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| Aufgabe | (i)
Zeigen Sie, dass die Abbildung $ f: [mm] D=(0,\infty) \times \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] $, gegeben durch
$ f(x,y,z)= $ [mm] \vektor{x cos(z) sin(y)\\ x sin(z) sin(y) \\ x cos(y) }
[/mm]
in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches lokal umkehrbar ist.
(ii)
Zeigen Sie, dass f nicht global umkehrbar ist. |
Hallo,
komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Lokale Umkehrbarkeit bei der (i) will ich eigentlich zeigen, indem ich zeige, dass die Determinante der Jakobi Matrix immer größer Null ist. Ist dieser Ansatz richtig?
Habe es auf jeden Fall so probiert, und konnte es auch durch Ausklammern vereinfachern, jedoch gibt mir mein Term keinen Aufschluss über pos oder neg.
Wäre über jede Hilfe dankbar.
Gruss
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Hallo kaykay_22,
> (i)
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]f: D=(0,\infty) \times \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm],
> gegeben durch
> [mm]f(x,y,z)=[/mm] [mm]\vektor{x cos(z) sin(y)\\ x sin(z) sin(y) \\ x cos(y) }[/mm]
>
> in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches lokal umkehrbar
> ist.
> (ii)
> Zeigen Sie, dass f nicht global umkehrbar ist.
> Hallo,
>
> komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Lokale
> Umkehrbarkeit bei der (i) will ich eigentlich zeigen, indem
> ich zeige, dass die Determinante der Jakobi Matrix immer
> größer Null ist. Ist dieser Ansatz richtig?
Jo, zumindest sollte die [mm] $\neq [/mm] 0$ sein ...
> Habe es auf jeden Fall so probiert, und konnte es auch
> durch Ausklammern vereinfachern, jedoch gibt mir mein Term
> keinen Aufschluss über pos oder neg.
Dann zeige mal deine Rechnung dazu ...
Der trigonometrische Pythagoras ist doch sehr hilfreich hier ...
>
> Wäre über jede Hilfe dankbar.
> Gruss
LG
schachuzipus
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Ich habe für die Determinante raus:
[mm] det(J_{f})= x^{2} [/mm] sin(y) [mm] (cos^{2}(z)cos^{2}(y)+sin^{2}(z)sin^{2}(y))
[/mm]
Klar der lange Teil in der Klammer ist größer(gleich?) Null... aber davor die einzelne Sinusfunktion passt mir halt irgendwie überhaupt nicht. Habe ich vielleicht ein Rechenfehler drin?
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Hallo nochmal,
> Ich habe für die Determinante raus:
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> [mm]det(J_{f})= x^{2}[/mm] sin(y)
> [mm](cos^{2}(z)cos^{2}(y)+sin^{2}(z)sin^{2}(y))[/mm]
Es ist [mm]\operatorname{det}(J_f)=x^2\cdot{}\sin(y)[/mm]
Wenn du in der Entwicklung nach Sarrus in der entstehenden Summe [mm]x^2\cdot{}\sin(y)[/mm] ausklammerst und dann in der Klammer einmal [mm]\cos^2(z)[/mm] und zum anderen [mm]\sin^2(z)[/mm] ausklammerst, siehst du, dass in der Klammer eigentlich eine 1 steht ...
>
> Klar der lange Teil in der Klammer ist größer(gleich?)
> Null... aber davor die einzelne Sinusfunktion passt mir
> halt irgendwie überhaupt nicht. Habe ich vielleicht ein
> Rechenfehler drin?
Wie sollen wir das sagen können, wenn du uns deine Rechnung vorenthältst?
Gruß
schachuzipus
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> Es ist [mm]\operatorname{det}(J_f)=x^2\cdot{}\sin(y)[/mm]
>
Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast.
Mein Problem ist jetzt eben: Ich soll die Umkehrbarkeit zeigen. Jetzt steht da aber sin(y)... Das kann auch Null werden?! Und genau das soll doch für die Umkehrbeit nicht sein?
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Hallo nochmal,
> >
> > Es ist [mm]\operatorname{det}(J_f)=x^2\cdot{}\sin(y)[/mm]
> >
>
> Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast.
> Mein Problem ist jetzt eben: Ich soll die Umkehrbarkeit
> zeigen. Jetzt steht da aber sin(y)... Das kann auch Null
> werden?!
Jo!
> Und genau das soll doch für die Umkehrbeit nicht
> sein?
In dem von dir angegebenen Definitionsbereich (für $y$ ist das [mm] $\IR$) [/mm] ist die Jakobidet. nicht immer [mm] $\neq [/mm] 0$
Man sollte den Definitionsbereich geeignet einschränken.
Schaue dir mal im Netz oder wo auch immer was an zu "Kugelkoordinaten und Umkehrbarkeit"
Gruß
schachuzipus
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