mm]u_2^2[/mm] nicht negativ
> ist, und der wird von [mm]u_2[/mm] gespeist. Wenn [mm]u_2[/mm] auf 0 sinkt,
> fließt allerdings nichts mehr ab, weil die letzten beiden
> Summanden 0 werden.
>  
> Für [mm]u_3[/mm] gilt: solange [mm]u_2[/mm] noch nicht 0 ist, wächst [mm]u_3.[/mm]
>  
> Bildlich: [mm]u_1, u_2[/mm] und [mm]u_3[/mm] sind 3 Bassins in dieser
> Reihenfolge, die mit Wasser gefüllt sind. Dabei schwappt
> das Wasser zwischen [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in die eine oder andere
> Richtung oder hin und her, die beiden tauschen sich aus.
> Permanent fließt aber das Wasser von [mm]u_2[/mm] durch einen
> Abfluss im Boden nach [mm]u_3.[/mm]
>  

Wow! Toll! Ganz klasse, dass du das so super beschreiben kannst! Danke!

>
> Fazit: [mm]u_3[/mm] zieht so lange Wasser, bis [mm]u_2[/mm] leer ist. [mm]u_2[/mm]
> bekommt dann noch wieder von [mm]u_1[/mm] Wasser, falls dort noch
> etwas ist, das dann über kurz oder lang nach [mm]u_3[/mm] abgezogen
> wird (vorher kann es noch zwischen [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] hin- und
> herschwappen), bis auch [mm]u_1[/mm] leer ist. Zum Schluss ist alles
> in [mm]u_3.[/mm]
>  
> Zu c) weiß ich nicht, was genau erwartet wird: Lösung des
> DGLL-Systems, Plausibilitätserklärung,
> Matrizenbetrachtung ...?

Ich verstehe das auch nicht so...eindeutigkeit erhalte ich ja nur per Picard_lindelöf oder?  

Danke!!! Ganz vielen lieben Dank!


Bezug
                        
Bezug
System 3Spezies/DGL/Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Mo 19.06.2017
Autor: HJKweseleit


>
>
> > Ja, und das hast du sicherlich dadurch herausgefunden, dass
> > du alle rechten Seiten der obigen Gleichungen addiert
> > hast.
>  Genau das wollte ich damit ausdrücken!
>  
>
> > b) will sagen: Sind alle drei Werte beim Start
> > nicht-negativ, so bleibt das so.
>  Ja wenn du das so sagst macht das voll sinn!
>  Frage: aus a) folgt ja, dass u =  const oder? ist dann
> nicht auch automatisch [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] const?
>  und u ist ja gerade eben [mm]u=\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3}[/mm] oder
> nicht?

Nein, denn du hast doch u gar nicht als Vektor definiert, sondern bei dir ist [mm] u=u_1+u_2+u_3 [/mm] die Summe der Komponenten, also eine Zahl.

>  >  
> > Das sieht man sehr einfach bei [mm]u_1.[/mm] Wenn [mm]u_2[/mm] und [mm]u_3[/mm] nicht
> > negativ sind, ist der zweite Summand auch nicht negativ und
> > führt nicht zu einer Verringerung von [mm]u_1.[/mm] Der erste
> > Summand verringert [mm]u_1,[/mm] aber nur, solange [mm]u_1[/mm] positiv ist.
> > Würde sich [mm]u_1[/mm] auf 0 verringern, gäbe es keine weitere
> > Abnahme. [mm]u_1[/mm] kann somit die 0 nicht unterschreiten, solange
> > die anderen beiden es nicht tun.
> >
> > Für [mm]u_2[/mm] gilt zunächst: Alles, was bei [mm]u_1[/mm] hinzukommt oder
> > weggeht, kommt von bzw. geht an [mm]u_2,[/mm] weil dort dieselben
> > Summanden wie bei [mm]u_1[/mm] auftauchen, nur mit anderen
> > Vorzeichen. Aber [mm]u_2[/mm] wird von [mm]u_3[/mm] "ausgelutscht": Zu [mm]u_3[/mm]
> > hin gibt es nur einen Abfluss, weil [mm]u_2^2[/mm] nicht negativ
> > ist, und der wird von [mm]u_2[/mm] gespeist. Wenn [mm]u_2[/mm] auf 0 sinkt,
> > fließt allerdings nichts mehr ab, weil die letzten beiden
> > Summanden 0 werden.
>  >  
> > Für [mm]u_3[/mm] gilt: solange [mm]u_2[/mm] noch nicht 0 ist, wächst [mm]u_3.[/mm]
>  >  
> > Bildlich: [mm]u_1, u_2[/mm] und [mm]u_3[/mm] sind 3 Bassins in dieser
> > Reihenfolge, die mit Wasser gefüllt sind. Dabei schwappt
> > das Wasser zwischen [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in die eine oder andere
> > Richtung oder hin und her, die beiden tauschen sich aus.
> > Permanent fließt aber das Wasser von [mm]u_2[/mm] durch einen
> > Abfluss im Boden nach [mm]u_3.[/mm]
>  >  
> Wow! Toll! Ganz klasse, dass du das so super beschreiben
> kannst! Danke!
>  >

> > Fazit: [mm]u_3[/mm] zieht so lange Wasser, bis [mm]u_2[/mm] leer ist. [mm]u_2[/mm]
> > bekommt dann noch wieder von [mm]u_1[/mm] Wasser, falls dort noch
> > etwas ist, das dann über kurz oder lang nach [mm]u_3[/mm] abgezogen
> > wird (vorher kann es noch zwischen [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] hin- und
> > herschwappen), bis auch [mm]u_1[/mm] leer ist. Zum Schluss ist alles
> > in [mm]u_3.[/mm]
>  >  
> > Zu c) weiß ich nicht, was genau erwartet wird: Lösung des
> > DGLL-Systems, Plausibilitätserklärung,
> > Matrizenbetrachtung ...?
>  Ich verstehe das auch nicht so...eindeutigkeit erhalte ich
> ja nur per Picard_lindelöf oder?  

Ja, vermutlich, mehr kann ich auch nicht erkennen.

>
> Danke!!! Ganz vielen lieben Dank!
>  


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