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vollst. Induktion: Ungleichungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Fr 29.09.2017
Autor: ser

Aufgabe
für alle k e IN mit k>=2 gilt

ln(k!)>=k-2


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!

IS k=n+1

ln((n+1)!)>=n+1-2          



        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Fr 29.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> für alle k e IN mit k>=2 gilt

>

> ln(k!)>=k-2

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei
> den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand
> noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!

>

> IS k=n+1

>

> ln((n+1)!)>=n+1-2

Wegen der Definition der Fakultät folgt ja unmittelbar

ln((n+1)!)=ln(n+1)+ln(n!)

Das sollte dir schon weiterhelfen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Fr 29.09.2017
Autor: ser

Danke,
ich häng mich immer an dem >= auf!

Bezug
                        
Bezug
vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 Fr 29.09.2017
Autor: fred97

Mit der Ind. Vor. haben wir

ln((n+1)!)  = ln(n!) + ln(n+1) ≥ n-2 + ln(n+1) .

Jetzt ist die Frage, ob  n-2 + ln(n+1)  [mm] \ge [/mm] n-1 ist.

Die letzte Ungleichung is äquivalent zu

ln(n+1) [mm] \ge [/mm] 1. Da n [mm] \ge [/mm] 2 ist, is n+1 [mm] \ge [/mm] 3 und somit

ln(n+1) [mm] \ge [/mm] ln(3) [mm] \ge [/mm] ln(e)=1. Bingo !

Bezug
        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Fr 29.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> für alle k e IN mit k>=2 gilt

> ln(k!) ≥ k-2

  

> Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei
> den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand
> noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!

> IS k=n+1

  

> ln((n+1)!) ≥  n+1-2     (wäre zu zeigen, falls ln(n!) ≥ n-2)

Nun ist ja (n+1)! = n! *(n+1) , also folgt:

ln((n+1)!) = ln(n!*(n+1)) = ln(n!) + ln(n+1)

Mittels der Induktionsvoraussetzung (oben rot markiert)
folgt dann:

ln((n+1)!)  = ln(n!) + ln(n+1) ≥ n-2 + ln(n+1)

Um zum Ziel zu kommen, muss man sich nun nur noch
die möglichen Werte von  ln(n+1)  vergegenwärtigen,
die mit Werten von n mit n≥2  möglich sind.

LG ,   Al-Chwarizmi  



          


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