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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Fr 08.11.2013 | | Autor: | luise1 |
| Aufgabe | Sei [mm] Omega=\IR
[/mm]
M={[a,b] [mm] \cap \IQ, [/mm] a [mm] \le [/mm] b in [mm] \IQ [/mm] }
a)Geben Sie die von M erzeugte Sigma-Algebra Sigma(M) in [mm] \IR [/mm] an.
b)Beschreiben Sie möglichst einfach welche Funktionen f: [mm] \IR \to [/mm] [-unendlich,unedlich] Sigma(M) messbar sin. |
Hallo :)
also in Sigma(M) müsste doch Omega, die Menge selbst also [mm] \IQ [/mm] ,Omega \ M und Omega [mm] \Cup [/mm] M enthalten sein oder? M enthält doch alle Intervalle [mm] [\bruch{1}{n}, \bruch{1}{m} [/mm] ] wobei n, [mm] \le [/mm] m [mm] \in \IN. [/mm] Das könnte ja dann so fast alles sein :D. Irgendwie habe ich das Gefühl ich bin auf dem Holzweg. Wer hilft mir da vielleicht weiter?
ok und zu der b) lautet eine Defintion, dass wenn M eine Sigma Algebra in Omega ist, dass dann eine Funktion f: Omega [mm] \to [/mm] [-unedlich,unedlich] messbar ist, wenn jede Subníveaumenge auch in M liegt { x [mm] \in [/mm] Omega f(x) [mm] \le [/mm] y } [mm] \in [/mm] M für alle y [mm] \in \IR
[/mm]
mmhh so eine Funktion fällt mir nicht wirklich dazu ein.
Liebe Grüße
Luise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Fr 08.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]Omega=\IR[/mm]
Soll es so lauten:
[mm] M=\{[a,b] \cap \IQ: a \le b, a,b \in \IQ\}
[/mm]
?
> a)Geben Sie die von M erzeugte Sigma-Algebra Sigma(M) in
> [mm]\IR[/mm] an.
> b)Beschreiben Sie möglichst einfach welche Funktionen f:
> [mm]\IR \to[/mm] [-unendlich,unedlich] Sigma(M) messbar sin.
> Hallo :)
>
> also in Sigma(M) müsste doch Omega
also [mm] \IR
[/mm]
, die Menge selbst also
> [mm]\IQ[/mm]
Ja, [mm] \IQ [/mm] gehört zu [mm] \sigma(M). [/mm] Warum ?
> ,Omega \ M und Omega [mm]\Cup[/mm] M
Das ist Unsinn ! [mm] \Omega [/mm] ist = [mm] \IR [/mm] und M ist eine Menge von Teilmengen von [mm] \IR
[/mm]
> enthalten sein oder? M
> enthält doch alle Intervalle [mm][\bruch{1}{n}, \bruch{1}{m}[/mm] ]
> wobei n, [mm]\le[/mm] m [mm]\in \IN.[/mm] Das könnte ja dann so fast alles
> sein :D. Irgendwie habe ich das Gefühl ich bin auf dem
> Holzweg. Wer hilft mir da vielleicht weiter?
Klar: [mm] \IR \in \sigma(M).
[/mm]
Begründe, warum jede Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] zu [mm] \sigma(M) [/mm] gehört.
Begründe, warum [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] zu [mm] \sigma(M) [/mm] gehört
.......... Nun mach Du mal weiter.
> ok und zu der b) lautet eine Defintion, dass wenn M eine
> Sigma Algebra in Omega ist, dass dann eine Funktion f:
> Omega [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[-unedlich,unedlich] messbar ist, wenn jede
> Subníveaumenge auch in M liegt { x [mm]\in[/mm] Omega f(x) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y }
> [mm]\in[/mm] M für alle y [mm]\in \IR[/mm]
> mmhh so eine Funktion fällt mir
> nicht wirklich dazu ein.
Das ist ja auch kein Wunder, wenn noch nicht klar ist , wie [mm] \sigma(M) [/mm] aussieht !!
FRED
>
> Liebe Grüße
> Luise
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Fr 08.11.2013 | | Autor: | luise1 |
Hallo Fred,
ok also habe ich das richtig verstanden, dass die [mm] \sigma [/mm] Alegbra von M die Mengen [mm] \IR, \IQ, \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] und die leere Menge,da [mm] \IQ [/mm] \ [mm] \IQ,
[/mm]
enthalten muss,oder? Also diese vier Mengen. Muss man diese jetzt nur noch in Intervallsschreibweise ausfuehren ? [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] waere doch dann die Menge der ganzen Zahlen oder?
Vielen Dank fuer die Hilfe!
Liebe Gruesse
Luise
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Hiho,
> ok also habe ich das richtig verstanden, dass die [mm]\sigma[/mm]
> Alegbra von M die Mengen [mm]\IR, \IQ, \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] und die leere Menge,da [mm]\IQ[/mm] \ [mm]\IQ,[/mm] enthalten muss,oder?
Ja, die sind drin
> Also diese vier Mengen.
NEIN!
Die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthält VIEL mehr Elemente.
Du scheinst das Bildungsgesetz noch nicht verstanden zu haben.
In deiner [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] sind eben ALLE Intervalle [a,b] der im Bildungsgesetz angegebenen Form drin PLUS alle Mengen, die man daraus mit [mm] $\sigma$-Algebra-Bildungsgesetzen [/mm] bilden kann.
Mach dich mal mit den Möglichkeiten vertraut die Borel-Sigma-Algebra mit Hilfe von abzählbaren Erzeugern zu konstruieren und dann kannst du das auf diese Aufgabe anwenden.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 09.11.2013 | | Autor: | luise1 |
Halli Hallo :)
vielen Dank für die weitere Hilfe!
so...ok ok da sind noch mehr Mengen enthalten. Also stehen geblieben waren wir bei [mm] \IQ, \IR [/mm] \ [mm] \IQ, \IR [/mm] und der leeren Menge...sooo und jetzt kommen noch die Vereinigungen und die Komplemente dazu und M selbst. Also sprich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} [a_{j},b_{j}] \cap \IQ, [/mm] für [mm] a_{j},b_{j} \in \IQ [/mm] und davon die Komplemente ebenfalls, wobei ich nicht genau weiß wie ich die definieren soll. Naja und die Vereinigungen von den ganzen einzelnen Mengen ergeben ja meistens [mm] \IR.
[/mm]
Reicht das?
Liebe Grüße
Luise
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Hiho,
versuche gar nicht erst, alle Mengen aufzuschreiben.
Du wirst es nicht hinbekommen!
> Halli Hallo :)
>
> vielen Dank für die weitere Hilfe!
> so...ok ok da sind noch mehr Mengen enthalten. Also stehen
> geblieben waren wir bei [mm]\IQ, \IR[/mm] \ [mm]\IQ, \IR[/mm] und der leeren
> Menge...sooo und jetzt kommen noch die Vereinigungen und
> die Komplemente dazu und M selbst. Also sprich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bigcup_{i=1}^{n} [a_{j},b_{j}] \cap \IQ,[/mm]
> für [mm]a_{j},b_{j} \in \IQ[/mm] und davon die Komplemente
Und noch viel mehr Elemente, die du dir gar nicht vorstellen kannst!
Dein Versuch ist also nicht zielführend.
> Reicht das?
Nein. Ein Tipp wurde dir doch bereits gegeben, wieso ignorierst du den?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 11.11.2013 | | Autor: | luise1 |
Hallo,
nein sorry, ich wollte den Tipp nicht ignorieren :(
Kann das sein, dass du darauf hinaus wolltest, dass die Borel [mm] \sigma [/mm] Algebra einen Erzeuger der Form:
U= [mm] \Cup [/mm] {[a,b[ : [a,b[ [mm] \subset [/mm] U, a,b [mm] \in \IQ} [/mm] bildet?
Liebe Grüße
Luise
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Hiho,
> Hallo,
>
> nein sorry, ich wollte den Tipp nicht ignorieren :(
> Kann das sein, dass du darauf hinaus wolltest, dass die
> Borel [mm]\sigma[/mm] Algebra einen Erzeuger der Form:
> U= [mm]\Cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{[a,b[ : [a,b[ [mm]\subset[/mm] U, a,b [mm]\in \IQ}[/mm] bildet?
ja, allerdings steht vorne kein Vereinigungszeichen, sondern der [mm] $\sigma$-Operator.
[/mm]
So, nun schlage noch einmal Spur-Sigma-Algebra nach und wende beides auf deine Aufgabe an.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Di 12.11.2013 | | Autor: | luise1 |
Hallo,
ist das korrekt, wenn ich sage, dass der Erzeuger der Borel [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \IR [/mm] :
[mm] \sigma [/mm] (E)= {[a,b[, a,b [mm] \in \IQ [/mm] } ist?
Dann wäre die Spur - [mm] \sigma- [/mm] Algebra [mm] S_{p} [/mm] eine messbare Teilmenge in einem messbaren Raum (hier [mm] (\sigma(E), \IR) [/mm] und die Spur [mm] \sigma [/mm] Alegbra wäre M ? oder völlig auf dem Holzweg?) und würde die Menge [mm] M_{1}:= [/mm] {A [mm] \subset S_{p}: [/mm] A [mm] \in \IR} [/mm] die [mm] \sigma [/mm] Algebra auf [mm] S_{p} [/mm] bilden oder nicht?
Also ein wenig verwirrt bin ich schon ;)
Liebe Grüße
Luise
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Hiho,
schau mal hier, da wurde die gleiche Frage diskutiert und ein anderer Weg vorgeschlagen.
Gruß,
Gono.
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