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Hi,
ich habe folgende Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob der Lösungsweg stimmt...
Danke im Voraus für Eure Hilfe!
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: Wenn x [mm] \not\in [/mm][mm][a]_r[/mm] , dann gilt [mm][a]_r[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm][x]_r[/mm] = {}. |
Lösungsweg: Sei [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}. Dann gibt es ein i [mm] \in[/mm]M mit i [mm] \in[/mm][mm][a]_r[/mm] und i [mm]\in [x]_r[/mm]. Damit ist i [mm] \sim[/mm]a und i [mm] \sim[/mm]x. Aus der Tranisitivität folgt a [mm] \sim[/mm]x und damit [mm][a]_r = [x]_r[/mm]. Jedoch ist [mm][a]_r = [x]_r[/mm] ein Widerspruch zu [mm][a]_r \cap [x]_r \neq {}[/mm] {}, sodass [mm][a]_r \cap [x]_r = {}[/mm] {} gelten muss.
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funktion f: X x Y [mm]\to[/mm]Z. Zeigen Sie, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:
(x, x')|für alle y [mm] \in [/mm]Y gilt f(x, y) = f(x', y) |
Lösungsweg: Äquivalenzrelation:
i) reflexiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R x [mm]\wedge[/mm]y R y
ii) symmetrisch: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R y [mm]\wedge[/mm] y R x
iii) transitiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y \wedge z \in Z[/mm] gilt (x R y [mm]\wedge[/mm]y R z) [mm]\Rightarrow[/mm]x R z
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ptolemaios,
> Zeigen Sie: Wenn x [mm]\not\in [/mm][mm][a]_r[/mm] , dann gilt [mm][a]_r[/mm] [mm]\cap[/mm]
> [mm][x]_r[/mm] = {}.
>
>
> Lösungsweg: Sei [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}. Dann gibt es ein
> i [mm]\in[/mm]M mit i [mm]\in[/mm][mm][a]_r[/mm] und i [mm]\in [x]_r[/mm]. Damit ist i [mm]\sim[/mm]a
> und i [mm]\sim[/mm]x. Aus der Tranisitivität folgt a [mm]\sim[/mm]x
Da geht auch die Symmetrie ein. Bis hierhin gut!
> und damit [mm][a]_r = [x]_r[/mm].
Warum?
> Jedoch ist [mm][a]_r = [x]_r[/mm] ein
> Widerspruch zu [mm][a]_r \cap [x]_r \neq {}[/mm] {}
Nein.
Leite einen Widerspruch zur Voraussetzung [mm] $x\not\in[a]_r$ [/mm] her.
> Gegeben ist die Funktion f: X x Y [mm]\to[/mm]Z. Zeigen Sie, dass
> folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:
> (x, x')|für alle y [mm]\in [/mm]Y gilt f(x, y) = f(x', y)
>
>
> Lösungsweg: Äquivalenzrelation:
> i) reflexiv: [mm]\forall x \in X \red(\wedge y \in Y\red)[/mm] gilt x R x
> [mm]\red(\wedge[/mm]y R [mm] y$\red)$
[/mm]
> ii) symmetrisch: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R y
> [mm]\wedge[/mm] y R x
> iii) transitiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y \wedge z \in Z[/mm]
> gilt (x R y [mm]\wedge[/mm]y R z) [mm]\Rightarrow[/mm]x R z
Da hast du die Definition einer Äquivalenzrelation hingeschrieben. Zeigen sollst du, dass die gegebene Relation diese Eigenschaften hat.
Viele Grüße
Tobias
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Hi,
zur 1. Aufgabe: Aus der Transitivität folgt: a [mm]\sim[/mm]x [mm]\gdw[/mm]x [mm]\in[/mm] a. Dadurch gilt [mm][a]_r[/mm] = [mm][x]_r[/mm] und [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}.
Allerdings nehmen wir am Anfang an, dass x [mm]\not\in[/mm] [mm][a]_r[/mm], somit sind die beiden Äquivalenzklassen disjunkt und ihr Schnitt ist die leere Menge.
Ist das richtig?
Zur 2. Aufgabe: Leider weiß ich da nicht so recht wie ich rangehen soll? Kannst Du es mir an der Reflexivität erklären, dann kann ich den Rest sicherlich nachvollziehen?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zur 1. Aufgabe: Aus der Transitivität folgt: a [mm]\sim[/mm]x [mm]\gdw[/mm]x
> [mm]\in[/mm] [mm] \red[a\red{]_r}.
[/mm]
Damit hast du den Widerspruch zu $x [mm] \not\in [a]_r$.
[/mm]
> Dadurch gilt [mm][a]_r[/mm] = [mm][x]_r[/mm]
Warum? Nutzt du irgendein Resultat aus der Vorlesung?
> und [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}.
> Allerdings nehmen wir am Anfang an, dass x [mm]\not\in[/mm] [mm][a]_r[/mm],
> somit sind die beiden Äquivalenzklassen disjunkt und ihr
> Schnitt ist die leere Menge.
Warum?
> Zur 2. Aufgabe: Leider weiß ich da nicht so recht wie ich
> rangehen soll? Kannst Du es mir an der Reflexivität
> erklären, dann kann ich den Rest sicherlich
> nachvollziehen?
O.K. Sei [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist, dass x mit sich selbst in Relation steht, d.h. dass $f(x,y)=f(x,y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ gilt. Letzteres ist aber trivial.
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Zur 1. Aufgabe:
Ab dem Widerspruch zu x [mm]\not\in[/mm][mm][a]_r[/mm] weiß ich nicht weiter.
Man sieht ja durch die Transitivität, dass x [mm]\in[/mm] [mm][a]_r[/mm], wenn wir annehmen, dass [mm][a]_r \cap [x]_r \neq [/mm] {} ist. Dann ist man doch fertig, weil das Gegenteil die eigentliche Aufgabe [mm][a]_r \cap [x]_r =[/mm] {} für [mm]x \not\in [a]_r[/mm] somit wahr ist ist?
Zur 2. Aufgabe:
Reflexivität: x [mm]\sim[/mm]x gilt, denn: f(x, y) = f(x, y)
Symmetrie: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x gilt, denn: f(x) = f(y) => f(y) = f(x)
Transitivität: x [mm]\sim[/mm] y, y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm]x [mm]\sim[/mm] z gilt, denn: f(x) = f(y), f(y) = f(z) [mm]\Rightarrow[/mm]f(x) = f(z)
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zur 1. Aufgabe:
> Ab dem Widerspruch zu x [mm]\not\in[/mm][mm][a]_r[/mm] weiß ich nicht
> weiter.
Da bist du ja auch schon fertig!  Damit hast du einen Widerspruch aus der Annahme, der Schnitt sei nichtleer hergeleitet. Also war die Annahme falsch und der Schnitt ist leer.
> Man sieht ja durch die Transitivität, dass x [mm]\in[/mm] [mm][a]_r[/mm],
> wenn wir annehmen, dass [mm][a]_r \cap [x]_r \neq[/mm] {} ist. Dann
> ist man doch fertig, weil das Gegenteil die eigentliche
> Aufgabe [mm][a]_r \cap [x]_r =[/mm] {} für [mm]x \not\in [a]_r[/mm] somit
> wahr ist ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
> Zur 2. Aufgabe:
> Reflexivität: x [mm]\sim[/mm]x gilt, denn: f(x, y) = f(x, y)
Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$, genau.
> Symmetrie: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x gilt, denn: f(x)
> = f(y) => f(y) = f(x)
> Transitivität: x [mm]\sim[/mm] y, y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm]x [mm]\sim[/mm] z
> gilt, denn: f(x) = f(y), f(y) = f(z) [mm]\Rightarrow[/mm]f(x) =
> f(z)
An sich stimmt es, nur die Bezeichnungen sind unglücklich gewählt.
Etwa bei der Symmetrie ist von $f(x,y)=f(x',y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ausgehend zu folgern, dass auch $f(x',y)=f(x,y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ gilt. (Und das ist trivial.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 29.04.2012 | | Autor: | Ptolemaios |
Danke für Deine Hilfe!
Gruß Ptolemaios
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