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sin(1/x) und Zwischenwertsatz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 Mo 08.12.2008
Autor: wee

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] gegeben durch x [mm] \mapsto \begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

a) f ist in 0 nicht stetig

b) Sind [mm] x_{1}, x_{2} \in \IR, [/mm] so gibt es für alle y zwischen [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) [/mm] ein x zwischen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] mit f(x)=y

Hallo,

bei a) habe ich: Betrachte die Folge [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] x_{n}= \bruch{1}{(2n+\bruch{1}{2})\pi}. [/mm] Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0 [/mm]
aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{(2n+\bruch{1}{2})\pi}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f((2n+\bruch{1}{2})\pi)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 =1 [mm] \not=0 [/mm] = f(0)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist unstetig in 0.

bei b): o.B.d.A [mm] x_{1}
Falls 0 [mm] \in [x_{1},x_{2}]. [/mm] Dann wird in jeder [mm] \epsilon-Umgebung (-\epsilon,0), [/mm] (0, [mm] \epsilon) [/mm] jeder Wert zwischen -1 und 1 angenommen.

Das Argument ist mir anschaulich klar, denn ich weiss, wie sin (1/x) ausschaut, allerdings weiss ich nicht, wie ich es formal richtig zeige, dass in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] alle Werte zwischen -1 und 1 angenommen werden?

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

        
Bezug
sin(1/x) und Zwischenwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Mo 08.12.2008
Autor: reverend

Definiere Dir (wieder oBdA) [mm] \varepsilon=\bruch{1}{t}, t\in\IR^+ [/mm]

Damit ist es leicht zu zeigen.

Bezug
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