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orthogonale Gruppe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Fr 14.04.2017
Autor: Franzi17

Aufgabe
a.) Zeigen Sie, dass SO2(R) kommutativ ist.  Ist O2(R) kommutativ? Begrunden Sie Ihre Antwort!


b) Zeigen Sie direkt, dass jede Matrix A [mm] \in [/mm] SO2(R) als Element von Mat2(C) diagonalisierbar ist. D.h. es existiert T [mm] \in [/mm] GL2(C), so dass [mm] TAT^1 [/mm] eine Diagonalmatrix ist.

c) Bestimmen Sie alle Matrizen A [mm] \in [/mm] SO2(R), so dass es T [mm] \in [/mm] GL2(R) mit
[mm] TAT^1 [/mm] eine Diagonalmatrix.


Hallo,
ich komme leider nicht weiter. Ich weiss
grundsätzlich was SO2 und O2 meint.
Sei A =

[mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [/mm]

Orthogonal heisst:
[mm] v_1 [/mm] = {a [mm] \choose [/mm] c}  steht senkrecht auf v2 = {b [mm] \choose [/mm] d}
also:  [mm] und die Länge  der beiden Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] = 1

Die Gleichung [mm] A*A^T [/mm] = E ist erfüllt
Daraus folgt:
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1
[mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] =1
und
ac+ bd = 0

Spezielle orthogonale Gruppe
heisst die Determinante ist = 1
also: ad - bc = 1

Ich habe mit diesen Informationen versucht einen Ansatz für die Aufgaben zu finden, aber ich bin bisher bei keiner wirklich auf einen grünen Zweig gekommen. Ich wäre froh, um ein paar kleine Tipps. Danke!






        
Bezug
orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Sa 15.04.2017
Autor: angela.h.b.


> a.) Zeigen Sie, dass SO2(R) kommutativ ist.  Ist O2(R)
> kommutativ? Begrunden Sie Ihre Antwort!
>  
>
> b) Zeigen Sie direkt, dass jede Matrix A [mm]\in[/mm] SO2(R) als
> Element von Mat2(C) diagonalisierbar ist. D.h. es existiert
> T [mm]\in[/mm] GL2(C), so dass [mm]TAT^1[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
>  
> c) Bestimmen Sie alle Matrizen A [mm]\in[/mm] SO2(R), so dass es T
> [mm]\in[/mm] GL2(R) mit
>  [mm]TAT^1[/mm] eine Diagonalmatrix.
>  
> Hallo,
> ich komme leider nicht weiter. Ich weiss
> grundsätzlich was SO2 und O2 meint.
> Sei A =
>
> [mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/mm]
>
> Orthogonal heisst:
> [mm]v_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {a [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

c}  steht senkrecht auf v2 = {b [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> d}
>  also:  [mm]

>  und die Länge  der beiden Vektoren [mm]v_1[/mm] = [mm]v_2[/mm] = 1

Hallo,

Du kannst Dir überlegen,
daß sich hieraus ergibt, daß die Matrizen aus [mm] O2(\IR) [/mm] die Gestalt

[mm] \pmat{\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)} [/mm] oder [mm] \pmat{\cos(x)&\sin(x)\\\sin(x)&-\cos(x)} [/mm] haben.

(Die ersten beschreiben Drehungen, die zweiten Spiegelungen)

Die Kommutativität von [mm] SO2(\IR) [/mm] kannst Du dann mithilfe der Additionstheoreme zeigen.

LG Angela




>
> Die Gleichung [mm]A*A^T[/mm] = E ist erfüllt
> Daraus folgt:
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = 1
>  [mm]c^2[/mm] + [mm]d^2[/mm] =1
> und
> ac+ bd = 0
>  
> Spezielle orthogonale Gruppe
>  heisst die Determinante ist = 1
>  also: ad - bc = 1
>  
> Ich habe mit diesen Informationen versucht einen Ansatz
> für die Aufgaben zu finden, aber ich bin bisher bei keiner
> wirklich auf einen grünen Zweig gekommen. Ich wäre froh,
> um ein paar kleine Tipps. Danke!
>  
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Sa 15.04.2017
Autor: Franzi17

Hallo!
Vielen Dank!!
Teil a.) konnte ich mit deinem Tipp jetzt lösen!
Leider fehlt mir immer noch jegliche Idee für Teil2.
Wäre sehr froh, wenn dort noch jemand einen Hinweis hätte.
Danke!!

Bezug
                        
Bezug
orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Sa 15.04.2017
Autor: angela.h.b.


>  Leider fehlt mir immer noch jegliche Idee für Teil2.
>  Wäre sehr froh, wenn dort noch jemand einen Hinweis
> hätte.
>  Danke!!

Hallo,

da steht doch "zeige direkt".
Ich stelle  mir das so vor, daß Du eine Matrix [mm] \in SO"(\IR) [/mm] hernehmen sollst,
Eigenwerte und Eigenbasis bestimmen und die Transformationsmatrix angeben sollst.
Wo genau liegt Dein Problem? Die Matrix würde ich glaic in der Gestalt mit sin und cos nehmen.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Sa 15.04.2017
Autor: Franzi17

Danke, es hat jetzt geklappt, ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen und bin nicht auf die Idee gekommen einfach die Eigenwerte zu bestimmen.
Ich komme auf
T=
[mm] \begin{Bmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{Bmatrix} [/mm]

Ich habe noch eine Frage zu c.)
T [mm] \in [/mm] Gl2(R)
wäre
[mm] \begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{Bmatrix} [/mm]

also = [mm] E_2 [/mm]

A =
[mm] \begin{Bmatrix} cos(x) & -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{Bmatrix} [/mm]


Damit wäre TAT^-1 nur eine Diagonalmatrix wenn A Drehungen um [mm] m*\pi [/mm]
beschreibt, da die Sinusfunktion gleich 0 ist.

Ist das so korrekt?
Danke für die Antworten!


Bezug
                                        
Bezug
orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 So 16.04.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

bei c) habe ich mir überlegt: wann sind die Eigenwerte reell?
Ergebnis: für [mm] x=k*\pi, k\in\IZ, [/mm]

was dann zu dem von Dir auch gefundenen Ergebnis führt.

LG Angela

Bezug
                                                
Bezug
orthogonale Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 So 16.04.2017
Autor: Franzi17

Ok, vielen Dank für die Hilfe!! :)

Bezug
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