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ableitung mit 2 variablen: aufgabe mit einsetzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mi 06.06.2007
Autor: Max80

Aufgabe
Berechne für die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{e^x}{y} [/mm] a) den wert [mm] f_{xy}(0,2) [/mm] und b) den wert [mm] f_{xy}'(0,2) [/mm]

Mal kurz eine Zwischenfrage: bin ich hier eigentlich im richtigen forum? also ich meine hier gehts ja um differentialgleichungen. ich habe jedoch nichts über ableitungen gefunden...danke!


so nun zu meiner frage:

wir haben ja 2 variablen hier (ist das jetzt 3d?).
nun war meine idee, einfach einzusetzen. der linke wert in der klammer (also die 0) steht ja für x und der rechte (die 2) für y.
also:

[mm] f(x,y)=\bruch{e^0}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

ist das richtig?

was aufgabe b) angeht, hab ich keine ahnung wie ich das ableiten soll..!

zugegeben: aufgabe b) hab ich mir grad ausgedacht, aber es kann doch durchaus sein, dass man sowas auch mal ableiten muss...?!


danke!!
LG
Bunti

        
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Mi 06.06.2007
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich glaube, du hast ein generelles Verständnisproblem:

Im mehrdimensionalen gibt es sowas wie f' nicht, bzw. es wird gar nicht so geschrieben.
[mm] f_{x,y}(0,2) [/mm] IST eine Ableitung von f(x,y), nämlich die zweifache partielle Ableitung erst nach y und dann nach x an der Stelle (0,2).

D.h. du musst f erst nach y Ableiten und erhälst [mm] f_y, [/mm] dies leitest du dann nach x ab und erhälst [mm] f_{xy} [/mm] und dies berechnest du dann an der Stelle (0,2).

MfG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 06.06.2007
Autor: Max80

vielen dank Gono!!

ich habe es jetzt dann nochmal versucht. dabei sind mir einige fragen in den kopf gekommen:
1: ist die reihenfolge wichtig? kann ich erst nach x ableiten und dann nach y und umgekehrt?
2: ist das jetzt eine partielle ableitung? ich verwechsel das glaube immer mit einer partiellen integration die ja nur die umkehrung der produktregel ist, dabei haben die beiden sachen gar nix miteinander zu tun. oder lieg ich grad ganz falsch?
3: haben wir hier bei der ableitung eine tangentialebene?
4: wie würde ich jetzt (ja man ja nicht f'(x,y) schreibt, die zweite oder dritte ableitung hinschreiben? oder gar die stammfunktion?

so, nun zu meinem versuch: =)

f(x,y) = [mm] e^x [/mm] * [mm] y^{-1} [/mm]

=> [mm] f_{y} [/mm] = [mm] e^x [/mm] * [mm] -y^{-2} [/mm]    =>   [mm] \bruch{e^x}{-y^2} [/mm]

jetzt nach x:

[mm] f_{x,y} [/mm] = [mm] e^x [/mm] * [mm] -y^{-2} [/mm]     abgeleitet =>   [mm] e^x [/mm] * [mm] -y^{-2} [/mm]   :)

die fertige ableitung:

[mm] f_{x,y} [/mm] = [mm] \bruch{e^x}{-y^2} [/mm]

wenn ich jetzt nach der aufgabe einsetze komme ich auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

ist das so richtig?

ich war wegen dem produkt ein wenig verunsichert. klar: ich brauche hier wohl keine produktregel, weil es unterschiedliche variablen sind und diese wie konstanten behandelt werden sollen beim ableiten nach der einen oder anderen. demnach ist es wie eine zahl, die ich (nach der faktorregel?) einfach so stehen lasse...

nun habe ich aber mal überlegt, es wäre nur mit x oder gar gemisch:

[mm] \bruch{e^x}{x} [/mm]    => hier einfach produktregel anwenden, richtig? oder quotientenregel? ich täte jetzt folgendes schreiben:
[mm] \bruch{e^x}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] => [mm] e^x [/mm] * [mm] x^{-1} [/mm] und hätte nun die produktregel genommen...
wäre es sinnvoll an dieser stelle die quotientenregel zu verwenden?

und: wofür brauch ich die quotientenregel überhaupt? ich finde diese komplizierter als die produktregel und wie man sieht, kann ich mir die brüche ja zurecht schreiben... :)

nun was ganz gemeines:

[mm] \bruch{e^x}{y} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

=> [mm] e^x [/mm] * [mm] y^{-1} [/mm] * [mm] x^{-1} [/mm]    =>   jetzt erstmal nach y wie du sagtest (da ich noch unsicher war, wegen der reihenfolge):

[mm] -y^{-2} [/mm] * [mm] e^x [/mm] * [mm] x^{-1} [/mm]

nun nach x mit der produktregel(?):
[mm] e^x=u [/mm]  und  [mm] x^{-1} [/mm] = v   -> frage: wozu gehört das [mm] -y^{-2} [/mm] ? zu u oder v?
ich wusste es nicht, daher hab ich es mal zum [mm] e^x [/mm] gemacht... :)

[mm] (-y^{-2} [/mm] * [mm] e^x [/mm] * [mm] -x^{-2}) [/mm] + [mm] (-y^{-2} [/mm] * [mm] e^x [/mm] * [mm] x^{-1}) [/mm]
ab hier weiß ich nicht mehr weiter...
ich glaube grad ich bin aufm völlig falschen dampfer, kann das sein?^^

mathe ist echt ein schwieriges fach. ich bewunder alle mathe-stundenten^^ =)

danke für eure hilfe!!
gruß
bunti

Bezug
                        
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mi 06.06.2007
Autor: Gonozal_IX

Na dann wollen wir mal ;-)

> vielen dank Gono!!

bittschön *g*


>  1: ist die reihenfolge wichtig? kann ich erst nach x
> ableiten und dann nach y und umgekehrt?

Im Allgemeinen nicht. Ist die Funktion [mm] f_{xy} [/mm] allerdings stetig, ist es egal, in welcher Reihenfolge du das machst, d.h. Ableiten, und wenns stetig ist, störts dich nicht, weil dann andersherum genau das gleiche rauskommt (probiers aus).

>  2: ist das jetzt eine partielle ableitung?

Jap, allerdings sollte man dabei immer noch angeben, wonach du partiell ableitest.

>dabei haben die

> beiden sachen gar nix miteinander zu tun. oder lieg ich
> grad ganz falsch?

Nee, da liegst du richtig :-)

>  3: haben wir hier bei der ableitung eine tangentialebene?

Nee, so einfach ist das net....

>  4: wie würde ich jetzt (ja man ja nicht f'(x,y) schreibt,
> die zweite oder dritte ableitung hinschreiben? oder gar die
> stammfunktion?

Aaaalso, im mehrdimensionalen solltest du dir generell angewöhnen, die "andere" schreibweise zu benutzen.
Bereits im reellen gilt ja [mm]f'(x) = \bruch{df}{dx}(x)[/mm]

Im wobei dx angibt, nach welcher Variablen man ableitet.
Im mehrdimensionalen gilt es analog, nur da man keine komplette Ableitung hat, sondern eine partielle, schreibt man anstatt dem d ein [mm] \partial [/mm] (was auch ein d ist, aber wie man sieht, unterscheidet es sich ;)).

Also ist die partielle Ableitung von f nach x [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}, [/mm] alternativ auch [mm]\partial_x f[/mm] wobei ich persönlich letzteres bevorzuge, warum siehst du gleich:

Wir leiten eine Funktion mit 3 Variablen, f(x,y,z) mal partiell nach jeder Variablen ab, dann gilt:

[mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial{z}\partial{y}\partial{x}} = \partial_z\partial_y\partial_x f = f_{zyx}[/mm]

Mit den Ableitungen verhält es sich wie mit der Verknüpfung von Funktionen, man liest sie also von rechts nach links. Nun siehst du auch, warum ich die Variante bevorzuge, bei sehr vielen Variablen sieht das einfach schöner aus :-)

  

> f(x,y) = [mm]e^x[/mm] * [mm]y^{-1}[/mm]

[ok]

> => [mm]f_{y}[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]-y^{-2}[/mm]  
> => [mm]\bruch{e^x}{-y^2}[/mm]

[ok]

> [mm]f_{x,y}[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]-y^{-2}[/mm]     abgeleitet =>   [mm]e^x[/mm] * [mm]-y^{-2}[/mm]  

[ok]
  

> die fertige ableitung:
>  
> [mm]f_{x,y}[/mm] = [mm]\bruch{e^x}{-y^2}[/mm]

[ok]
  

> wenn ich jetzt nach der aufgabe einsetze komme ich auf
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]

[notok]

Guck dir das Vorzeichen nochmal an.

  

> ich war wegen dem produkt ein wenig verunsichert. klar: ich
> brauche hier wohl keine produktregel, weil es
> unterschiedliche variablen sind und diese wie konstanten
> behandelt werden sollen beim ableiten nach der einen oder
> anderen. demnach ist es wie eine zahl, die ich (nach der
> faktorregel?) einfach so stehen lasse...

Genau so ist es. Du brauchst uns ja gar nicht mehr ;-)


> nun habe ich aber mal überlegt, es wäre nur mit x oder gar
> gemisch:
>  
> [mm]\bruch{e^x}{x}[/mm]    => hier einfach produktregel anwenden,
> richtig? oder quotientenregel? ich täte jetzt folgendes
> schreiben:
>  [mm]\bruch{e^x}{1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x}[/mm] => [mm]e^x[/mm] * [mm]x^{-1}[/mm] und hätte

> nun die produktregel genommen...
>  wäre es sinnvoll an dieser stelle die quotientenregel zu
> verwenden?

Das liegt ganz an dir. Es ist Gewohnheitssache, ich machs allerdings auch lieber so und nutze dann die Produktregel.
Was würde hier passieren, wenn du nach partiell nach y abgeleitet hättest?

>  
> und: wofür brauch ich die quotientenregel überhaupt? ich
> finde diese komplizierter als die produktregel und wie man
> sieht, kann ich mir die brüche ja zurecht schreiben... :)

Jop, das kann man übrigens auch zeigen, daß die Quotientenregel das gleiche wie die Produktregel ist, nur anders hingeschrieben ;-)

> [mm]\bruch{e^x}{y}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> => [mm]e^x[/mm] * [mm]y^{-1}[/mm] * [mm]x^{-1}[/mm]    

[ok]

  

> [mm]-y^{-2}[/mm] * [mm]e^x[/mm] * [mm]x^{-1}[/mm]

[ok]

  

> nun nach x mit der produktregel(?):
>  [mm]e^x=u[/mm]  und  [mm]x^{-1}[/mm] = v   -> frage: wozu gehört das [mm]-y^{-2}[/mm]

> ? zu u oder v?
>  ich wusste es nicht, daher hab ich es mal zum [mm]e^x[/mm]
> gemacht... :)

Hiho, es ist egal, wo du es hinschreibst, wie du an deinem Ergebnis siehst, hättest es auch einfach ganz als Faktor vorziehen können und dann einfach [mm] -y^{-2}*(e^x [/mm] * [mm] e^{-1})' [/mm] berechnen.

>  
> [mm](-y^{-2}[/mm] * [mm]e^x[/mm] * [mm]-x^{-2})[/mm] + [mm](-y^{-2}[/mm] * [mm]e^x[/mm] * [mm]x^{-1})[/mm]
>  ab hier weiß ich nicht mehr weiter...
>  ich glaube grad ich bin aufm völlig falschen dampfer, kann
> das sein?^^

Nö, ist doch prima, jetzt guck nur noch, was du geschickt ausklammern kannst, dann bist du fertig.

MfG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:08 Do 07.06.2007
Autor: Max80

hey!

also wenn das so weiter geht, dann werden das noch 90% in der prüfung :D

ok, weg vom größenwahn:

bei dem einsetzen dachte ich an:

[mm] \bruch{e^x}{-y^2} [/mm] => [mm] \bruch{e^0}{-2^2} [/mm] => [mm] \bruch{1}{-2*-2} [/mm]

hmm. also der fehler ist mir schon klar, aber warum ZUERST die potenz und DANN das minus???


warum ist es nur bei stetigen funktionen egal mit der reihenfolge? bzw. was gibt die reihenfolge an? etwa von rechts nach links wie von dir beschrieben? d.h. f(x,t,y) wäre nicht das gleiche wie f(t,y,x)??

zur letzten aufgabe.
ich hätte das dann so ausgeklammert:

[mm] (-y^{-2} [/mm] * [mm] e^x [/mm] * [mm] -x^{-2}) [/mm] + [mm] (-y^{-2} [/mm] * [mm] e^x [/mm] * [mm] x^{-1}) [/mm]

wird zu:

[mm] e^x(-y^-2(x^-2 [/mm] + [mm] x^{-1})) [/mm]

geht das so? ausklammern ist immer so ne sache... :)

ansonsten hab ich alles verstanden *freu*
danke!!!
gruß
bunti

Bezug
                                        
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Do 07.06.2007
Autor: Gonozal_IX


> hmm. also der fehler ist mir schon klar, aber warum ZUERST
> die potenz und DANN das minus???

Naja, da steht ja [mm]-y^2[/mm] und nicht [mm](-y)^2[/mm]
Wenn das Minus mit quadriert werden sollte, müsste da ne Klammer rum :-)

[mm](-y)^2 = (-y) * (-y) = y^2[/mm]

[mm]-y^2 = -(y*y)[/mm]

> [mm](-y^{-2}[/mm] * [mm]e^x[/mm] * [mm]-x^{-2})[/mm] + [mm](-y^{-2}[/mm] * [mm]e^x[/mm] * [mm]x^{-1})[/mm]
>  
> wird zu:
>  
> [mm]e^x(-y^-2(x^-2[/mm] + [mm]x^{-1}))[/mm]
>  
> geht das so? ausklammern ist immer so ne sache... :)

Ja und nein^^
Eigentlich machst du alles richtig, bis auf die Tatsache, daß es [mm]-x^{-2}[/mm] heissen müsste, aus Ästhetik-Gründen zieht man meistens das - von [mm]-y^{-2}[/mm] ganz vor die Klammer, so dass dann da stehen würde:

[mm]-e^xy^{-2}(x^{-1} - x^{-2})[/mm].

bzw. du kannst das - auch in die  Klammer [mm]}(x^{-1} - x^{-2})[/mm] reinziehen, dann würde da stehen:

[mm]e^xy^{-2}(x^{-2} - x^{-1})[/mm]

Gruß,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Do 07.06.2007
Autor: leduart

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo
Zur Quotientenregel
Die ist nichts anderes als die Produktregel, nur dass man die entstehenden Brüche schon auf den Hauptnenner gebracht hat! manchen Leuten fällt das nachträglich schwer. Ich mach das auch fast immer wie du. Also einfach nehmen, was man besser kann.
$\bruch{f}{g})'=(f*g^{-1})'=f'*g^{-1}-f*g^{-2}=\bruch{f')(g)-\bruch{f}{g^2}$

auf den HNg^2 gebracht hast du die sog. Quotientenregel, also ist es nix anderes als die Produktregel.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
ableitung mit 2 variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Mi 06.06.2007
Autor: Somebody

Du schreibst: "Im Mehrdimensionalen gibt es sowas wie f' nicht, bzw. es wird gar nicht so geschrieben."
Der Altmeister Henri Cartan, zum Beispiel, schreibt für die "Ableitung" einer Abbildung [mm]f[/mm] von einem Banachraum in einen Banachraum durchaus [mm]f'[/mm] --- und der [mm]\IR^2[/mm] ist doch wohl ein Banachraum, nicht?
Es ist aber natürlich (leider) wahr, dass sich in diesem Punkt (wie in nur allzu vielen ebenso trivialen Punkten) nicht alle Bücher / Autoren / Autoritäten einig sind. Ich frage mich gerade, was wohl die DIN Norm dazu sagt. --- Ach was! Die Mathematiker werden sich doch ihre liebgewordenen Gewohnheiten nicht von einer Industrienorm austreiben lassen.

Bezug
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