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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - implizite Funktionensatz
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implizite Funktionensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Fr 04.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Sei F(t, x(t), x'(t), x''(t),.., [mm] x^{(k)} [/mm] (t))=0 mit x(t) [mm] \in C^{k} [/mm] (J,U) mit J [mm] \subseteq \matbb{R}, [/mm] U [mm] \subset \mathbb{R}^{d} [/mm] die allgemeine Form einer Differentialgleichung. Mit F [mm] \in [/mm] C(V, [mm] \mathbb{R}^d) [/mm] mit V [mm] \subset \mathbb{R}^{k+2} [/mm]
Nun ist das ja die implizite Form.
Im Skript steht:
Nach den impliziten Funktionen Satz, kann ich dies in die explizite Form - also aufgelöst nach der höchsten Ableitung schreiben- in einer Umgebung um (t,y) [mm] \in [/mm] V wenn  [mm] \frac{\partial F}{\partial y_k} [/mm] (t,y) [mm] \not=0. [/mm]




Hallo
Meine Frage:
Wie wende ich da den impliziten Funktionensatz genau an?
Müsste das nicht eine Matrix ergeben als Jacobimatrix anstelle einer partiellen Ableitung?

F möchte ich umschreiben zu [mm] x^{(k)} [/mm] = G(t, x(t), [mm] x'(t),..,x^{(k-1)} [/mm] (t))
F: (t,x(t),..., [mm] x^{(k-1)}(t), x^{(k)} [/mm] (t)) [mm] \rightarrow (F_1((t,..., x^{(k-1)}(t), x^{(k)} (t))),...,F_d((t,..., x^{k-1}(t), x^{k} [/mm] (t)))).
Ist nun nicht in der Schreibweise des folgenden untenstehenden Satzes [mm] y=x^{(k)} [/mm] und x=(t, [mm] x(t),..,x^{(k-1)}(t)) [/mm] ?
Das würde nämlich nicht mit der Notation im Skript zusammenpassen!

Allgemein der Satz über implizite Funktionen:
Seien U [mm] \subseteq \mathbb{R}^m [/mm] und V [mm] \subseteq \mathbb{R}^n [/mm] offene Mengen und

    [mm] F\colon [/mm] U [mm] \times\, [/mm] V [mm] \to \mathbb{R}^n,\quad (x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n) \mapsto F(x,y)=(\,F_1(x,y), \dots,F_n(x,y)\,) [/mm]

eine stetig differenzierbare Abbildung.
Erfüllt [mm] (x_0, y_0) \in [/mm] U [mm] \times\ [/mm] V die Gleichung [mm] F(x_0, y_0)=0 [/mm] und ist die Matrix  [mm] \tfrac{\partial F}{\partial y} [/mm] im Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] invertierbar, so existieren offene Umgebungen [mm] U_0 \subseteq [/mm] U von [mm] x_0 [/mm] und [mm] V_0 \subseteq [/mm] V von [mm] y_0 [/mm] sowie eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung

    [mm] f\colon U_0 \to V_0 [/mm]

mit [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] so, dass für alle x [mm] \in U_0, [/mm] y [mm] \in V_0 [/mm] gilt:

    F(x,y) = 0 [mm] \;\Leftrightarrow\; [/mm] y = f(x).

        
Bezug
implizite Funktionensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Sa 05.03.2016
Autor: sissile

Hallo,
Ich möchte die Fälligkeit gerne noch paar Tage hinauszögern.
Vlt. hat ja noch wer eine Idee!

Bezug
        
Bezug
implizite Funktionensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mo 07.03.2016
Autor: fred97


> Sei F(t, x(t), x'(t), x''(t),.., [mm]x^{(k)}[/mm] (t))=0 mit x(t)
> [mm]\in C^{k}[/mm] (J,U) mit J [mm]\subseteq \matbb{R},[/mm] U [mm]\subset \mathbb{R}^{d}[/mm]
> die allgemeine Form einer Differentialgleichung. Mit F [mm]\in[/mm]
> C(V, [mm]\mathbb{R}^d)[/mm] mit V [mm]\subset \mathbb{R}^{k+2}[/mm]
>  Nun ist
> das ja die implizite Form.
>  Im Skript steht:
>  Nach den impliziten Funktionen Satz, kann ich dies in die
> explizite Form - also aufgelöst nach der höchsten
> Ableitung schreiben- in einer Umgebung um (t,y) [mm]\in[/mm] V wenn  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y_k}[/mm] (t,y) [mm]\not=0.[/mm]


Wenn das so in Deinem Skriprt steht, so ist das dummes Zeug ! Ich mach Dir ein Beispiel:

Wir nehmen die Funktion [mm] f(x,y):=x+ye^y. [/mm] Es ist [mm] f_y(x,y)=e^y+ye^y, [/mm] also

    f(0,0)=0 und [mm] f_y(0,0)=1 \ne [/mm] 0.

Der Satz über implizit definierte Funktionen sagt nun: es gibt eine Umgebung U von 0 und eine Funktion $g:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit

   g(0)=0 und f(x,g(x))=0  für alle x [mm] \in [/mm] U.

Durch die Gleichung [mm] x+ye^y=0 [/mm] wird also implizit einen Funktion y(x)=g(x) definiert. Aber explizit lässt sich diese Gleichung nicht nach y in der Form y(x)= .... auflösen.

FRED

>  
>
>
> Hallo
>  Meine Frage:
>  Wie wende ich da den impliziten Funktionensatz genau an?
>  Müsste das nicht eine Matrix ergeben als Jacobimatrix
> anstelle einer partiellen Ableitung?
>  
> F möchte ich umschreiben zu [mm]x^{(k)}[/mm] = G(t, x(t),
> [mm]x'(t),..,x^{(k-1)}[/mm] (t))
> F: (t,x(t),..., [mm]x^{(k-1)}(t), x^{(k)}[/mm] (t)) [mm]\rightarrow (F_1((t,..., x^{(k-1)}(t), x^{(k)} (t))),...,F_d((t,..., x^{k-1}(t), x^{k}[/mm]
> (t)))).
>  Ist nun nicht in der Schreibweise des folgenden
> untenstehenden Satzes [mm]y=x^{(k)}[/mm] und x=(t,
> [mm]x(t),..,x^{(k-1)}(t))[/mm] ?
>  Das würde nämlich nicht mit der Notation im Skript
> zusammenpassen!
>  
> Allgemein der Satz über implizite Funktionen:
>  Seien U [mm]\subseteq \mathbb{R}^m[/mm] und V [mm]\subseteq \mathbb{R}^n[/mm]
> offene Mengen und
>  
> [mm]F\colon[/mm] U [mm]\times\,[/mm] V [mm]\to \mathbb{R}^n,\quad (x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n) \mapsto F(x,y)=(\,F_1(x,y), \dots,F_n(x,y)\,)[/mm]
>  
> eine stetig differenzierbare Abbildung.
> Erfüllt [mm](x_0, y_0) \in[/mm] U [mm]\times\[/mm] V die Gleichung [mm]F(x_0, y_0)=0[/mm]
> und ist die Matrix  [mm]\tfrac{\partial F}{\partial y}[/mm] im Punkt
> [mm](x_0,y_0)[/mm] invertierbar, so existieren offene Umgebungen [mm]U_0 \subseteq[/mm]
> U von [mm]x_0[/mm] und [mm]V_0 \subseteq[/mm] V von [mm]y_0[/mm] sowie eine eindeutige
> stetig differenzierbare Abbildung
>  
> [mm]f\colon U_0 \to V_0[/mm]
>  
> mit [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]y_0[/mm] so, dass für alle x [mm]\in U_0,[/mm] y [mm]\in V_0[/mm]
> gilt:
>  
> F(x,y) = 0 [mm]\;\Leftrightarrow\;[/mm] y = f(x).  


Bezug
                
Bezug
implizite Funktionensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 So 13.03.2016
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deine Antwort.
Ich glaube es ging bei meiner Übersetzung etwas schief..

Der Originalton:
Hence we will assume that one can solve F for the highest derivative, resulting in a differential equation of the form
[mm] x^{(k)}= [/mm] f(t, [mm] x,x^{(1)}, ...,x^{(k-1)}). [/mm]
By the impicit function theorem this can be done at least locally near some point (t,y) [mm] \in [/mm] U if the partial derivative with respect to the highest derivative does not vanish at that point, [mm] \frac{\partial F}{\partial y_k} [/mm] (t,y) [mm] \not= [/mm] 0. This is the type of deifferential equations we will condiser from now on.

http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf S.17 ganz unten und intern S.6 unten.
Ist da im Skript noch immer ein Fehler?

Bezug
                        
Bezug
implizite Funktionensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 So 13.03.2016
Autor: fred97

die explizite auflösbarkeit nach der höchsten Ableitung hat man damit aber nicht

fred

Bezug
                                
Bezug
implizite Funktionensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 So 13.03.2016
Autor: sissile

Aber das wird doch in der Textstelle behauptet oder trügen mich meine Englischkenntisse?
> $ [mm] x^{(k)}= [/mm] $ f(t, $ [mm] x,x^{(1)}, ...,x^{(k-1)}). [/mm] $
> By the impicit function theorem this can be done at least locally near some point..

Bezug
                                        
Bezug
implizite Funktionensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Mo 14.03.2016
Autor: fred97


> Aber das wird doch in der Textstelle behauptet

Ja

> oder trügen
> mich meine Englischkenntisse?

Nein

FRED


>  > [mm]x^{(k)}=[/mm] f(t, [mm]x,x^{(1)}, ...,x^{(k-1)}).[/mm]

>  > By the

> impicit function theorem this can be done at least locally
> near some point..


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