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Forum "Lineare Abbildungen" - spurmatrix,dualraum,eigenwerte
spurmatrix,dualraum,eigenwerte < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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spurmatrix,dualraum,eigenwerte: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Di 27.10.2015
Autor: LGS

Aufgabe
Es seien  $K $ ein Körper, [mm] $n\in \IN [/mm] $ und  $V:= [mm] K^{nxn} [/mm] $

$a) $ Für  $A [mm] \in [/mm] V  $ und  $X [mm] \in [/mm] V $ sei  [mm] $\lambda_A(X):=Spur(AX).Zeigen [/mm] Sie,dass [mm] \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*} [/mm] $ ist.

b) Es sei  [mm] $U:=\{ X \in V | X_{i,j}=0 für i>j \} [/mm] $ die Menge der oberen Dreicksmatrizen in  $ V. $ Berechnen Sie den Annihilator  [mm] $U^{0}. [/mm] $

c) Zeigen Sie,dass  [mm] $\{ \lambda \in V^{\*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\} [/mm] $ ein Teilraum von  $ [mm] V^{\*} [/mm] $ ist,und geben sie eine Basis dafür an.

d) Zeigen sie ,dass  $<XY-YX|X,Y [mm] \in [/mm] V> = {Z [mm] \in [/mm] V| [mm] Spur(Z)=0\} [/mm]  $  ist.

Zeigen Sie,dass [mm] \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*} [/mm] $ ist.


ich habe leider keine ahnung wie ,ich daran gehen kann. Hätte vielleicht irgendjemand einen tipp?

        
Bezug
spurmatrix,dualraum,eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Di 27.10.2015
Autor: fred97


> Es seien  [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]n\in \IN[/mm] und  [mm]V:= K^{nxn}[/mm]
>  
> [mm]a)[/mm] Für  [mm]A \in V [/mm] und  [mm]X \in V[/mm] sei  
> [mm]\lambda_A(X):=Spur(AX).Zeigen Sie,dass \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*}[/mm]
> ist.
>  
> b) Es sei  [mm]U:=\{ X \in V | X_{i,j}=0 für i>j \}[/mm] die Menge
> der oberen Dreicksmatrizen in  [mm]V.[/mm] Berechnen Sie den
> Annihilator  [mm]U^{0}.[/mm]
>  
> c) Zeigen Sie,dass  [mm]\{ \lambda \in V^{\*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\}[/mm]
> ein Teilraum von  [mm]V^{\*}[/mm] ist,und geben sie eine Basis
> dafür an.
>  
> d) Zeigen sie ,dass  [mm] = {Z \in V| Spur(Z)=0\} [/mm]
>  ist.
>  Zeigen Sie,dass [mm]\{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*}[/mm] $ ist.
>  
>
> ich habe leider keine ahnung wie ,ich daran gehen kann.
> Hätte vielleicht irgendjemand einen tipp?

1. Zeige: jedes [mm] \lambda_A [/mm] ist eine lineare Abbildung

2. Zeige: ist f eine Linearform auf V, so ex. ein A in V mit [mm] f=\lambda_A [/mm]

Fred




Bezug
                
Bezug
spurmatrix,dualraum,eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Di 27.10.2015
Autor: LGS

1.

zu zeigen

$ [mm] \alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y) [/mm] $

so richtig?


2. krieg ich irgendwie nicht gebacken..:/

Bezug
                        
Bezug
spurmatrix,dualraum,eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Di 27.10.2015
Autor: fred97


> 1.
>  
> zu zeigen
>
> [mm]\alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y)[/mm]
>  
> so richtig?

Ja,zeige das

Fred

>  
>
> 2. krieg ich irgendwie nicht gebacken..:/


Bezug
                                
Bezug
spurmatrix,dualraum,eigenwerte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:14 Mi 28.10.2015
Autor: LGS

$ [mm] \alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= \alpha\cdot{}\summe_{i=1}^{n} a_ix_i+\summe_{i=1}^{n} a_iy_i=\summe_{i=1}^{n} \alpha*a_ix_i+\summe_{i=1}^{n} a_iy_i =\summe_{i=1}^{n} \alpha*a_ix_i+a_iy_i=Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y) [/mm] $

ist der beweis so gut?

die andere richtung ka..:/


$c)$

$ [mm] \{ \lambda \in V^{*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\} [/mm] $
wie kann ich hier das [mm] $\lambda(XY)$ [/mm] auswerten?


Bezug
                                        
Bezug
spurmatrix,dualraum,eigenwerte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Fr 30.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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