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Urbild bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Sa 03.04.2010
Autor: kiwibox

Hallo...
ich habe eine Aufgabe gefunden, wo ich das Urbild bestimmen soll...

Bestimmen Sie das Urbild [mm] f^{-1}(U) [/mm] in den folgeden Fällen:
a) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] für U =[-1,2]
b) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] für U =[-3,4]
c) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{3}-3x [/mm] für U =(2,18)
d) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{3}-3x [/mm] für U =(-2,2)
e) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7} [/mm] für U [mm] =\{1\} [/mm]
f) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8} [/mm] für U [mm] =\{0\} [/mm]
g) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9} [/mm] für U [mm] =\{-1\} [/mm]
Bestimmen Sie zudem jeweils [mm] f(f^{-1}(U)) [/mm] und vergleichen Sie dies mit U. Fällt Ihnen etwas auf? Was könnte dahinter stecken?

also zu a)
[mm] x^{2}-2 \ge [/mm] -1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge \wurzel{3} [/mm]
[mm] x^{2}-2 \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
d.h. [mm] f^{-1}(U)=[\wurzel{3}, [/mm] 2]

zu b)
[mm] x^{2}-2 \ge [/mm] -3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge \wurzel{-1} \Rightarrow [/mm] x = [mm] \emptyset [/mm]
[mm] x^{2}-2 \le [/mm] 4 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le \wurzel [/mm] {6}
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\emptyset [/mm]

zu c)
[mm] x^{3}-3x>2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)>0 \Rightarrow [/mm] x>2
[mm] x^{3}-3x<18 \Rightarrow (x-3)(x^{2}+3x+6) [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<-3
d.h. [mm] f^{-1}(U)=(2,-3) [/mm]

zu d)
[mm] x^{3}-3x>-2 \Rightarrow (x-2)^{2}*(x+2)>0 \Rightarrow [/mm] x>-2
[mm] x^{3}-3x<2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)<0 \Rightarrow [/mm] x<2
d.h. [mm] f^{-1}(U)=(-2,2) [/mm]

zu e)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}=1 \Rightarrow (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 \Rightarrow x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] oder [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\{0,1\} [/mm] und [mm] f^{-1}(U)=\{1,0\} [/mm]

zu f)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=0 [/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\{0,0\} [/mm]

zu g)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}=\{-1\} \Rightarrow x=\emptyset [/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\emptyset [/mm]

Ist das so richtig? Oder habe ich da irgendwas verwechselt? Kann man das so machen?

MFG
kiwibox


        
Bezug
Urbild bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Sa 03.04.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo...
>  ich habe eine Aufgabe gefunden, wo ich das Urbild
> bestimmen soll...
>  
> Bestimmen Sie das Urbild [mm]f^{-1}(U)[/mm] in den folgeden
> Fällen:
>  a) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{2}-2[/mm] für U =[-1,2]
>  b) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{2}-2[/mm] für U =[-3,4]
>  c) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{3}-3x[/mm] für U =(2,18)
>  d) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{3}-3x[/mm] für U =(-2,2)
>  e) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}[/mm] für U [mm]=\{1\}[/mm]
>  f) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}[/mm] für U [mm]=\{0\}[/mm]
>  g) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}[/mm] für U [mm]=\{-1\}[/mm]
>  Bestimmen Sie zudem jeweils [mm]f(f^{-1}(U))[/mm] und vergleichen
> Sie dies mit U. Fällt Ihnen etwas auf? Was könnte
> dahinter stecken?
>  
> also zu a)
>  [mm]x^{2}-2 \ge[/mm] -1 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge \wurzel{3}[/mm]

Quatsch.

>  [mm]x^{2}-2 \le[/mm] 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
>  d.h. [mm]f^{-1}(U)=[\wurzel{3},[/mm] 2]

Hallo,

es sieht mir schon so aus, als hättest Du es eigentlich verstanden - allerdings sind die gezeigten Rechenkünste noch nicht so berauschend.
Tip: zeichne Dir die Funktion f(x) doch mal auf und schau nach, welche x auf Werte zwischen -1 und 2 abgebildet werden.
So kannst Du Deine Ergebnisse kontrollieren.

Weiter:  wenn man z.B. hat [mm] x^2=81, [/mm] dann gibt es für diese Gleichung zwei Lösungen, und bei Ungleichungen ist das analog.


>  
> zu b)
>  [mm]x^{2}-2 \ge[/mm] -3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge \wurzel{-1} \Rightarrow[/mm] x
> = [mm]\emptyset[/mm]

Das ist falsch. Aus [mm] x^2-2\ge [/mm] -3 folgt [mm] x^2>-1, [/mm] und diese Gleichung hat durchaus Lösungen.

>  [mm]x^{2}-2 \le[/mm] 4 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le \wurzel[/mm] {6}

s.o.

>  d.h. [mm]f^{-1}(U)=\emptyset[/mm]
>  
> zu c)
>  [mm]x^{3}-3x>2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)>0 \Rightarrow[/mm] x>2
>  [mm]x^{3}-3x<18 \Rightarrow (x-3)(x^{2}+3x+6)[/mm] <0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> x<-3
>  d.h. [mm]f^{-1}(U)=(2,-3)[/mm]

Kontrolliere auch dies anhand einer Skizze des Graphen und überlege Dir, wo Dein Fehler steckt.




>  
> zu d)
>  [mm]x^{3}-3x>-2 \Rightarrow (x-2)^{2}*(x+2)>0 \Rightarrow[/mm]
> x>-2
>  [mm]x^{3}-3x<2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)<0 \Rightarrow[/mm] x<2
>  d.h. [mm]f^{-1}(U)=(-2,2)[/mm]

richtig.

>  
> zu e)
>  [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}=1 \Rightarrow (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 \Rightarrow x_{1}=0[/mm]
> und [mm]x_{2}=1[/mm] oder [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm]

Nein.

Auf welchem geometrischen Gebilde liegen die Punkte, für die [mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 [/mm] gilt?

>  d.h. [mm]f^{-1}(U)=\{0,1\}[/mm] und [mm]f^{-1}(U)=\{1,0\}[/mm]
>  
> zu f)
>  [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=0[/mm]
>  
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\{\red{(}0,0\red{)}\}[/mm]

richtig.

>  
> zu g)
>  [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}=\{-1\} \Rightarrow x=\emptyset[/mm]

??? Die Schreibweise x=0 ist sinnlos. Du meinst es aber richtig.

>  
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\emptyset[/mm]

Ja, richtig.

Gruß v. Angela

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