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geometrische Reihe: Schnecke: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Di 21.06.2005
Autor: cloooned

Guten Tag

ich mache gerade Übungsaufgaben für meine Matura und generell bei Folgen und Reihen stosse ich auf ein unüberwindbares Hindernis. Mir fehlt generell die Vorstellungskraft aus einer für bspw. eines Dreickes giltenden Formel eine allgemeine zu formulieren die in Abhängigkeit des einen Dreiecks ausgerechnet werden können.

Nun konkret habe ich hier 14 in Schneckenform angereihte 3ecke, von aussen nach innen, welches jeweils die gegenüber der Grundkante liegende Seite die Grundkante für das nächste Dreieck bildet.

[]http://home.mathematik.uni-freiburg.de/didaktik/bilder/schnecke.jpg

ca so :p

Nun habe ich alle Seiten und alle Winkel des ersten 3-ecks und muss die Fläche des ganzen Gebildes ausrechnen.
Nun habe ich zwei Formeln, einerseits eine, die die gegenüberliegende Seite berechnet und eine andere die dann die Fläche ausrechnet. Manuell wüsste ich diese Aufgabe zu lösen, doch es gibt andere die sind von Hand kaum zu lösen weil sie zu gross sind und die Zeit fehlt, wie auch hier.

[mm] \bruch{c * sin(b)}{sin(y)} [/mm] für die gegenüber Liegende Seite und

[mm] \bruch{b * c * sin(a)}{2} [/mm] für die Fläche des aktuellen 3-ecks

Nun müsste ich aus diesen Angaben ein q berechnen können um damit eine geometrische Reihe aufstellen zu können, um dann die Summenformeln einzusetzen.

Das Problem bei der Flächenberechnung besteht darin, dass sich sowohl b wie auch c verändern. d.h. c ist die Grundkante des 1. 3ecks und b die gegenüberliegende Seite, im folgenden 3eck bildende Grundkante.

Ich hoffe, dass meine Aufgabestellung genügend ausformuliert ist und ihr nun wisst was ich damit meine und mir weiterhelfen könnt. Wahrscheinlich denkt ihr, dass mir ein Grundkurs im Thema Folgen und Reihen nicht schaden könnte, das stimmt auch, ich habe hier tonnenweise von Theorie und Aufgaben rumliegen aber schon bei bisschen schwereren Sachen blicke ich sofort nicht mehr durch, hab auf dem Bereich wie n schwarzes Loch...

Vielen Dank für die Mühe!

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
geometrische Reihe: Schnecke: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mi 22.06.2005
Autor: TranVanLuu

Hallo clooned und

[willkommenmr]
Hab gerade nicht ganz so viel Zeit, mir um die Reihe Gedanken zu machen, aber eine Hilfe hätte ich hier:

Ich nehme mal an, die Winkel der Dreiecke sind gleich, sonst lässt sich das glaub ich gar nicht handhaben. Ich habe jetzt einfach mal das nächstkleinere Dreieck in das größere Dreieck hineingelegt und die Seiten mit a',b' und c' bezeichnet, wobei halt b' und c' jeweils ein Teil von b bzw.c sind und a' parallel zu a steht. (Leider bin ich nicht in der Lage, ein Bild dazu hochzuladen - keine Ahnung, wie das geht)  Dann gilt wegen der Strahlensätze folgende Beziehung:

[mm] \bruch{b'}{b}=\bruch{c'}{c} [/mm]

wobei wir ja noch wissen, dass die Hypothenuse c' des kleinen Dreieckes gleich der Kathete b des großen ist:

[mm] \bruch{b'}{b}=\bruch{b}{c} \gdw [/mm]  b' = [mm] \bruch{b^2}{c} [/mm]

für das darauf folgende Dreieck, dass man dann mit a'', b'',c'' bezeichnen könnte, gilt dann in ähnlicher weise

[mm] \bruch{b''}{b'}=\bruch{c''}{c'} \gdw [/mm]  b'' = [mm] \bruch{b'^2}{b} [/mm]

.....

so hast du jetzt quasi eine rekursive Formel für [mm] b^{n} [/mm] und eingentlich auch für [mm] c^{n}. [/mm] Also kannst du jeweils die Fläche berechnen.

Hoffe, das war verständlich und du kommst damit schonmal etwas weiter. Vllt schaffe ich es nachher nochmal, vorbeizuschauen, oder wer ander kann dir helfen, falls es noch Probleme gibt.

Auf jeden Fall viel Erfolg für deine Matura

Gruß

Tran

Bezug
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