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Volumen berechnen Ellipsoid: Kann mir jemand weiterhelfen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Di 03.07.2012
Autor: Maus11

Aufgabe
Berechnen sie das Volumen des Ellipsoids mit Hilfe von
Ellipsenkoordinaten

E :={(x; y; [mm] z)^T \in \IR^3 [/mm] : [mm] 8x^2 [/mm] + [mm] 4y^2+z^2 \le1 [/mm] }

mit Hilfe vonEllipsenkoordinaten

x = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}}r*cos(\gamma) [/mm] ; y = [mm] \bruch{1}{2}r*sin(\gamma) [/mm] ;     [mm] \gamma\in[0,2\pi], r\in[0,\IR] [/mm]

Dabei ist R > 0 zu bestimmen. Vergessen Sie auch nicht die Berechnung der
Funktionaldeterminante.

Das ist der Weg den ich jetzt gegangen bin und wie ich gerechnet habe, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig ist. Es wäre toll, wenn es sich einer mal anschauen kann und mir sagen kann ob was fehlt.

[mm] \underbrace{8}_{=a}x^2 [/mm] + [mm] \underbrace{4}_{=b}y^2 [/mm]  + [mm] z^2 \le1 [/mm]

x = [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}r [/mm] cos f ; y = [mm] \bruch{1}{\wurzel{b}}r [/mm] sin f ; z=z

[mm] r^2+z^2<1 \to z=\pm\wurzel{1-r^2} [/mm] ; [mm] r=\pm\wurzel{1-z^2} [/mm]

[mm] \Rightarro [/mm] R=1

[mm] I=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{8}}cos \gamma & \bruch{1}{2}sin \gamma \\ \bruch{-1}{\wurzel{8}}cos \gamma & \bruch{1}{2}cos \gamma}= \bruch{1}{2\wurzel{8}}r [/mm]

[mm] r\in[0;1] [/mm]
[mm] z\in[-1;1] [/mm]

[mm] \integral_{0}^{R}\integral_{0}^{\wurzel{1-R}}\integral_{0}^{2\pi}{r\bruch{1}{2\wurzel{8}}d\gamma dz dr}= \bruch{2\pi}{2\wurzel{8}}\integral_{0}^{R}2r\wurzel{1-r^2}dr =\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}[\bruch{1}{3}\wurzel{(1-r^2)^3}]_0^1=\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}*\bruch{1}{3}*\bruch{\wurzel{8}}{\wurzel{8}}=\bruch{2}{8}*\bruch{1}{3}*\pi\wurzel{8}=\bruch{1}{12}\pi\wurzel{8} [/mm]


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Volumen berechnen Ellipsoid: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Di 03.07.2012
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Maus11,


> Berechnen sie das Volumen des Ellipsoids mit Hilfe von
>  Ellipsenkoordinaten
>  
> E :={(x; y; [mm]z)^T \in \IR^3[/mm] : [mm]8x^2[/mm] + [mm]4y^2+z^2 \le1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> mit Hilfe vonEllipsenkoordinaten
>  
> x = [mm]\bruch{1}{\wurzel{8}}r*cos(\gamma)[/mm] ; y =
> [mm]\bruch{1}{2}r*sin(\gamma)[/mm] ;     [mm]\gamma\in[0,2\pi], r\in[0,\IR][/mm]
>  
> Dabei ist R > 0 zu bestimmen. Vergessen Sie auch nicht die
> Berechnung der
>  Funktionaldeterminante.
>  Das ist der Weg den ich jetzt gegangen bin und wie ich
> gerechnet habe, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das
> so richtig ist. Es wäre toll, wenn es sich einer mal
> anschauen kann und mir sagen kann ob was fehlt.
>  
> [mm]\underbrace{8}_{=a}x^2[/mm] + [mm]\underbrace{4}_{=b}y^2[/mm]  + [mm]z^2 \le1[/mm]
>
> x = [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}}r[/mm] cos f ; y =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{b}}r[/mm] sin f ; z=z
>  
> [mm]r^2+z^2<1 \to z=\pm\wurzel{1-r^2}[/mm] ; [mm]r=\pm\wurzel{1-z^2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarro[/mm] R=1
>  
> [mm]I=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{8}}cos \gamma & \bruch{1}{2}sin \gamma \\ \bruch{-1}{\wurzel{8}}cos \gamma & \bruch{1}{2}cos \gamma}= \bruch{1}{2\wurzel{8}}r[/mm]
>  
> [mm]r\in[0;1][/mm]
>  [mm]z\in[-1;1][/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}\integral_{0}^{\wurzel{1-R}}\integral_{0}^{2\pi}{r\bruch{1}{2\wurzel{8}}d\gamma dz dr}= \bruch{2\pi}{2\wurzel{8}}\integral_{0}^{R}2r\wurzel{1-r^2}dr =\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}[\bruch{1}{3}\wurzel{(1-r^2)^3}]_0^1=\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}*\bruch{1}{3}*\bruch{\wurzel{8}}{\wurzel{8}}=\bruch{2}{8}*\bruch{1}{3}*\pi\wurzel{8}=\bruch{1}{12}\pi\wurzel{8}[/mm]
>  


Hier haben sich doch einige Fehler eingeschlichen:

[mm]\integral_{0}^{R}\integral_{0}^{\wurzel{1-R^{\red{2}}}}\integral_{0}^{2\pi}{r\bruch{1}{2\wurzel{8}}d\gamma dz dr}= \bruch{2\pi}{2\wurzel{8}}\integral_{0}^{R}2r\wurzel{1-r^2}dr =\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}[\blue{-}\bruch{1}{3}\wurzel{(1-r^2)^3}]_0^1=\bruch{2\pi}{\wurzel{8}}*\bruch{1}{3}*\bruch{\wurzel{8}}{\wurzel{8}}=\bruch{2}{8}*\bruch{1}{3}*\pi\wurzel{8}=\bruch{1}{12}\pi\wurzel{8}[/mm]


Das Ergebnis ist wieder nur das halbe Ellipsenvolumen. [ok]


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
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