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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Sa 17.01.2015 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \int_{\gamma} tan(z)\, [/mm] dz , wobei [mm] \gamma [/mm] die Strecke von n(i-1) nach n(i+1) für ein gegebenes n>0 ist. |
Hallo,
ich versuche mich schon fast den ganzen Tag an diesem Integral...
Ich habe schon verschiedene Ansätze probiert. Klar ist mir, dass der Tangens nur einfache Pole hat, und zwar bei [mm] \pi/2+k*\pi, [/mm] k [mm] \in \IZ. [/mm] Ich habe versucht, die Strecke zu parametrisieren, und zwar mit [mm] \gamma(t)= [/mm] -n+t+in für t [mm] \in [/mm] [0,2n]. Dann müsste ich ja [mm] \int_{0}^{2n} tan(-n+t+in)\, [/mm] dt berechnen, was mich jetzt nicht so wirklich weiterbringt... eine andere Idee war es, einen geschlossenen Pfad zu nehmen, der einerseits aus obiger Strecke besteht und dann daran einen Halbkreis um ni mit Radius n anzuschließen, weil das gesamte Integral ja dann =0 wäre, da geschlossener Pfad. Auch hier kam ich nicht weiter. Daher, danke für jede Hilfe schon im Voraus! Lieben Gruß
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 So 18.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
bestimme eine Stammfunktion vom Tangens auf seinem Definitionsbereich, dann ersparst du dir die mühsame Integration.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 18.01.2015 | | Autor: | kai1992 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Also wenn ich tan(z) = [mm] \bruch{\sin(z)}{\cos(z)} [/mm] in [mm] \IC \setminus [/mm] { [mm] \pi/2+k*\pi, k\in \IZ [/mm] } betrachte, also dort wo er definiert ist, ist eine Stammfunktion [mm] -Ln(\cos(z)), [/mm] oder? Und nach Newton-Leibniz wäre das Integral dann einfach [mm] -Ln(\cos(n(i+1)))+Ln(\cos(n(i-1))) [/mm] ? Gibt das hier keine Probleme mit der Mehrwertigkeit des komplexen Logarithmus oder muss ich mich hier irgendwie (z.B. auf den Hauptzweig) festlegen?
Danke schon mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 19.01.2015 | | Autor: | kai1992 |
Niemand, der das ganz kurz verifizieren oder ggf. korrigieren könnte? Wäre wirklich sehr nett! Danke!
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Hallo kai1992,
> Hallo,
> vielen Dank für die Antwort. Also wenn ich tan(z) =
> [mm]\bruch{\sin(z)}{\cos(z)}[/mm] in [mm]\IC \setminus[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pi/2+k*\pi, k\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } betrachte, also dort wo er definiert ist, ist eine
> Stammfunktion [mm]-Ln(\cos(z)),[/mm] oder? Und nach Newton-Leibniz
> wäre das Integral dann einfach
> [mm]-Ln(\cos(n(i+1)))+Ln(\cos(n(i-1)))[/mm] ? Gibt das hier keine
> Probleme mit der Mehrwertigkeit des komplexen Logarithmus
> oder muss ich mich hier irgendwie (z.B. auf den Hauptzweig)
> festlegen?
Entweder festlegen oder ganz allgemein hinschreiben.
> Danke schon mal
Gruss
MathePower
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