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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - nilpotente Matrix diagonal.bar
nilpotente Matrix diagonal.bar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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nilpotente Matrix diagonal.bar: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 So 16.04.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei K ein Köper und m ∈ N. Zeigen Sie, dass eine nilpotente Matrix A ∈ Matm(K) genau dann diagonalisierbar ist, wenn A = 0.



Hallo,
ich habe es mir versucht an 2x2-Matrixen zu überlegen.
Nilpotent bedeutet ja, dass ein A bei einer bestimmten Potenz = 0 wird.
Also [mm] A^k [/mm] = 0 , wobei k [mm] \in [/mm] Z
und A^(k-1) ist ungleich 0
Ich habe versucht es mir mit
[mm] A^k [/mm] = [mm] T*D^k*T^{-1} [/mm]

wobei [mm] D^k [/mm]
=
  [mm] \begin{pmatrix} \Lambda_1^k & 0 \\ 0 & \Lambda_2 ^k \end{pmatrix} [/mm]  
zu überlegen, bin aber hier nicht mehr weitergekommen, weil ich ja bei über T und T^(-1) im Allgemeinen keine Aussage treffen kann?
Ich wäre froh, wenn mir jemand einen Tipp für den Ansatz geben könnte.
Danke!!

        
Bezug
nilpotente Matrix diagonal.bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 So 16.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei K ein Köper und m ∈ N. Zeigen Sie, dass eine
> nilpotente Matrix A ∈ Matm(K) genau dann diagonalisierbar
> ist, wenn A = 0.
>  
>
> Hallo,
> ich habe es mir versucht an 2x2-Matrixen zu überlegen.
> Nilpotent bedeutet ja, dass ein A bei einer bestimmten
> Potenz = 0 wird.
> Also [mm]A^k[/mm] = 0 , wobei k [mm]\in[/mm] Z

Hallo,

eher [mm] k\in\IN, [/mm] nicht wahr?

>  und A^(k-1) ist ungleich 0


> [mm]A^k[/mm] = [mm]T*D^k*T^{-1}[/mm].

Genau. Wenn [mm] A=Tdiag(\lambda_1,...,\lambda_m)T^{-1}, [/mm]

dann ist [mm] A^k=Tdiag(\lambda_1,...,\lambda_m)^kT^{-1}=Tdiag(\lambda_1^k,...,\lambda_m^k)T^{-1}. [/mm]

Und wenn das =0 ist,
dann ist auch [mm] 0=T^{-1}A^kT=diag(\lambda_1^k,...,\lambda_m^k) [/mm]

Was wissen wir nun über [mm] \lambda_i^k? [/mm] Und folglich über [mm] \lambda_i? [/mm]

Zu welcher Diagonalmatrix ist A dann also ähnlich?

LG Angela

>  
> wobei [mm]D^k[/mm]
>  =
>    [mm]\begin{pmatrix} \Lambda_1^k & 0 \\ 0 & \Lambda_2 ^k \end{pmatrix}[/mm]  
> zu überlegen, bin aber hier nicht mehr weitergekommen,
> weil ich ja bei über T und T^(-1) im Allgemeinen keine
> Aussage treffen kann?
> Ich wäre froh, wenn mir jemand einen Tipp für den Ansatz
> geben könnte.
> Danke!!


Bezug
                
Bezug
nilpotente Matrix diagonal.bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 So 16.04.2017
Autor: mariella22

Danke für die Hilfe!
dann sind
[mm] \Lambda_1^k [/mm] bis [mm] Lambda_m^k [/mm] = 0
Also die Eigenwerte von [mm] D^k [/mm] und somit von D = 0
weil D und A dieselben Eigenwerte haben, sind die Eigenwerte von A also auch 0.
Aber mir ist noch nicht klar, warum das heisst, dass A=0 sein muss?


Bezug
                        
Bezug
nilpotente Matrix diagonal.bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 So 16.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Danke für die Hilfe!
>  dann sind
> [mm]\Lambda_1^k[/mm] bis [mm]Lambda_m^k[/mm] = 0
> Also die Eigenwerte von [mm]D^k[/mm] und somit von D = 0
> weil D und A dieselben Eigenwerte haben, sind die
> Eigenwerte von A also auch 0.
> Aber mir ist noch nicht klar, warum das heisst, dass A=0
> sein muss?

allo,

Du hast doch jetzt

[mm] TAT^{-1}=0 [/mm] <==> [mm] A=T^{-1}0T=0 [/mm]

LG Angela

>  


Bezug
                                
Bezug
nilpotente Matrix diagonal.bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 16.04.2017
Autor: mariella22

oh.. ja, klar.. Danke!!!

Bezug
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