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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - reellwertige Lösung einer DGL
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reellwertige Lösung einer DGL: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mo 18.07.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Bestimmen Sie alle reellwertigen Lösungen [mm] \alpha \in C^1(\IR,\IR^2) [/mm] der DGL
[mm] x'=\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm]

Guten Morgen, ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, bin mir jedoch unsicher ob das, was ich als Lösung habe ausreichend für die Aufgabe ist. Über eine Feedback würde ich mich freuen. Vielen Dank!

charakteristische Polynom [mm] P_A(t)=det\pmat{ 3-t & 1 \\ -1 & 3-t }=(3-t)(3-t)+1=t^2-6t+10 [/mm]

[mm] P_A(t)=0 \Rightarrow \lambda_1=3+i [/mm] und [mm] \lambda_2=3-i [/mm]

Somit erhalte ich den Ansatz in [mm] \IC: e^{3+i}t; e^{3-i}t [/mm]
bzw. den Ansatz in [mm] \IR: [/mm] e^3cos(t); e^3sin(t)

Ist damit die Aufgabe gelöst? Oder muss ich da noch mehr machen?
Vielen Danke schon mal im Voraus!

LG Susi


        
Bezug
reellwertige Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mo 18.07.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie alle reellwertigen Lösungen [mm]\alpha \in C^1(\IR,\IR^2)[/mm]
> der DGL
>  [mm]x'=\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 3 }[/mm]
>  Guten Morgen, ich habe
> versucht diese Aufgabe zu lösen, bin mir jedoch unsicher
> ob das, was ich als Lösung habe ausreichend für die
> Aufgabe ist. Über eine Feedback würde ich mich freuen.
> Vielen Dank!
>  
> charakteristische Polynom [mm]P_A(t)=det\pmat{ 3-t & 1 \\ -1 & 3-t }=(3-t)(3-t)+1=t^2-6t+10[/mm]
>
> [mm]P_A(t)=0 \Rightarrow \lambda_1=3+i[/mm] und [mm]\lambda_2=3-i[/mm]
>  
> Somit erhalte ich den Ansatz in [mm]\IC: e^{3+i}t; e^{3-i}t[/mm]
>  
> bzw. den Ansatz in [mm]\IR:[/mm] e^3cos(t); e^3sin(t)
>  
> Ist damit die Aufgabe gelöst?

Nein.  Zum einen weils falsch ist, zum anderen, weil es unvollständig ist.


> Oder muss ich da noch mehr
> machen?

Bestimme einen Eigenvektor [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_1. [/mm] Dann betrachte

   z(t)= [mm] \vektor{u \\ v}*e^{(3+i)t}. [/mm]

Sei a(t):=Re(z(t))  und b(t):=Im(z(t)).

Die allgemeine Lösung von

$ [mm] x'=\pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] $

sieht dann so aus: [mm] \alpha(t)=ra(t)+sb(t) [/mm]  (r,s [mm] \in \IR). [/mm]

FRED

>  Vielen Danke schon mal im Voraus!
>  
> LG Susi
>  


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