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Untersuchung von Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 So 16.05.2004
Autor: Ute

Wir haben in Mathe jetzt das neue Thema "Untersuchung von Funktionsscharen"
Wir sollten die Funktion [mm] f"_{k}[/mm](x)= [mm] x^4 [/mm] +kx³ untersuchen.
Den Tiefpunkt haben wir schon in der Schule berechnet, als Hausaufgabe fehlt jetzt noch WP und Nullstellen (NS).

Um die Wendepunkte einer Funktion herauszukriegen, wende ich doch folgende Bedingung an, oder:

Notw. Bedingung für WP f"(x)=0

die 2. Ableitung meiner Funktion ist:
[mm] f"_{k}[/mm](x)= 12x²+6kx
das setze ich dann =0:

0=12x²+6kx     |:12
0=    x²+0,5kx
[mm] x_{1,2}[/mm] = -0,5 +- [mm] \wurzel{0,25-0,5} [/mm]

da es unter der Wurzel negativ wird, ist doch [mm] x_{1,2}[/mm] jeweils -0,5 oder?


        
Bezug
Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 So 16.05.2004
Autor: majorlee

hi,
also, das erste ist schon mal richtig.

> Notw. Bedingung für WP f"(x)=0
>  
> die 2. Ableitung meiner Funktion ist:
> [mm]f"_{k}[/mm](x)= 12x²+6kx
>  das setze ich dann =0:

so, aber bei der benutzung der p,q-formel ist dir ein fehler unterlaufen.

> 0=12x²+6kx     |:12
>  0=    x²+0,5kx
>  [mm]x_{1,2}[/mm] = -0,5 +- [mm]\wurzel{0,25-0,5}[/mm]

für [mm] $12x^2+6kx=0$ [/mm] ist $p= [mm] \bruch{1}{2}k$ [/mm] und $q=0$! das bedeutet:
[mm] x_{1,2}=- \bruch{1}{4}k \pm \wurzel{\bruch{1}{16}k^2-0} [/mm]

also gilt: [mm] $x_1=0 \vee x_2= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}k$ [/mm]

> da es unter der Wurzel negativ wird, ist doch [mm]x_{1,2}[/mm]
> jeweils -0,5 oder?

wenn nun dieser fall eintreten sollte, dann gäbe es einfach keinen wendepunkt.

Bezug
                
Bezug
Untersuchung von Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 16.05.2004
Autor: Ute

stimmt, p= - 1/2 k

aber ich verstehe nicht, warum q=0 ist?

Kannst du mir das bitte nochmal erklären :-) ?
Danke im Voraus.

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Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 16.05.2004
Autor: Marc

Hallo Ute,

> stimmt, p= - 1/2 k

Nein, [mm] $p=\red{+}\bruch{1}{2}k$ [/mm] (aber das meintest du bestimmt auch)
  

> aber ich verstehe nicht, warum q=0 ist?
>  
> Kannst du mir das bitte nochmal erklären :-) ?

Du hast ja die Gleichung
[mm] $0=\blue{x}²+0{,}5k\blue{x} [/mm] $

Die MBp/q-Formel löst aber Gleichungen dieser Form: [mm] $0=\blue{x}^2+p\blue{x}+q$. [/mm]
Daraus ergibt sich doch dann sofort, dass $p=+0{,}5k$ und $q=0$.

"$p$ ist der Koeffizient von $x$ und $q$ der Term ohne $x$".

Viele Grüße,
Marc

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Untersuchung von Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 16.05.2004
Autor: Ute

nein nein, ich meinte -1/2 k. das steht ja auch im vorherigen thread, von dem anderen user.
leider kann ich bei deinem thread so gut wie nichts erkennen, die ganzen formeln seh ich aber keine zahlen :-(

Bezug
                                        
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Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 So 16.05.2004
Autor: Eva

Hallo Ute,

leider weiß ich auch nicht, warum Du die Zahlen nicht erkennen kannst. Da ich nicht das technische Know-How habe, das zu beheben, habe ich Dir den Beitrag als Bild angehängt. Jetzt solltest Du die Zahlen erkennen können, oder?

Ich bin gerade auf dem Sprung und habe die Aufgabe mal nachgerechnet und bekomme ebenfalls für [mm] $x_1=0$ [/mm] sowie [mm] $x_2=-0,5k$ [/mm] raus, kann sein, dass ich mich jetzt vor lauter Schnelligkeit auch verrechnet habe, aber ich schau's mir, wenn ich zurück bin, auf jeden Fall noch mal an u. rechne es in aller Ruhe durch.

Viele Grüße,
Eva

[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 16.05.2004
Autor: Marc

Hallo Ute,

> nein nein, ich meinte -1/2 k. das steht ja auch im
> vorherigen thread, von dem anderen user.

Das kann ich nicht finden... majorlee schrieb ja extra: [mm] $p=\bruch{1}{2}k$. [/mm]

In der MBp/q-Formel kommt dann [mm] $-\bruch{1}{4}k$ [/mm] vor, weil dort [mm] $-\bruch{p}{2}$ [/mm] steht.

Um die Verwirrung etwas zu reduzieren, hier nochmal die komplette Rechnung:

[mm] $f_k''(x)\stackrel{!}{=}0$ [/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] 0=12x²+6kx$
[mm] $\gdw\ 0=x^2+\bruch{1}{2}kx$ [/mm]

p/q-Formel anwenden [mm] ($p=\bruch{1}{2}k$ [/mm] und $q=0$):

[mm] $\gdw\ x_{1,2}=-\bruch{1}{4}k\pm\wurzel{\left( \bruch{1}{4}k \right)^2-0 }$ [/mm]

[mm] $\gdw\ x_{1,2}=-\bruch{1}{4}k\pm \bruch{1}{4}k$ [/mm]

[mm] $\gdw\ x_{1}=-\bruch{1}{4}k-\bruch{1}{4}k$ [/mm] und [mm] $x_{2}=-\bruch{1}{4}k+\bruch{1}{4}k$ [/mm]

[mm] $\gdw\ x_{1}=-\bruch{1}{2}k$ [/mm] und [mm] $x_{2}=0$ [/mm]

Einverstanden? :-)

>  leider kann ich bei deinem thread so gut wie nichts
> erkennen, die ganzen formeln seh ich aber keine zahlen :-(

Komisch, ich weiß auch nicht so genau, was du damit meinst... du siehst die Formeln aber keine Zahlen? [keineahnung]

Viele Grüße,
Marc

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Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 So 16.05.2004
Autor: majorlee

hi,
übrigens, es gibt eigentlich einen viel einfacheren weg, die lösungen zu berechnen.

wenn du hast
[mm] $12x^2+6kx=0$ [/mm]

dann ist es einfacher, x auszuklammern:
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x(12x+6k)=0$

dann hast du ein produkt, dass 0 ergibt. das bedeutet:

[mm] $x_1=0 \vee 12x_2+6k=0$ [/mm]
$ [mm] \Rightarrow 12x_2=-6k$ [/mm]
$ [mm] \Rightarrow x_2= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}k$ [/mm]

ich persönlich würde, so oft es geht, auf formeln verzichten und lieber versuchen, zu faktorisieren... das vermeidet auch mehr flüchtigkeiten... =)

Bezug
                                                
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Untersuchung von Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Di 18.05.2004
Autor: Ute

Ok, ich kann jetzt die ganzen Schritte nachvollziehen.
Die Werte 0 und -0,5 k müssen ja jetzt noch in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, damit man rauskriegt, wo die y-Koordinaten des WP liegen, oder?
Bei x=0 ist y=0, also (0|0)
bei x=-0,5 k muss ich ja f(-0,5 [mm] k)=(-0,5k)^4 [/mm] + k(-0,5k)³ rechnen. wären das zusammengefasst [mm] 0,0625k^4 [/mm] - [mm] 0,125k^6 [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
Untersuchung von Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 18.05.2004
Autor: majorlee

hi,

>  bei x=-0,5 k muss ich ja $f(-0,5 [mm] k)=(-0,5k)^4 [/mm] + k(-0,5k)³$
> rechnen. wären das zusammengefasst [mm] 0,0625k^4 [/mm] - [mm] 0,125k^6 [/mm] ?

wieso [mm] $-0,125^6$? [/mm]
[mm] $k*(-0,5*k)^3$ [/mm] ist doch [mm] $k*(-0,125*k^3)$, [/mm] das heißt [mm] $-0,125*k^4$ [/mm] und das kannst du dann zusammen fassen zu:

[mm] f(-0,5k)=-0,0625k^4 [/mm]

=)


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