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Winkel zweier vektoren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Sa 11.01.2014
Autor: Syny

Aufgabe
Gegeben seien a,b [mm] \in \IR^3 [/mm] mit ||a|| = ||b|| = 1 und winkel(a,b) = 60°.

a) Welchen Winkel schließen die Vektoren a + b und 2b-  a ein?

b) Fur welche Werte von  [mm] \lambda \in \IR [/mm]  stehen die Vektoren a + b und 2b +  [mm] \lambda [/mm] a senkrecht
aufeinander?

Hallo,
ich habe Probleme bei der Lösung der obigen Aufgabe. Habe nun versucht in die Winkelgleichung für Vektoren Werte einzusetzen um zu gucken ob ich 2 Vektoren mit den Eigenschaften aus der Aufgabenstellung finde um mit diesen rechnen zu können. Leider ergebnislos. Kann mir jemand einen tipp geben wie ich das am Besten umsetze?

Mfg Syny


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Sa 11.01.2014
Autor: notinX

Hallo,

> Gegeben seien a,b [mm]\in \IR^3[/mm] mit ||a|| = ||b|| = 1 und
> winkel(a,b) = 60°.
>  
> a) Welchen Winkel schließen die Vektoren a + b und 2b-  a
> ein?
>  
> b) Fur welche Werte von  [mm]\lambda \in \IR[/mm]  stehen die
> Vektoren a + b und 2b +  [mm]\lambda[/mm] a senkrecht
>  aufeinander?
>  Hallo,
>  ich habe Probleme bei der Lösung der obigen Aufgabe. Habe
> nun versucht in die Winkelgleichung für Vektoren Werte
> einzusetzen um zu gucken ob ich 2 Vektoren mit den
> Eigenschaften aus der Aufgabenstellung finde um mit diesen
> rechnen zu können. Leider ergebnislos. Kann mir jemand
> einen tipp geben wie ich das am Besten umsetze?

statt Prosa wären ein, zwei Gleichungen die zeigen was Du gemacht hast hilfreicher gewesen. 'Die Winkelgleichung für Vektoren' ist der richtige Weg. Ich fang mal an, Du darfst dann weiter machen.
Es gilt: [mm] $\vec x\cdot\vec y=\left|\vec x\right|\cdot\left|\vec y\right|\cdot\cos\theta$ [/mm]
wobei [mm] $\theta$ [/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
Nun sei [mm] $\vec x:=\vec a+\vec [/mm] b$ und [mm] $\vec y:=2\vec b-\vec [/mm] a$
Das kannst Du jetzt in die Gleichung oben einsetzen und ausrechnen. Aufgabe b) funktioniert ganz ähnlich.

>
> Mfg Syny
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Sa 11.01.2014
Autor: Syny

Ja bist zu diesem Punkt hatte ich mir das auch gedacht nur wie ich das ohne konkrete Vektoren rechnen soll ist mir unklar ich meine wenn ich da jetzt einfach die Vektoren einsetze kann ich damit doch nicht rechnen oder?

also wenn ich jetzt [mm] arccos(\bruch{a+b*2b-a}{|a+b|*|2b-a|})= \alpha [/mm]
die Werte der Beträge einsetze komme ich auf  [mm] arccos(\bruch{a+b*2b-a}{2})= \alpha [/mm] dann kürze ich die 2 weg arccos(a+b*b-a)= [mm] \alpha [/mm] stimmt das  ? vermute ja mal nicht :) und ohne konkrete Vektoren kann ich da jetzt auch nichts mehr machen. Glaube stehe ziemlich auf dem Schlauch. Wäre nett wenn du noch nen tipp hättest.

mfg Syny

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Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Sa 11.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Ja bist zu diesem Punkt hatte ich mir das auch gedacht nur
> wie ich das ohne konkrete Vektoren rechnen soll ist mir
> unklar ich meine wenn ich da jetzt einfach die Vektoren
> einsetze kann ich damit doch nicht rechnen oder?

Doch, wenn du es korrekt anstellen würdest.
>

> also wenn ich jetzt [mm]arccos(\bruch{a+b*2b-a}{|a+b|*|2b-a|})= \alpha[/mm]

>

> die Werte der Beträge einsetze

Im Zähler fehlen Klammern!

komme ich auf

> [mm]arccos(\bruch{a+b*2b-a}{2})= \alpha[/mm] dann kürze ich die 2
> weg arccos(a+b*b-a)= [mm]\alpha[/mm] stimmt das ?

Es ist völlig unsinnig. Seit wann ist die Kosinusfunktion vektorwertig? 

> vermute ja mal

> nicht :) und ohne konkrete Vektoren kann ich da jetzt auch
> nichts mehr machen. Glaube stehe ziemlich auf dem Schlauch.
> Wäre nett wenn du noch nen tipp hättest.

Wie gesagt: setze im Zähler die Klammern korrekt und multipliziere zunächst den entstehenden Term aus. Dann kann man

[mm] |\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}^2} [/mm]

verwenden.

Gruß, Diophant

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Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Sa 11.01.2014
Autor: Syny


> Wie gesagt: setze im Zähler die Klammern korrekt und
> multipliziere zunächst den entstehenden Term aus. Dann
> kann man
>  
> [mm]|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}^2}[/mm]
>  
> verwenden.
>  
> Gruß, Diophant

Okay, danke für den Tipp habe jetzt folgendes raus ich hoffe das stimmt

[mm] arccos(\bruch{(a+b)\cdot{}(2b-a)}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha [/mm]

[mm] arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha [/mm]

[mm] arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{\wurzel{(a+b)²}*\wurzel{(2b-a)²}})= \alpha [/mm]

[mm] arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{(a+b)*(2b-a)})= \alpha [/mm]

arcos(1)

mfg Syny


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Winkel zweier vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Sa 11.01.2014
Autor: Syny

sehe grade die "²" wurden so nicht übernommen

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Bezug
Winkel zweier vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Sa 11.01.2014
Autor: Syny

letzte frage sollte eine Mitteilung sein sry

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Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Sa 11.01.2014
Autor: notinX


> Okay, danke für den Tipp habe jetzt folgendes raus ich
> hoffe das stimmt
>  
> [mm]arccos(\bruch{(a+b)\cdot{}(2b-a)}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
>
> [mm]arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
>  
> [mm]arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{\wurzel{(a+b)²}*\wurzel{(2b-a)²}})= \alpha[/mm]
>  
> [mm]arccos(\bruch{-a²+2b²+ab}{(a+b)*(2b-a)})= \alpha[/mm]
>  
> arcos(1)

Du musst die Quadrate mit ^2 schreiben. Mach das besser erstmal, so macht das ja alles keinen Sinn. Außerdem wo ist das Ergebnis, welchen Winkel bekommst Du raus?

>  
> mfg Syny
>    

Gruß,

notinX

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Bezug
Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Sa 11.01.2014
Autor: Syny


> Du musst die Quadrate mit ^2 schreiben. Mach das besser
> erstmal, so macht das ja alles keinen Sinn. Außerdem wo
> ist das Ergebnis, welchen Winkel bekommst Du raus?
> Gruß,
>  
> notinX

Ja hatte das in eine Vermerkung geschrieben habe die ^2 über die Tastatur direkt eingetippt naja das ergebnis wäre ja 0° heißt das dann die 2 Vektoren liegen im Prinzip jetzt auf einander ?

mfg Syny

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Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 11.01.2014
Autor: notinX


> Ja hatte das in eine Vermerkung geschrieben habe die ^2
> über die Tastatur direkt eingetippt naja das ergebnis

Ich weiß, deshalb sagte ich Dir, dass das so nicht funktioniert.

> wäre ja 0° heißt das dann die 2 Vektoren liegen im
> Prinzip jetzt auf einander ?

Das ist falsch.

>
> mfg Syny

Gruß,

notinX

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Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Sa 11.01.2014
Autor: Syny


> [mm]arccos(\bruch{(a+b)\cdot{}(2b-a)}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
>
> [mm]arccos(\bruch{-a^2+2b^2+ab}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
>  
> [mm]arccos(\bruch{-a^2+2b^2+ab}{\wurzel{(a+b)^2}*\wurzel{(2b-a)^2}})= \alpha[/mm]


Ich bin wirklich überfragt, stimmt das schon bis hierhin nicht vom Rechenweg her ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Sa 11.01.2014
Autor: notinX


> > [mm]arccos(\bruch{(a+b)\cdot{}(2b-a)}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
> >
> > [mm]arccos(\bruch{-a^2+2b^2+ab}{|a+b|\cdot{}|2b-a|})= \alpha[/mm]
>  
> >  

> >
> [mm]arccos(\bruch{-a^2+2b^2+ab}{\wurzel{(a+b)^2}*\wurzel{(2b-a)^2}})= \alpha[/mm]
>  

[ok]

>
> Ich bin wirklich überfragt, stimmt das schon bis hierhin
> nicht vom Rechenweg her ?  

Das stimmt. Jetzt musst Du noch entsprechend einsetzen. Im Zähler als auch im Nenner stehen nur Skalarprodukte. Du kennst die Beträge der Vektoren a und b und den Winkel zwischen ihnen, Du kannst also eine konkrete Zahl explizit ausrechnen.

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                                
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Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Sa 11.01.2014
Autor: Syny


Also ich hab jetzt zwei Vektoren gesucht die diese Eigenschaft besitzen.
zum einen für a [0,1,0] und für b[7/2,0.866,0] aber ich glaube ich muss hier resignieren ich sitze jetzt so lang hier dran. Ich mach mal eine Pause.

mfg Syny


Bezug
                                                                                        
Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 11.01.2014
Autor: notinX


>
> Also ich hab jetzt zwei Vektoren gesucht die diese
> Eigenschaft besitzen.
>  zum einen für a [0,1,0] und für b[7/2,0.866,0] aber ich
> glaube ich muss hier resignieren ich sitze jetzt so lang
> hier dran. Ich mach mal eine Pause.

Es ist überhaupt nicht Teil der Aufgabe irgendwelche Vektoren zu suchen. Die Vektoren a und b und ihre Eigenschaften sind doch gegeben. Wenn Du weißt, dass der Betrag eines Vektors eins ist, was gilt dann für sein Betragsquadrat? [mm] $a^2=b^2=?$ [/mm] Alles weiter was Du brauchst ist die Definitionsgleichung für das Skalarprodukt, aber die solltest Du auch kennen.

Eine Pause kann allerdings nicht schaden, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

>  
> mfg Syny
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                                                
Bezug
Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 So 12.01.2014
Autor: Syny

So das ist der letzte Versuch für heute (naja bevor ich schlafen gehe)
also setze ich jetzt in die Gleichung meine Werte ein.

[mm] arc(\bruch{-1+(2*1)^2+1*1*cos(60)}{\wurzel{(1+1)^2}\wurzel{(2*1-1)^2}} [/mm] und komme damit auf 28,96°

stimmt das?

mfg syny


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Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:37 So 12.01.2014
Autor: leduart

Hallo
Im Zähle nicht  [mm] /2#1)^2 [/mm] sondern [mm] 2*1^2 [/mm]
im nenner ist [mm] (a+b)^2 [/mm] nicht [mm] a^2+b^2 [/mm] entsprechend der 2 te ausdruck.
Du arbeitest zu schnell und unkonzentriert, 20% langsamer ist im ergebnis schneller.
Gruß leduart

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 So 12.01.2014
Autor: Syny


> Hallo
>  Im Zähle nicht  [mm]/2#1)^2[/mm] sondern [mm]2*1^2[/mm]
>  im nenner ist [mm](a+b)^2[/mm] nicht [mm]a^2+b^2[/mm] entsprechend der 2 te ausdruck.

[mm] arc(\bruch{-1+2\cdot{}1^2+1\cdot{}1\cdot{}cos(60)}{\wurzel{(1+1)^2}\wurzel{(2\cdot{}1-1)^2}} [/mm]

>  Du arbeitest zu schnell und unkonzentriert, 20% langsamer
> ist im ergebnis schneller.

Das ist gut möglich war aber auch schon spät.

So wäre der Winkel dann 41.41° hoffe ich.

mfg Syny

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Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 So 12.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> > Hallo
> > Im Zähle nicht [mm]/2#1)^2[/mm] sondern [mm]2*1^2[/mm]
> > im nenner ist [mm](a+b)^2[/mm] nicht [mm]a^2+b^2[/mm] entsprechend der 2
> te ausdruck.

>

> [mm]arc(\bruch{-1+2\cdot{}1^2+1\cdot{}1\cdot{}cos(60)}{\wurzel{(1+1)^2}\wurzel{(2\cdot{}1-1)^2}}[/mm]

>

> > Du arbeitest zu schnell und unkonzentriert, 20% langsamer
> > ist im ergebnis schneller.
> Das ist gut möglich war aber auch schon spät.

>

> So wäre der Winkel dann 41.41° hoffe ich.

Nein, es ist offensichtlich von der Uhrzeit unabhängig. Wo bekommst du denn eigentlich diese ominösen Betrüge im Nenner her, das kann ich nicht nachvollziehen. Nur: sie sind definitiv falsch. Du kannst die Beträge von a+b und 2b-a jedoch mit den Angaben über eine elemtargeometrische Überlegung sehr leicht ermitteln, und das ist u.a. der Sinn dieser Aufgabe! Und BTW ist cos(60°)=1/2...

Zeichne dir doch mal die Vektoren a, b, a+b sowie 2b-a auf. Dann sollte dir eigentlich ein Licht aufgehen, denn das richtige Resultat kann man hier ohne Rechnung sofort angeben.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Winkel zweier vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 So 12.01.2014
Autor: Syny


> Nein, es ist offensichtlich von der Uhrzeit unabhängig. Wo
> bekommst du denn eigentlich diese ominösen Betrüge im
> Nenner her, das kann ich nicht nachvollziehen.

Da hast du natürlich recht das ist ziemlich unsinnig weiß ich selbst nicht warum ich die Beträge einfach addiert habe ist ja klar das dies nicht stimmen kann
>Nur: sie

> sind definitiv falsch.
> Du kannst die Beträge von a+b und
> 2b-a jedoch mit den Angaben über eine elemtargeometrische
> Überlegung sehr leicht ermitteln, und das ist u.a. der
> Sinn dieser Aufgabe! Und BTW ist cos(60°)=1/2...
>  
> Zeichne dir doch mal die Vektoren a, b, a+b sowie 2b-a auf.
> Dann sollte dir eigentlich ein Licht aufgehen, denn das
> richtige Resultat kann man hier ohne Rechnung sofort
> angeben.

Das habe ich nun getan und zwischen a+b und 2b-a ist ebenfalls ein winkel von 60° was im nachhinein sinn macht wenn ich mir die Zeichnung angucke allerdings hätte ich das gerne auch  mit der Gleichung herausgelöst bekommen. Nur wie ich komme ich auf die gewünschte 3 im Nenner ?

>  
> Gruß, Diophant


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Winkel zweier vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 So 12.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Das habe ich nun getan und zwischen a+b und 2b-a ist
> ebenfalls ein winkel von 60° was im nachhinein sinn macht
> wenn ich mir die Zeichnung angucke allerdings hätte ich
> das gerne auch mit der Gleichung herausgelöst bekommen.
> Nur wie ich komme ich auf die gewünschte 3 im Nenner ?

Die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a ist bekanntlich

[mm] h=\bruch{a}{2}\wurzel{3} [/mm]

Das musst du ausnutzen.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Winkel zweier vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 So 12.01.2014
Autor: Syny


> [mm]h=\bruch{a}{2}\wurzel{3}[/mm]
>  
> Das musst du ausnutzen.

also die Beträge a im Nenner sind dann 1,5 = [mm] (a/2)*\wurzel{3} [/mm] also a = [mm] \wurzel{3} [/mm]
und dann komme ich auf die 3 durch die Multiplikation... und dann auf einen winkel von 60° in der Gleichung.


Danke an alle die mir hier geholfen haben. Ich weiß es war nicht leicht mit mir.

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