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Zyklische Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mi 22.02.2017
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Ich habe mir eine Frage gestellt: Wenn alle Untergruppen einer Gruppe zyklisch sind, ist dann die Gruppe selbst auch zyklisch?

Hallo,

ich befinde mich gerade bei der Algebra Klausur Vorbereitung und da habe ich mir die obige Frage gestellt.

Ich würde über Antworten freuen,

Euer Herzblatt

        
Bezug
Zyklische Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Mi 22.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe mir eine Frage gestellt: Wenn alle Untergruppen
> einer Gruppe zyklisch sind, ist dann die Gruppe selbst auch
> zyklisch?
> Hallo,

>

> ich befinde mich gerade bei der Algebra Klausur
> Vorbereitung und da habe ich mir die obige Frage gestellt.

>

Der Gedanke ist ja verführerisch vor dem Hintegrund, dass es andersherum stimmt: jede Untegruppe einer zyklischen Gruppe ist selbst wieder zyklisch. Wenn ich es richtig verstanden habe, möchtest du aber aus der Tatsache, dass alle Untergruppen einer Gruppe zyklisch sind, darauf schließen, dass die Gruppe selbst zyklisch ist. Weiter unten wurde - wenn ich es richtig verstanden habe - angemerkt, dass dem so ist. Ich für meine Teil sehe aber die []Kleinsche Vierergruppe als Gegenbeispiel an. Trivialerweise sind dort alle echten Untegruppen zyklisch.

Und genau darüber habe ich mir gestern zu wenig Gedanken gemacht: so wie du die Frage formuliert hast, lautet die Antwort 'ja' und das ist trivial. Denn nach Definition ist jede Gruppe Untergruppe von sich selbst (und damit dannn natürlich schon laut Annahme zyklisch). Wenn wir allerdings von echten Untegruppen sprechen (und ich denke, so ist die Frage gemeint?), dann gilt mein Gegenbeispiel.  


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Zyklische Untergruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Mi 22.02.2017
Autor: hippias

Nimmt man den Text der Fragestellerin Ernst, so folgt, dass die Gruppe zyklisch ist. Aber höchstwahrscheinlich war es ja nicht so gemeint.

Bezug
                        
Bezug
Zyklische Untergruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Mi 22.02.2017
Autor: Diophant

Hallo hippias,

ja, da habe ich die Frage eventuell falsch verstanden.

Was ich auch nicht verstehe: weshalb bearbeitest du meinen Beitrag (ohne die Bearbeitung abzuschließen)???

So kann ich jetzt nämlich meine Antwort nicht mehr bearbeiten und muss daher an dieser Stelle einmal feststellen, dass die Moderation dieses Forums teilweise wunderliche Züge angenommen hat...

Gruß, Diophant


Bezug
                                
Bezug
Zyklische Untergruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:12 Do 23.02.2017
Autor: hippias

Mein wunderlicher Zug ist leicht erklärt: ich habe mich verklickt! Es tut mir Leid, wenn dadurch Probleme für Dich entstanden sind.

Bezug
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