Äquivalenz zeigen Vektorräume. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum, $ [mm] U_1 [/mm] , ... , [mm] U_n [/mm] $ Untervektorräume von V.
Zu zeigen ist, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1) $ V = [mm] U_1 [/mm] +' ... +' [mm] U_n [/mm] $
2) Jedes $v [mm] \in [/mm] V$ ist eindeutig darstellbar als $v = [mm] u_1 [/mm] + ... + [mm] u_n$ [/mm] mit [mm] $u_i \in U_i$ [/mm] für $ i = 1, ... n$
3) $V = [mm] U_1 [/mm] + ... + [mm] U_n$ [/mm] und $ [mm] U_i \cap (U_{i+1} [/mm] + ... + [mm] U_n [/mm] ) = [mm] \{0\}$ [/mm] für alle $ i = 1, ..., n-1$.
+' soll das Zeichen für die direkte Summe sein, also das eingekreiste +. |
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WIe immer bin ich sehr dankbar für jede Hilfe.
Im Folgenden meine Versuche, soweit ich es geschafft habe:
1) -> 2)
Es ist $V = [mm] U_1 [/mm] + ... + [mm] U_n$ [/mm]
Es gibt also für jedes $ v \ in V$ mindestens eine Darstellung $ v = [mm] u_1 [/mm] + ... + [mm] u_n$ [/mm] mit [mm] $u_i \in U_i$ [/mm] für alle i.
Eine zweite Darstellung sehe so aus:
$v = [mm] u_1' [/mm] + ... + [mm] u_n'$ [/mm] , d.h.
$ 0 = v - v = [mm] (u_1 [/mm] - [mm] u_1') [/mm] + ... + [mm] (u_n [/mm] - [mm] u_n')$
[/mm]
also für alle i eindeutig wegen [mm] $u_i [/mm] - [mm] u_i' [/mm] = 0$.
2) -> 3):
?!
3) -> 1)
Zwei Bedingungen für die Direkte Summe müssen erfüllt sein:
1.) $ V = [mm] U_1 [/mm] + ... + [mm] U_n$ [/mm] (ist erfüllt)
2.) aus $ [mm] u_1 [/mm] + ... + [mm] u_n [/mm] = 0$ muss folgen: [mm] $u_1 [/mm] = ... = [mm] u_n [/mm] = 0$.
Seien [mm] $u_1 \in U_1$, [/mm] ..., [mm] $u_n \in U_n$ [/mm] gegeben und
$ [mm] k_1u_1 [/mm] + ... + [mm] k_nu_n [/mm] = 0$.
Sind NICHT alle k = 0, dann gibt es ein kleinstes [mm] $k_i$ [/mm] ungleich Null, sodass: [mm] $k_iu_i [/mm] = [mm] -k_{i+1}u_{i+1} [/mm] - ... - [mm] k_nu_n$.
[/mm]
Es folgt:
[mm] $U_1 \cap (U_{i+1} [/mm] + ... + [mm] U_n) \not [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] was ein Widerspruch ist zur Annahme. Also handelt es sich um die direkte Summe.
$k_
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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