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| Aufgabe | 100 Leute werfen einen 'normalen' Würfel und melden ihr Ergebnis ("S"= eine 'Sechs' geworfen oder "K" = keine 'Sechs' geworfen) anonym an die Zentrale weiter. Dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt.
Einer dieser 100 Teilnehmer ist jedoch ein Betrüger: Er signalisiert JEDES MAL ein "S", unabhängig davon, was er wirklich gewürfelt hat.
Meine Frage:
Nach wie vielen Vorgängen würde der Zentrale auffallen, dass mit 99%iger Wahrscheinlichkeit 'etwas nicht stimmt' und Jemand falsche Resultate meldet? |
Ich habe mir überlegt, dass sich normalerweise ein Erwartungswert von 16.66 ergeben würde, um den die Ergebnisse schwanken. Aufgrund des Betrügers schwanken die Werte jedoch um 17.5
Wann fällt das aber der Zentrale auf? Und wie kann man sich da zu 99% sicher sein?
99% würde einem 'Radius' von der 2.58fachen Standardabweichung um den Erwartungswert entsprechen.
Die Differenz von 0.175 und 0.1666 ist 0.0084
Muss man diese 0.0084 jetzt noch durch 2 dividieren (so dass sich die beiden Radien berühren)? Und jeder einzelne Radius umfasst dann 99% ???
Standardabweichung wäre dann: 0.001615*n (wobei n = die gesuchte Anzahl der Vorgänge)
Dann hätte ich als Endergebnis raus, dass der Betrug nach 53250 Vorgängen auffliegt (also unter Zugrundelegung der 99%igen Sicherheit).
Das kommt mir zu groß vor, dass der Betrug soooo lange unentdeckt bleibt.
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> 100 Leute werfen einen 'normalen' Würfel und melden ihr
> Ergebnis ("S"= eine 'Sechs' geworfen oder "K" = keine
> 'Sechs' geworfen) anonym an die Zentrale weiter. Dieser
> Vorgang wird immer wieder wiederholt.
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> Einer dieser 100 Teilnehmer ist jedoch ein Betrüger: Er
> signalisiert JEDES MAL ein "S", unabhängig davon, was er
> wirklich gewürfelt hat.
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> Meine Frage:
> Nach wie vielen Vorgängen würde der Zentrale auffallen,
> dass mit 99%iger Wahrscheinlichkeit 'etwas nicht stimmt'
> und Jemand falsche Resultate meldet?
> Ich habe mir überlegt, dass sich normalerweise ein
> Erwartungswert von 16.66 ergeben würde, um den die
> Ergebnisse schwanken. Aufgrund des Betrügers schwanken die
> Werte jedoch um 17.5
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> Wann fällt das aber der Zentrale auf? Und wie kann man
> sich da zu 99% sicher sein?
>
> 99% würde einem 'Radius' von der 2.58fachen
> Standardabweichung um den Erwartungswert entsprechen.
>
> Die Differenz von 0.175 und 0.1666 ist 0.0084
>
> Muss man diese 0.0084 jetzt noch durch 2 dividieren (so
> dass sich die beiden Radien berühren)? Und jeder einzelne
> Radius umfasst dann 99% ???
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> Standardabweichung wäre dann: 0.001615*n (wobei n = die
> gesuchte Anzahl der Vorgänge)
>
> Dann hätte ich als Endergebnis raus, dass der Betrug nach
> 53250 Vorgängen auffliegt (also unter Zugrundelegung der
> 99%igen Sicherheit).
> Das kommt mir zu groß vor, dass der Betrug soooo lange
> unentdeckt bleibt.
>
Hallo rabilein,
eine wichtige Frage muss da noch geklärt sein, bevor es
sich lohnt, sich in sie hinein zu knien:
Aufgrund welcher Informationen muss bei der "Zentrale"
entschieden werden ? Geht dort jeweils eine nach Absendern
geordnete Liste der Ergebnisse, also z.B.
<K,K,K,S,K,S,K,K, ..... ,K>
ein oder nur ein Sammelergebnis wie etwa
"87 mal K und 13 mal S"
ein ?
Es lohnt sich, dies genau festzuhalten. Mir ist zwar mittler-
weile klar geworden, wie du es wohl gemeint hast; der
Ausdruck "anonym" weist darauf hin ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 19.02.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Die Zentrale sieht nur ein Sammelergebnis wie z.B. "87 mal K und 13 mal S"
Ich habe mir überlegt, dass es eventuell sinnvoller sein kann, alle Sammelergebnisse einfach zu addieren.
Also zum Beispiel:
Nach 600 Vorgängen (=60000 Würfen) waren es 49472 mal K und 10528 mal S.
Eventuell lässt sich da schon etwas erkennen. Daher erscheint mir mein Ergebnis viel zu hoch.
Al-Chwarizmi, du hast doch so ein tolles Simulations-Programm. Vielleicht kann man daraus ein ungefähres Ergebnis erhalten.
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> Die Zentrale sieht nur ein Sammelergebnis wie z.B. "87 mal
> K und 13 mal S"
>
> Ich habe mir überlegt, dass es eventuell sinnvoller sein
> kann, alle Sammelergebnisse einfach zu addieren.
>
> Also zum Beispiel:
> Nach 600 Vorgängen (=60000 Würfen) waren es 49472 mal K
> und 10528 mal S.
>
> Eventuell lässt sich da schon etwas erkennen. Daher
> erscheint mir mein Ergebnis viel zu hoch.
>
> Al-Chwarizmi, du hast doch so ein tolles
> Simulations-Programm. Vielleicht kann man daraus ein
> ungefähres Ergebnis erhalten.
Na, "du hast so ein tolles Simulations-Programm" klingt
ja schon gut ...
Die Wirklichkeit sieht ein wenig anders aus: derartige
Progrämmchen schreibe ich mir halt jeweils ad hoc für ein
bestimmtes Problem. Ich werde schauen, ob ich übers
Wochenende dazu Zeit finde - entweder für die Simulation
oder für die formale Berechnung.
Lieben Gruß von Al 
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> 100 Leute werfen einen 'normalen' Würfel und melden ihr
> Ergebnis ("S"= eine 'Sechs' geworfen oder "K" = keine
> 'Sechs' geworfen) anonym an die Zentrale weiter. Dieser
> Vorgang wird immer wieder wiederholt.
>
> Einer dieser 100 Teilnehmer ist jedoch ein Betrüger: Er
> signalisiert JEDES MAL ein "S", unabhängig davon, was er
> wirklich gewürfelt hat.
>
> Meine Frage:
> Nach wie vielen Vorgängen würde der Zentrale auffallen,
> dass mit 99%iger Wahrscheinlichkeit 'etwas nicht stimmt'
> und Jemand falsche Resultate meldet?
> Ich habe mir überlegt, dass sich normalerweise ein
> Erwartungswert von 16.66 ergeben würde, um den die
> Ergebnisse schwanken. Aufgrund des Betrügers schwanken die
> Werte jedoch um 17.5
>
> Wann fällt das aber der Zentrale auf? Und wie kann man
> sich da zu 99% sicher sein?
>
> 99% würde einem 'Radius' von der 2.58fachen
> Standardabweichung um den Erwartungswert entsprechen.
>
> Die Differenz von 0.175 und 0.1666 ist 0.0084
>
> Muss man diese 0.0084 jetzt noch durch 2 dividieren (so
> dass sich die beiden Radien berühren)? Und jeder einzelne
> Radius umfasst dann 99% ???
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> Standardabweichung wäre dann: 0.001615*n (wobei n = die
> gesuchte Anzahl der Vorgänge)
>
> Dann hätte ich als Endergebnis raus, dass der Betrug nach
> 53250 Vorgängen auffliegt (also unter Zugrundelegung der
> 99%igen Sicherheit).
> Das kommt mir zu groß vor, dass der Betrug soooo lange
> unentdeckt bleibt.
Hallo rabilein,
hab mir nun die Sache überlegt. In jedem einzelnen "Versuch",
der darin besteht, dass die 100 Leute ihr Ergebnis bekannt geben
und die Anzahl s=Anzahl Sechser ermittelt wird, ist, falls alles
mit rechten Dingen zugeht, der Erwartungswert von s gleich
[mm] $\mu_1\ [/mm] =\ [mm] \frac{100}{6}\ [/mm] =\ [mm] 16.\overline{6}$
[/mm]
und die Varianz [mm] $V_1\ [/mm] =\ [mm] {\sigma_1}^2\ [/mm] =\ [mm] 100*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}\ [/mm] =\ [mm] 13.\overline{8}$
[/mm]
und somit [mm] $\sigma_1\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{V_1}\ \approx\ [/mm] 3.727$
Wird nun nicht ein einzelner Versuch, sondern eine Serie
von n Versuchen durchgeführt, hat die Summe [mm] s_n [/mm] der
dabei insgesamt erzielten Sechser eine Verteilung mit dem
Erwartungswert
[mm] $\mu_n\ [/mm] =\ [mm] n*\mu_1\ [/mm] =\ [mm] n*16.\overline{6}$
[/mm]
und der Varianz
[mm] $V_n\ [/mm] =\ [mm] n*V_1\ [/mm] =\ [mm] n*13.\overline{8}$
[/mm]
und somit mit der Standardabweichung
[mm] $\sigma_n\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{V_n}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{n*13.\overline{8}}\approx\ \sqrt{n}*3.727$
[/mm]
Ist nun aber unter den 100 Personen genau ein Mogler, der
stets das Ergebnis "Sechser gewürfelt" durchgibt, hätten
wir eine Verteilung mit dem Erwartungswert [mm] $\overline{\mu_n}\ [/mm] =\ n*17.5$
Falls der Betrag [mm] $\left|\overline{\mu_n}\,-\,\mu_n\right|$ [/mm] das 2.58-fache von [mm] \sigma_n
[/mm]
übersteigt, ist dies alarmierend auffällig, denn die Wahrschein-
lichkeit einer mindestens so großen Abweichung (in beliebiger
Richtung) hat eine Wahrscheinlichkeit von weniger als einem
Prozent.
Den kritischen Wert der Versuchsanzahl n erhalten wir also,
indem wir die Gleichung
[mm] $\left|\overline{\mu_n}\,-\,\mu_n\right|\ [/mm] =\ [mm] 2.58*\sigma_n$
[/mm]
nach n auflösen. Ich habe für n (gerundet) den Wert 133
erhalten. Etwa ab einer Versuchsserie dieser Länge müsste
man also in der Regel den starken Verdacht bekommen,
dass etwas nicht stimmen kann.
LG Al-Chw.
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Hallo alle,
da ich mir doch noch nicht so ganz sicher bin, ob meine
Antwort wirklich ganz richtig ist (ich habe mich gefragt,
ob man nicht auch berücksichtigen müsse, dass ja auch
die "gezinkten" Ergebnisse durch eine Verteilung
(mit p=0.175) beschrieben sind), habe ich die Frage von
rabilein nochmals auf "unbeantwortet" gestellt.
Ich wäre also froh, wenn noch Andere die Lösung
prüfen und beurteilen würden.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Mo 21.02.2011 | | Autor: | rabilein1 |
@ Al-Chwarizmi
Unabhängig von dir bin ich bei einem zweiten Rechnen ebenfalls auf 133 Vorgänge gekommen.
Oder anders gesagt:
Nach n=13333 Würfen würde die Anzahl der Sechsen aufgrund des Moglers dermaßen signifikant (99%) vom Erwartungswert abweichen, dass es in der Zentrale auffallen müsste.
Bei einer solchen Aufgabe verschätzt man sich meistens sehr stark. Immerhin wich mein erstes Ergebnis um das 400-fache ab.
Dass man dem Betrug allerdings bereits nach nur 133 Vorgängen auf die Spur kommen würde, hätte ich auch nicht gedacht.
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> @ Al-Chwarizmi
> Unabhängig von dir bin ich bei einem zweiten Rechnen
> ebenfalls auf 133 Vorgänge gekommen.
>
> Oder anders gesagt:
> Nach n=13333 Würfen würde die Anzahl der Sechsen aufgrund
> des Moglers dermaßen signifikant (99%) vom Erwartungswert
> abweichen, dass es in der Zentrale auffallen müsste.
>
>
> Bei einer solchen Aufgabe verschätzt man sich meistens
> sehr stark. Immerhin wich mein erstes Ergebnis um das
> 400-fache ab.
> Dass man dem Betrug allerdings bereits nach nur 133
> Vorgängen auf die Spur kommen würde, hätte ich auch
> nicht gedacht.
Hallo rabilein,
das Ergebnis mit der relativ kleinen Versuchs-Anzahl
erscheint etwas weniger erstaunlich, wenn man sich klar
macht, dass der eine Mogler unter 100 Personen die
Häufigkeit der Sechser nicht etwa bloß um 1% erhöht,
sondern um satte 5%.
Im gegenteiligen Fall, dass der Mogler immer "K" anstatt
immer "S" melden würde, wären etwa 3328 Versuche nötig,
um die Irregularität mit P=99% zu entdecken.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 26.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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