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majorisierte Konvergenz: Majorante
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 20:52 Mi 05/07/2017
Author: Hias

Aufgabe
Hallo, ich möchte begründen, dass ich den Limes
[mm] $\lim_{\alpha\to1}$ [/mm] in das Integral [mm] $\int_0^x g(\xi)(x-\xi)^{1-\alpha}d\xi$ [/mm] ziehen kann. Des weiteren weiß ich über die Funktion $g$, dass diese in [mm] $L^1[0,b]$ [/mm] liegt und [mm] $x\in [/mm] (0,b)$ ist.



Ich hätte den Satz der majorisierten Konvergenz verwenden wollen und für jedes x die Majorante [mm] $|g(\cdot)(x-\cdot)^{1-\alpha}|$ [/mm] verwendet. Begründet hätte ich dies folgendermaßen: unter Verwendung von [mm] $|x^c|=((x^c)^2)^\frac{1}{2}=x^{c\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=x^{2\cdot\frac{1}{2}\cdot c}=|x|^c$ [/mm] erhalte ich
[mm] $$\int_0^b|g(\xi)(x-\xi)^{1-\alpha}|d\xi=\int_0^x|g(\xi)(x-\xi)^{1-\alpha}|d\xi+\int _x^b|g(\xi)(x-\xi)^{1-\alpha}|d\xi=$$$$\int_0^x|g(\xi)|(x-\xi)^{1-\alpha}|d\xi+\int _x^b|g(\xi)|[-(x-\xi)]^{1-\alpha}d\xi$$ [/mm]
[mm] $(x-\xi)^{1-\alpha}$ [/mm] bzw. [mm] $-(x-\xi)^{1-\alpha}$ [/mm] sind auf ihren Intervallen reellwertige und stetige Funktionen, wodurch das Supremum endlich ist man folgendermaßen abschätzen kann
[mm] $$\int_0^b|g(\xi)(x-\xi)^{1-\alpha}|d\xi\leq \max\{\sup_{\eta\in [0,x]}(x-\eta)^{1-\alpha},\sup_{\eta\in [x,b]}-(x-\eta)^{1-\alpha}\}\int_0^b|\underbrace{g(\xi)}_{\in L^1[0,b]}|d\xi<\infty.$$ [/mm]

Meine Frage ist nun ob ich punktweise Majoranten angeben kann, ich hätte nach einer Version des Satzes der majorisierten Konvergenz gesucht, der eine Aussage darüber macht, wenn der Integrand von einem Parameter abhängt, habe aber bisher nichts gefunden. Eventuell kennt jemand eine solche Version des Satzes  und könnte mir eine Referenz geben.


Vielen Dank im Voraus
Hias

        
Bezug
majorisierte Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:20 Fr 07/07/2017
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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