Verständnisfrage Körper/Mipol. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
hab hier das folgende Problem:
gegeben: [mm] f=X^4+X^3+X^2+X+1 \in \IQ[X] [/mm] irreduzibel [mm] L=\IQ[X]/(f) [/mm] Körper, in L gilt [mm] x^5=1. [/mm] Man sollte das Minimalpolynom von [mm] y=x^2+x^3 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] berechnen und das klappte auch und bei mir kam [mm] m_y=X^2+X-1 \in \IQ[X] [/mm] raus. Verglichen mit der Lösung aus der Übung scheint es zu stimmen.
Nun soll man das Minimalpolynom von x über [mm] \IQ[y] [/mm] bestimmen. Meine Frage ist, was bedeutet [mm] \IQ[y]=\IQ[x^2+x^3]=K?
[/mm]
Ich kenne nur sowas der Form zb [mm] \IQ(\alpha) \alpha \in \IR [/mm] zb, oder solche Körper der Form wie oben L. Dachte erst, dass dann vielleicht [mm] K\cong \IQ[X]/(m_y) [/mm] ist. Dann wäre aber x in K und das Minimalpolynom in der Form X-x, aber die Lösung vom Tutor passt garnicht zu dem, scheint also nicht so zu sein. Er behauptet sofort, dass x nicht in K ist und rechnet dann weiter... also was bedeutet K, wie sehen die Elemente da drin aus?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn K ein Körper ist, dann ist [mm] K[a]:=\{f(a)|f \in K[X]\}. [/mm] K[a] sind also alle polynomiellen Ausdrücke in a mit Koeffizienten in K. Hilft dir das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 So 10.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Schachtel,
> hab hier das folgende Problem:
> gegeben: [mm]f=X^4+X^3+X^2+X+1 \in \IQ[X][/mm] irreduzibel
> [mm]L=\IQ[X]/(f)[/mm] Körper, in L gilt [mm]x^5=1.[/mm] Man sollte das
> Minimalpolynom von [mm]y=x^2+x^3[/mm] über [mm]\IQ[/mm] berechnen und das
> klappte auch und bei mir kam [mm]m_y=X^2+X-1 \in \IQ[X][/mm] raus.
> Verglichen mit der Lösung aus der Übung scheint es zu
> stimmen.
>
> Nun soll man das Minimalpolynom von x über [mm]\IQ[y][/mm]
> bestimmen. Meine Frage ist, was bedeutet
> [mm]\IQ[y]=\IQ[x^2+x^3]=K?[/mm]
wie Teufel schon schrieb: das ist der kleinste Unterring von $L$, der [mm] $\IQ$ [/mm] und $y$ umfasst. Und da $y$ algebraisch ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist, ist es gleich dem kleinsten solchen Unterkoerper, also insb. selber ein Koerper.
Das hilft dir vermutlich jetzt nicht ganz so viel weiter  Da du aber das Minimalpolynom von $y$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] kennst, weisst du $K [mm] \cong \IQ[X]/(m_y)$.
[/mm]
Da $y = [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3$ [/mm] ist, weisst du schonmal, dass $f = [mm] T^3 [/mm] + [mm] T^2 [/mm] - y [mm] \in (\IQ[y])[T]$ [/mm] ein Polynom ist mit $f(x) = 0$. Du musst jetzt schauen, ob $f$ irreduzibel ist, und wenn nicht, es zerlegen. (Tipp: du weisst [mm] $\IQ \subset \IQ[y] \subset \IQ[x]$ [/mm] und kennst jeweils die Koerpererweiterungsgrade. Damit weisst du, welchen Grad das Minimalpolynom von $x$ ueber [mm] $\IQ[y]$ [/mm] haben muss.)
LG Felix
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