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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - antikommutative Produktregel
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antikommutative Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Fr 03.01.2014
Autor: nbt

Aufgabe
Sei $V$ ein [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraum, $\omega\in\Lambda^pV'$ [/mm] eine alternierende Multilinearform mit [mm] $p\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $v\in [/mm] V$. Dann definieren wir
[mm] $i_v\omega:V^{p-1}\to\mathbb{K},i_v\omega(w_1,\cdots,w_{p-1})=\omega(v,w_1,\cdots,w_{p-1})$. [/mm]
Zeigen Sie für [mm] $v\in V,\omega\in\Lambda^pV'$ [/mm] und [mm] $\chi\in\Lambda^qV'$: [/mm]
[mm] $i_v(\omega\wedge\chi)=(i_v\omega)\wedge\chi+(-1)^p\omega\wedge(i_v\chi)$ [/mm]
(antikommutative Produktregel)

Hi,
das Dachprodukt zwischen zwei alternierenden Multilinearformen vom Grad $p$ bzw. $q$ ist folgendermaßen definiert:
[mm] $\omega\wedge\chi(v_1,\cdots v_{p+q})=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\text{sign}(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\chi(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+1)})$, [/mm]
wobei [mm] $S_{p+q}$ [/mm] die Menge aller Permutationen von [mm] $\{1,\cdots,p+q\}\to\{1,\cdots,p+q\}$ [/mm] ist.
Dieses Dachprodukt ist wieder eine alternierende Multilinearform. Sie ist insbesondere bilinear.
So, dann nenn ich $v$ erstmal in [mm] $v_0$ [/mm] um.
[mm] $i_{v_0}(\omega\wedge\chi)(v_1,\cdots,v_{p+q})=$ [/mm]
[mm] $=(\omega\wedge\chi)(v_0,\cdots,v_{p+q-1})=$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\text{sign}(\sigma)\omega(\cdots$ [/mm]
So wie gehts das weiter? Von welchem Grad sind die einzelnen Multilinearformen [mm] $\omega,\chi$? [/mm] Denn durch das Einsetzen von [mm] $v_0$ [/mm] in die Multilinearform [mm] $(\omega\wedge\chi)$ [/mm] ist ja ein Grade "verloren" gegangen; sie ist vom Grad $(p+q-1)$.

Vielen Dank für Anregungen,
nbt

        
Bezug
antikommutative Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Sa 04.01.2014
Autor: hippias


> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]\mathbb{K}[/mm]-Vektorraum, [mm]\omega\in\Lambda^pV'[/mm] eine
> alternierende Multilinearform mit [mm]p\in\mathbb{N}[/mm] und [mm]v\in V[/mm].
> Dann definieren wir
> [mm]i_v\omega:V^{p-1}\to\mathbb{K},i_v\omega(w_1,\cdots,w_{p-1})=\omega(v,w_1,\cdots,w_{p-1})[/mm].
>  Zeigen Sie für [mm]v\in V,\omega\in\Lambda^pV'[/mm] und
> [mm]\chi\in\Lambda^qV'[/mm]:
>  
> [mm]i_v(\omega\wedge\chi)=(i_v\omega)\wedge\chi+(-1)^p\omega\wedge(i_v\chi)[/mm]
>  (antikommutative Produktregel)
>  Hi,
>  das Dachprodukt zwischen zwei alternierenden
> Multilinearformen vom Grad [mm]p[/mm] bzw. [mm]q[/mm] ist folgendermaßen
> definiert:
>  [mm]\omega\wedge\chi(v_1,\cdots v_{p+q})=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\text{sign}(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\chi(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+1)})[/mm],
>  
> wobei [mm]S_{p+q}[/mm] die Menge aller Permutationen von
> [mm]\{1,\cdots,p+q\}\to\{1,\cdots,p+q\}[/mm] ist.
> Dieses Dachprodukt ist wieder eine alternierende
> Multilinearform. Sie ist insbesondere bilinear.
>  So, dann nenn ich [mm]v[/mm] erstmal in [mm]v_0[/mm] um.
>  [mm]i_{v_0}(\omega\wedge\chi)(v_1,\cdots,v_{p+q})=[/mm]
>  [mm]=(\omega\wedge\chi)(v_0,\cdots,v_{p+q-1})=[/mm]
>  [mm]=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\text{sign}(\sigma)\omega(\cdots[/mm]

Ich glaube, Dir ist hier ein kleiner Fehler unterlaufen:
[mm] $(i_{v_0}(\omega\wedge\chi))(v_1,\cdots,v_{p+q-1})= (\omega\wedge\chi)(v_0,v_1,\cdots,v_{p+q-1})$ [/mm] nach Definition von [mm] $i_{v_0}$. $\omega\wedge\chi$ [/mm] operiert auf einem $p+q$ Tupel, waehrend [mm] $(i_{v_0}(\omega\wedge\chi))$ [/mm] auf einem $p+q-1$-Tupel operiert. Jetzt die Definition des [mm] $\wedge$-Produktes [/mm] anwenden und so umformen, dass die gewuenschte rechte Seite herauskommt. Sollte sich dies als schwierig erweisen, koenntest Du auch die rechte Seite aufloesen und mit der aufgeloesten linken Seite versuchen zu vergleichen.

>  
> So wie gehts das weiter? Von welchem Grad sind die
> einzelnen Multilinearformen [mm]\omega,\chi[/mm]? Denn durch das
> Einsetzen von [mm]v_0[/mm] in die Multilinearform [mm](\omega\wedge\chi)[/mm]
> ist ja ein Grade "verloren" gegangen; sie ist vom Grad
> [mm](p+q-1)[/mm].
>
> Vielen Dank für Anregungen,
>  nbt


Bezug
                
Bezug
antikommutative Produktregel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:25 So 05.01.2014
Autor: nbt

Hi,
danke für die Antwort.
Für mich ist genau das Problem, wie ich die Definition des Dachprodukts für Multilinearformen anwende, wenn davor die Einsetzfunktion angewendet wurde.
Also [mm] $\omega\in\Lambda^pV',\chi\in\Lambda^qV'$, [/mm] dann ist
[mm] $\omega\wedge\chi\in\Lambda^{p+q}V'$. [/mm] Wenn ich die Einsetzoperation anwende wird der Grad um eins "verjüngt":
[mm] $i_{v_0}(\omega\wedge\chi)(w_1,\cdots,w_{p+q})=(\omega\wedge\chi)(v_0,w_1,\cdots,w_{p+q-1})\in\Lambda^{p+q-1}V'$. [/mm]
Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich die Definition des Dachprodukts genau anwenden muss. Denn [mm] $\omega$ [/mm] nimmt sich immer noch Vektoren aus [mm] $V^p$ [/mm] und [mm] $\chi$ [/mm] nimmt sich immer noch Vektoren aus [mm] $V^q$, [/mm] es stehen aber in [mm] $\omega\wedge\chi$ [/mm] nur $p+q-1$ variable Vektoren. Ich kanns mir nur folgendermaßen vorstellen:
[mm] $(\omega\wedge\chi)(v_0,w_1,\cdots,w_{p+q-1})=\frac{1}{p!q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\text{sign}(\sigma)\omega(v_{\sigma(0)},w_{\sigma(1)},\cdots,w_{\sigma(p-1)})\chi(w_{\sigma(p)},\cdots,w_{\sigma(p+q-1})$ [/mm]

Herzlichen Dank für die Hilfe,
nbt

Bezug
                        
Bezug
antikommutative Produktregel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 07.01.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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