1+1=0 \gdw 1+1+1+1=0 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Ral |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass in einem Körper 1+1=0 genau dann gilt, wenn 1+1+1+1=0 gilt. |
Ich hab schon mal die [mm] \Rightarrow [/mm] - Richtung bewiesen:
Sei 1+1=0
1+1=1+1+0=1+1+1+1=0
Mit der [mm] \Leftarrow [/mm] - Richtung hakts aber irgendwie.
Oder ist der Ansatz schon falsch?
Ich hatte auch schon überlegt, ob man das vielleicht irgendwie mit Äquivalenzklassen beweisen kann. Aber irgendwie komme ich damit auch nicht weiter.
Die Aufgabe sieht zwar einfach aus aber irgendwie steh ich aufm Schlauch :-D
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass in einem Körper 1+1=0 genau dann gilt,
> wenn 1+1+1+1=0 gilt.
> Ich hab schon mal die [mm]\Rightarrow[/mm] - Richtung bewiesen:
>
> Sei 1+1=0
dann folgt [mm] $\red{0\;}=$
[/mm]
> 1+1=1+1+0=1+1+1+1=0
Ich würde zur Sicherheit Klammern setzen:
[mm] $$0=1+1=(1+1)+0=(1+1)+(1+1)=1+1+1+1\,.$$
[/mm]
> Mit der [mm]\Leftarrow[/mm] - Richtung hakts aber irgendwie.
>
> Oder ist der Ansatz schon falsch?
Welcher denn? Die eine Richtung hast Du doch super hinbekommen!
> Ich hatte auch schon überlegt, ob man das vielleicht
> irgendwie mit Äquivalenzklassen beweisen kann. Aber
> irgendwie komme ich damit auch nicht weiter.
>
> Die Aufgabe sieht zwar einfach aus aber irgendwie steh ich
> aufm Schlauch :-D
Na, nimm' an, es gelte [mm] $1+1+1+1=0\,,$ [/mm] aber es wäre $1+1 [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann ist
$(1+1)$ wegen $(1+1)+(1+1)=0$ additiv invers zu sich selbst, in Notation
[mm] $$(1+1)=-(1+1)\,.$$
[/mm]
Bekanntlich (falls unbekannt: klick!) darfst Du schreiben
[mm] $-(1+1)=(-1)*(1+1)\,,$ [/mm] also folgt
[mm] $$(1+1)=(-1)*(1+1)\,.$$
[/mm]
(Beachte: [mm] $(-1)\in [/mm] K$ ist dass additiv Inverse zu $1 [mm] \in K\,.$ [/mm] Wir sind hier allgemein in
einem Körper, Du könntest also besser sogar [mm] $1_K$ [/mm] schreiben etc. pp.!)
Nun ist nach Annahme $(1+1) [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}\,,$ [/mm] hat also ein multiplikativ
Inverses...
Die kleinen letzten Überlegung schaffst Du nun auch noch, oder?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Ral |
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Jetzt frage ich mich, warum ich nicht selbst darauf gekommen bin. 
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Hey Ral,
Marcel hat dir ja schon eine schöne Lösung gegeben, deshalb von mir nur kurz ein kleiner Alternativvorschlag:
Es gilt $1+1+1+1=(1+1)*(1+1)$ nach dem Distributivgesetz.
Da wir über einem Körper sind ist dieses Produkt genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.
Der Grund, weshalb ich dieses poste, ist, dass du wenn du momentan diese Aufgabe gestellt bekommen hast wahrscheinlich bald einer allgemeineren Version dieser Aussage begegnen wirst, die in etwa diese Gestalt hat:
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und es existiere ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^n [/mm] 1 = 0$. Sei $n$ minimal mit dieser Eigenschaft, also es gelte [mm] $\sum_{i=1}^n [/mm] 1 = 0$ und [mm] $\sum_{i=1}^k [/mm] 1 [mm] \neq [/mm] 0$ für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit $k<n$.
Zeige, dass $n$ eine Primzahl ist. |
Diese Aussage ist für Körper nicht ganz unbedeutend und lässt sich genauso wie oben über ein geeignetes Produkt beweisen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Ral,
>
> Marcel hat dir ja schon eine schöne Lösung gegeben,
> deshalb von mir nur kurz ein kleiner Alternativvorschlag:
> Es gilt [mm]1+1+1+1=(1+1)*(1+1)[/mm] nach dem Distributivgesetz.
> Da wir über einem Körper sind ist dieses Produkt genau
> dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.
>
> Der Grund, weshalb ich dieses poste, ist, dass du wenn du
> momentan diese Aufgabe gestellt bekommen hast
> wahrscheinlich bald einer allgemeineren Version dieser
> Aussage begegnen wirst, die in etwa diese Gestalt hat:
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und es existiere ein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]\sum_{i=1}^n 1 = 0[/mm]. Sei [mm]n[/mm] minimal mit dieser Eigenschaft,
> also es gelte [mm]\sum_{i=1}^n 1 = 0[/mm] und [mm]\sum_{i=1}^k 1 \neq 0[/mm]
> für alle [mm]k \in \IN[/mm] mit [mm]k
> Zeige, dass [mm]n[/mm] eine Primzahl ist.
>
>
> Diese Aussage ist für Körper nicht ganz unbedeutend und
> lässt sich genauso wie oben über ein geeignetes Produkt
> beweisen.
ich bin vorhin zufällig auf diese Antwort hier gestoßen:
https://matheraum.de/forum/Koerper/t927619
Jetzt weiß ich auch, was Tobias da eigentlich meinte! 
Gruß,
Marcel
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