matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieTeilbarkeit durch Quadratzahl
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeit durch Quadratzahl
Teilbarkeit durch Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilbarkeit durch Quadratzahl: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Di 17.04.2012
Autor: teo

Aufgabe
Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3 (n [mm] \ge [/mm] 1) gibt, die jeweils durch eine Quadratzahl > 1 teilbar sind.

Hallo,

wie geht man denn am besten an diese Aufgabe heran. Hier fehlt mir der Start.

Vielen Dank

        
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 17.04.2012
Autor: Leopold_Gast

Es handelt sich um einen Existenzbeweis. Gib "einfach" das [mm]n[/mm] konkret an. Mit einem kleinen Programm habe ich eines zwischen 200 und 300 gefunden.

Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: allgemeiner Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Di 17.04.2012
Autor: teo

Aber das muss doch auch allgemein gehen. Im Examen werde ich kaum dieses konkrete n finden.

Danke

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Di 17.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Aber das muss doch auch allgemein gehen. Im Examen werde
> ich kaum dieses konkrete n finden.

wie Abakus schon sagte, ist das ganz trivial:
Unter vier aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine dabei, die durch [mm] $4=2^2$ [/mm] teilbar ist. Denn die Menge der durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbaren natürlichen Zahlen ist die Menge der Vielfachen von [mm] $4\,:$ [/mm]
[mm] $$\{4,8,12,16,20,24,...\}$$ [/mm]

Und in dieser Menge haben halt aufeinanderfolgende Zahlen stets den Abstand [mm] $4\,.$
[/mm]

Edit: Ich hatte mich bei der Aufgabenstellung verlesen und gemeint, dass gefragt war, dass von vier aufeinanderfolgenden Zahlen jeweils eine durch eine Quadratzahl teilbar sei.

Natürlich steht in der Aufgabe, dass ALLE durch eine (von der Zahl abhängigen) Quadratzahl teilbar sein sollen. Daher vergiss' die durchgestrichene Antwort!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Di 17.04.2012
Autor: abakus


> Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche
> Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3 (n [mm]\ge[/mm] 1) gibt, die jeweils
> durch eine Quadratzahl > 1 teilbar sind.
>  Hallo,
>  
> wie geht man denn am besten an diese Aufgabe heran. Hier
> fehlt mir der Start.
>
> Vielen Dank

Hallo,
unter 4 aufeinander folgenden Zahlen ist stets eine durch die (Quadrat-)Zahl 4 teilbar.
Man kann die Zahlen auch so legen, dass eine durch 9 teilbare Zahl dabei ist. Wenn man die Zahlen noch so legt, dass eine von denen auf 25 oder 50 oder 75 oder 00 endet, hat man eine weitere Teilbarkeit durch eine Quadratzahl.
Die Folgen
24, 25, 26, 27

72, 73, 74, 75

99, 100, 101, 102

haben schon mal jeweils eine Zahl, die durch 4 teilbar ist,
eine die durch 9 teilbar ist und eine die durch 25 teilbar ist.
(Eine Folge mit der Zahl 50 gibt es nicht, weil die nächsten Vielfachen von 9 weder bei 47 bis 50 noch bei 50 bis 53 dabei sind.)
Abgesehen von solchen gelegentlichen Lücken gibt es unendlich viele solcher Folgen. Da sollte es doch mit dem Teufel zugehen, wenn da nicht auch mal eine durch 49 teilbare Zahl dabei ist.
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: funktioniert nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 17.04.2012
Autor: teo

Ok danke für die Antworten, aber die Aufgabe wurde im Examen gestellt und es war bestimmt nicht beabsichtigt, das per try and error zu lösen. Was im übrigen mit Taschenrechner nach einigen Versuchen doch recht mühsam und ergebnislos war. Hat also jemand einen anderen Vorschlag?

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Di 17.04.2012
Autor: abakus


> Ok danke für die Antworten, aber die Aufgabe wurde im
> Examen gestellt und es war bestimmt nicht beabsichtigt, das
> per try and error zu lösen. Was im übrigen mit
> Taschenrechner nach einigen Versuchen doch recht mühsam
> und ergebnislos war. Hat also jemand einen anderen
> Vorschlag?
>  
> Vielen Dank

Wieso try and error?
Das sollte ein Impuls sein, die Geschichte jetzt mal zielgerichtet in Angriff zu nehmen und die Lücke zu schließen.
Es ist auf alle Fälle nicht zielführend, die durch 25 teilbare Zahl auf 00 enden zu lassen, denn dann wäre das auch gleichzeitig die durch 4 teilbare Zahl.
Nehmen wir doch einfach eine durch 25 teilbare Zahl, die auch auf _25 endet. Die Zahl davor endet dann auf _24 und ist somit durch 4 teilbar.
Jetzt sucht man sich alle Zahlen aus, die auf _26 enden und (beispielsweise) durch 9 teilbar sind. Die erste Zahl dieser Art ist (wegen ihrer Quersumme) 126. Allerdings ist beispielweise der Nachfolger 127 nicht durch 49 teilbar. Wir suchen nun so lange nach durch 9 teilbaren Zahlen _26, bis wir eine finden, deren Nachfolger _27 durch 49 teilbar ist.
Wenn 126 durch 9 teilbar ist, dann sind auch 126 + 900, 126 + 1800, 126+2700 usw. durch 9 teilbar (und enden immer auf 26).
All diese Zahlen lassen sich als 126+k*900 darstellen.
Der Nachfolger davon hat die Form 127+k*900, und du musst k ganz einfach so bestimmen, dass dieser Term den Rest 0 bei Teilung durch 49 lässt.

Gruß Abakus


Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Di 17.04.2012
Autor: teo

entschuldigung, dass ich net kapiert hab auf was du hinaus wolltest.. ich werd mich morgen dran versuchen danke für die hilfe!


Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit durch Quadratzahl: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 Mi 18.04.2012
Autor: teo

Danke nochmal für die Hilfe. Die Lösung ist.

n hat die Form n = 124 + (12 + k*49) 900 mit k [mm] \in \IN, [/mm] dann gilt
4|n, 25|n+1, 9|n+2 und 49|n+3

Vielen Dank

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1m 1. Topologe
LinAMoVR/Basen eines R-Moduls
Status vor 1h 02m 1. rabilein1
S5-7/Mathematisches Denken
Status vor 1h 40m 4. Richie1401
S8-10/Umformung Funktion
Status vor 1h 41m 9. schachuzipus
ULinAAb/Basis d. Kerns
Status vor 1h 55m 3. elmnteee
UVers/Aufgeschobene Leibrente
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]