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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mo 08.05.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei K ein Körper und A,B ∈ [mm] Mat_m(K). [/mm] Wir schreiben A ≈ B, falls es T ∈ GLm(K) mit B = T [mm] ·A·T^t [/mm] gibt. Zeigen Sie, dass ≈ eine Äquivalenzrelation auf [mm] Mat_m(K) [/mm] definiert.

Hallo,
ich wäre froh, es würde mir jemand sagen, ob das so korrekt ist. Danke!

A ähnlich B
wenn es B =  TAT^(-1)
Und T^(-1) = [mm] T^t [/mm]
wenn T [mm] \in O_m(K) [/mm]
Also: [mm] T^t [/mm] * T = E

Äquivalenzrelation, z.Z.:

1.) Reflexivität
z.Z.: A≈A

Ges.: T [mm] \in [/mm] Glm(K) mit
A = [mm] TAT^t [/mm]
E = T = T^-1 = [mm] T^t [/mm]
daraus folgt: es existiert ein T [mm] \in [/mm] Glm(K)

2.) Symmetrie

z.Z.: A≈B -> B≈A

B = [mm] TAT^t [/mm]
[mm] T^t [/mm] * BT = [mm] (T^t*T) [/mm] A [mm] (T^t*T) [/mm]
[mm] T^t [/mm] * BT= A


3.) Transitivität

z.Z.: A≈B,  B≈C -> A≈C

B = [mm] TAT^t [/mm]
C = [mm] SBS^t [/mm]

C = [mm] S(TAT^t)S^t [/mm] = [mm] (ST)A(T^t*S^t) [/mm] = [mm] (ST)A(ST)^t [/mm] = [mm] MAM^t [/mm]
-> Es existiert eine Matrix  M [mm] \in [/mm] Glm(K) mit C = [mm] MAM^t [/mm]
-> A≈C

Danke !!

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Di 09.05.2017
Autor: HJKweseleit

Alles korrekt.

Bei 2. könntest du evtl. noch anfügen: "Weil [mm] T^t [/mm] T=E".

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Di 09.05.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


> Bei 2. könntest du evtl. noch anfügen: "Weil [mm]T^t[/mm] T=E".

Genau das benutzt mariella22. Aber warum sollte das gelten? Wir wissen nur, dass T invertierbar ist.


Bei 2. muss man also anders argumentieren:

Wenn [mm] $B=TAT^t$ [/mm] für eine invertierbare Matrix T gilt, ist auch [mm] $T^t$ [/mm] invertierbar und es folgt [mm] $T^{-1}B(T^t)^{-1}=A$. [/mm]

Nun kann man damit argumentieren, dass [mm] $T^{-1}$ [/mm] invertierbar ist und [mm] $(T^t)^{-1}=(T^{-1})^t$ [/mm] gilt (wegen [mm] $T^t*(T^{-1})^t=(T^{-1}*T)^t=E^t=E$). [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Di 09.05.2017
Autor: mariella22

Vielen Dank für euere Hilfe!

Bezug
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