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gemischt-ganzzahlige Lin. Opt.: Korrektur
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 21:49 Do 24/03/2016
Author: Eskrima

Aufgabe
Ein Energiekonzern betreibt sechs Kraftwerke und muss 10 Städte mit Strom versorgen. Stadt s benötigt insgesamt Bs Einheiten Strom, Kraftwerk k kann insg. maximal  Pk  Einheiten liefern. Versorgt Kraftwerk k die Stadt s, so müssen mindestens Lk Einheiten abgenommen werden. Pro Stromeinheit entstehen Kosten in Höhe von c_sk. Jede Stadt muss von mindestens 2 versch. Kraftwerken versorgt werden.
Wie können ALLE Städte möglichst kostengünstig versorgt werden?
Formulieren Sie dieses Problem als gemischt-ganzzahliges lineares Problem.

Hallo ihr Lieben!
Ich kenne mich nicht so aus hier und hoffe der Thread ist richtig gestellt, sonst gerne löschen oder lieber noch einen Hinweis geben :-)
Ich schreibe eine Klausur in kombinatorischer Optimierung und habe mich mal daran versucht die o.g. Aufgabe zu lösen. Mich würde freuen, wenn sich wer dazu bereit erklärt, mir Aussagen bezüglich meiner Richtigkeit und vor allem der Sinnhaftigkeit meiner Variablen-Wahl zu geben.
Vielleicht ist es auch ein vollkommen falscher Ansatz, aber wie gesagt, da bedarf es für mich einer Fachmeinung..

Meine bisherigen Überlegungen:

\text{zuerst habe ich die binäre Variable y eingeführt mit } \\ y_s_k=\left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{wenn Stadt s von Kraftwerk k beliefert wird } \\ 0 & \text{sonst}\\ \end{array} \text{zusätzlich noch die ganzz. Variable, welche die bezogenen Einheiten Strom von Kraftwerk k an Stadt s angibt } \\ = x_s_k \text{Nun mein eigentliches LP : } \\ MIN \sum \limits_{s=1}^{10} \sum \limits_{k=1}^{6} y_s_k *(x_s_k * c_s_k) s.t \sum \limits_{k=1}^{6} y_s_k * x_s_k = B_s (s \in (1,...,10) \sum \limits_{S=1}^{10} y_s_k * x_s_k \le P_k (k \in (1,...,6) y_s_k * x_s_k \ge L_k (s \in (1,...,10) (k \in (1,...,6) \sum \limits_{k=1}^{6} y_s_k \ge 2 (s \in (1,...,10) mit y_s_k \in (0,1) , x_s_k \in \mathds{N} ,

Ich hoffe das Format ist okay. Habe mich noch nicht so viel mit Latex auseinander gesetzt..
Liebe Grüße!
Musican

        
Bezug
gemischt-ganzzahlige Lin. Opt.: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:44 Fr 25/03/2016
Author: hippias

Ich kenne mich mit dem Thema nicht aus. Aber ich finde Deine Aufarbeitung der Problemstellung sehr überzeugend.

Meiner Ansicht nach könntest Du die [mm] $y_{s,k}$ [/mm] überall streichen bis auf in der letzten Bedingung, wenn [mm] $x_{s,k}=0$ [/mm] gesetzt wird, falls Stadt $s$ nicht von Kraftwerk $k$ beliefert wird.

Ich nehme an, dass Deine Zielfunktion (=Summe der Kosten aller Städte) so gemeint ist, wie Du es angegeben hast, doch finde ich, dass dies aus der Aufgabenstellung nicht besonders deutlich hervorgeht.

Schliesslich finde ich die Schreibweise wie [mm] $(1,\dlots, [/mm] 6)$ für die Menge  [mm] $\{1,\ldots, 6\}$ [/mm] nicht gut, aber wenn Du es so gelernt hast, dann solltest Du dabei bleiben.


Bezug
                
Bezug
gemischt-ganzzahlige Lin. Opt.: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 12:49 Fr 25/03/2016
Author: Eskrima

Vielen Dank für dein Feedback, Hippias!

ich habe nicht, das Gefühl, dass ich die [mm] y_s_k [/mm] überall streichen kann, aber was mir auffiel ist, dass mein ganzes Modell gar nicht linear ist, da ich die [mm] y_s_k [/mm] mit den [mm] x_s_k [/mm] multipliziere. Bin mir aber nicht ganz sicher, wie ich die Restriktionen linearisiert kriege.

Meine idee wäre nun statt

\sum \limits_{k=1}^{6} y_s_k * x_s_k = B_s (s \in (1,...,10)


\sum \limits_{k=1}^{6} x_s_k = B_s *y_s_k (s \in (1,...,10)

zu schreiben, aber ich kann mich auch irren.

Vielleicht hat ja noch jemand anders eine Idee dazu.

Aber danke dir schonmal !

Bezug
                        
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gemischt-ganzzahlige Lin. Opt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:20 So 27/03/2016
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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