Volumen eines Drehkörpers < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welchen Rauminhalt besitzt der Drehkörper, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Kurven der Funktionen [mm] y=f(x)=5+\bruch{x}{5} [/mm] und [mm] y=g(x)=5+2\wurzel{x} [/mm] um die x-Achse rotiert? |
Hallo zusammen.
Ich Papula Formelbuch hab ich folgende Integral-Gleichung für folgende Aufgabe rausgesucht: [mm] V_x=\Pi*\integral_{a}^{b} y^2\, [/mm] dx
Dann hab ich, um die Schnittpunkte rauszubekommen, f(x) mit g(x) gleichgesetzt. Am Ende erhalte ich durch die p-q-Formel die Schnittpunkte bei 0 und 100. Das müssten ja dann mein a und mein b sein.
Wie genau mache ich dann weiter?
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Guten Tag,
Du willst ja die Fläche zwischen den beiden Funktionen rotieren lassen. Also musste ertsmal diese Fläche bestimmen. Dies machst du in dem du die "niedriger" gelegen Funktion von der "höher" gelegene Funktion abziehst. Dies neue Funktion ist nun die Funktion,welche den Rotationskörper beschreibt.
Die Formel die du gefunden hast ist richtig. Hier steht übrigens das y² dafür das du die zu rotierende Funktion erst quadtrierst und dann integrierst.
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> Guten Tag,
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> Du willst ja die Fläche zwischen den beiden Funktionen
> rotieren lassen. Also musste ertsmal diese Fläche
> bestimmen.
Das stimmt so nicht: falls der Inhalt dieser Fläche nicht
auch noch gefragt ist (für eine zweite Integralberechnung),
so hilft er für die Volumenberechnung nicht viel
(wenn nicht beispielsweise noch der Schwerpunkt
des Flächenstücks bekannt ist - aber das wäre ein
anderes Thema ...).
> Dies machst du in dem du die "niedriger" gelegen
> Funktion von der "höher" gelegene Funktion abziehst. Dies
> neue Funktion ist nun die Funktion,welche den
> Rotationskörper beschreibt.
>
> Die Formel die du gefunden hast ist richtig. Hier steht
> übrigens das y² dafür das du die zu rotierende Funktion
> erst quadtrierst und dann integrierst.
Anstatt bei den Flächen bildet man für die Volumenberech-
nung eine Differenz von Volumina.
LG Al-Chw.
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Leider tue ich mich im Moment ziemlich schwer, mit dem Quadrieren und dem Integrieren. Muss ich beim Quadrieren eine binomische Formel anwenden? Könntest du das mal kurz auflisten, wie das richtig aussieht? Danke im vorraus.
y= [mm] 5+2\wurzel{x}-5+\bruch{x}{5} [/mm] = [mm] 2\wurzel{x}+\bruch{x}{5}
[/mm]
[mm] y^2=(2\wurzel{x}+\bruch{x}{5})^2 [/mm] wende ich dafür die 1te binomische Formel an?
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> Leider tue ich mich im Moment ziemlich schwer, mit dem
> Quadrieren und dem Integrieren. Muss ich beim Quadrieren
> eine binomische Formel anwenden? Könntest du das mal kurz
> auflisten, wie das richtig aussieht? Danke im vorraus.
>
> y= [mm]5+2\wurzel{x}-5+\bruch{x}{5}[/mm] = [mm]2\wurzel{x}+\bruch{x}{5}[/mm]
> [mm]y^2=(2\wurzel{x}+\bruch{x}{5})^2[/mm] wende ich dafür die 1te
> binomische Formel an?
Hallo hans-itor,
diese Rechnung brauchst du eben gar nicht.
Berechne zuerst das Volumen des (massiven, ausgefüllten)
Drehkörpers, der durch die obere Randkurve beschrieben ist,
also
$\ [mm] V_1\ [/mm] =\ [mm] \pi*\integral_{a}^{b}\left(5+2\sqrt{x}\right)^2\ [/mm] dx$
Natürlich brauchst du für das Ausmultiplizieren des
Quadrates im Integranden die erste binomische Formel -
oder du multiplizierst eben die Klammerterme gliedweise aus.
Berechne dann analog das Volumen [mm] V_2 [/mm] des Kegelstumpfs
(mit der geradlinigen Mantellinie).
Die Differenz der Volumina (massiver Körper minus "Loch")
ergibt dann das Volumen des ausgebohrten Restkörpers.
LG Al-Chw.
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