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Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 20:51 Mi 14.04.2004
Autor: Stefan

Bearbeitungszeit: rund 120 Minuten

Zu jedem $t>0$ ist die Funktion [mm] $f_t$ [/mm] gegeben durch

[mm] $f_t(x)=\ln(x^2+t);\ [/mm] x [mm] \in \IR$. [/mm]

Ihr Schaubild sein [mm] $K_t$. [/mm]


a) Untersuchen Sie [mm] $K_t$ [/mm] auf Symmetrie, gemeinsame Punkte mit der $x$-Achse, Hoch-Tief- und Wendepunkte.

Zeichnen Sie [mm] $K_t$ [/mm] für $-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$. (LE $2$ cm)

Für welche Werte von $t$ liegen die Wendepunkte von [mm] $K_t$ [/mm] unterhalb der $x$-Achse?


b) Für $0<t<0,5$ sind die Punkte [mm] $A(\sqrt{t}|\ln(2t))$, $B(-\sqrt{t}|\ln(2t))$ [/mm] und $O(0|0)$ Eckpunkte eines Dreiecks, das um die $y$-Achse rotiert.

Für welchen Wert von $t$ wird der Rauminhalt des entstehenden Kegels am größten?


c) [mm] $K_4$ [/mm] und die Gerade [mm] $y=\ln [/mm] 8$ umschließen eine Fläche.

Berechnen Sie den Rauminhalt des Drehkörpers, der bei Rotation dieser Fläche um die $y$-Achse entsteht.


d) Weise Sie nach, dass für $x [mm] \ge \frac{3}{2}$ [/mm] gilt:

(*) $4x [mm] \le x^2 [/mm] + 4 [mm] \le (x+1)^2$. [/mm]

Dier Kurve [mm] $K_4$ [/mm] umschließt mit der $x$-Achse und den Geraden $x=2$ und $x=3$ eine Fläche.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Beziehung (*) eine untere und eine obere Schranke für den Inhalt dieser Fläche.

        
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Antworten zu Abiturübung 1992
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Sa 01.05.2004
Autor: dancingestrella

Hallo,

ich habe keine Antworten für diese Aufgabe gefunden, mit der ich meine Ergebnisse überprüfen kann.

Bitte an dancingestrella: Bitte benutze den mathematischen Formelsatz, wie es auf www.matheraum.de/mm erklärt ist. Das erleichert denjenigen, die Dir helfen wollen die Arbeit und dann macht das auch mehr Spaß :)) Außerdem hilft es Dir auch selbst ungemein, wenn Du später mal vor hast, ein wissenschaftliche Arbeit zu schreiben - da braucht man die gleichen Kürzel.

Hier meine Ergebnisse:
a)
y-Achsensymmetrie
Nullstellen, wenn gilt [mm]0 < t < 1[/mm] bei [mm]x = \pm (1- t)^{0,5}[/mm]
Tiefpunkt bei TIP [mm](0 / ln(t) )[/mm]
Wendepunkte bei WEP1 [mm]( t^{0,5} / ln(2t) )[/mm]  und WEP2 [mm]( -(t^{0,5}) / ln(2t) )[/mm]
Für [mm]t < 0,5[/mm] liegen die Wendepunkte unterhalb der x-Achse.

b)
t = 1 / (2*e)
dazu habe ich das entsprechende volumen in Abhängigkeit von t berechnet und t dann mithilfe der ableitungen von v(t) bestimmt.

c)
zuerst habe ich die Umkehrfunktion gebildet, dann quadriert und in die Formel für Rotationsvolumina um die y Achse eingesetzt.
dann erhalte ich: V = Pi * (4 - 4*ln2) = 3,86 VE

d)
hier weiß ich leider noch nicht einmal wie ich ansetzen soll. beweise ich das mit vollständiger induktion? vollständige induktion wendet man doch nur für ganze Zahlen an, aber hier sind alle reellen zahlen im spiel...
kann mir jemand bitte einen tipp geben?

viele Grüße,
dancingestrella

Bezug
                
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Lösung zu d)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Sa 01.05.2004
Autor: Oliver

Hallo ds,

da Du ja bei d) Probleme hattest, will ich mich erstmal auf die Aufgabe konzentrieren.

Du hast recht, mit vollständiger Induktion kommst Du im Reellen nicht weiter. Solche Ungleichungen beweist Du schrittweise, ein Teil nach dem anderen.

Also zuerst die linke Seite:

[mm]4x \leq x^2+4 \gdw 0 \leq x^2-4x+4 [/mm]

Schau Dir jetzt mal scharf die rechte Seite an und Du weißt wahrscheinlich, wie man weiter argumentieren muss. (hier braucht man nicht einmal die Bedingung, dass [mm]x\geq \frac{3}{2}[/mm] ist, das Ergebnis gilt also unabhängig von dem Wert, den x annimmt)

Und nun die rechte Seite:

[mm]x^2+4 \leq (x+1)^2 [/mm]

Versuch das am Besten alleine, einfach mal nach x auflösen und sehen was passiert - denk dran, Du sollst nur zeigen, dass die Ungleichung für  [mm]x\geq \frac{3}{2}[/mm] gilt.

Viel Erfolg
Oliver

Bezug
                        
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Lösung zu d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 So 02.05.2004
Autor: dancingestrella

Guten Morgen Oliver!

Danke für deine Antwort.
Ich versuche es mal:
(Überall wo "<" steht, müsste kleiner-gleich stehen)

Teil 1:

4x < [mm] x^2 [/mm] + 4
mit quadratischer Ergänzung komme ich auf
0 < [mm] (x-2)^2 [/mm]
das ist eine wahre Aussage, hat aber nichts mit der Bedingung x > 1,5 zu tun.


Teil 2:

[mm] x^2 [/mm] + 4 < [mm] x^2 [/mm] + 2x +1
4  < 2x + 1
3  <  2x
1,5 < x
ja schließlich komme ich auf die Bedingung.

Zusammenfassung Teil 1 und 2:
Teil 1 gilt für alle x.
Teil 2 gilt für x < 1,5

Das reicht also für den Nachweis?

Die weitere Aufgabe lautet ja:
die Kurve K4 umschließt mit der x-Achse und den Gerade x= 2 und x= 3 eine Fläche. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung eine untere und eine obere Schranke für den Inhalt dieser Fläche.

Wenn ich mir die gesuchte Fläche angucke, sehe ich, dass sie konstant ist. Wenn ich sie berechnen sollte, dann würde ich rechnen:
F4(3) - F4(3).
Ich weiß nicht, was ich für Schranken berechnen soll, was drücken diese Schranken denn aus?

okay, der countdown läuft: morgen ist der große Matheabitag.
viele Grüße,
dancingestrella


Bezug
                                
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Lösung zu d)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 So 02.05.2004
Autor: Oliver

Hallo dancingestrella,

>  (Überall wo "<" steht, müsste kleiner-gleich stehen)

Bitte benutze den mathematischen Formelsatz, wie es auf www.matheraum.de/mm erklärt ist. Das erleichert denjenigen, die Dir helfen wollen die Arbeit und dann macht uns das auch mehr Spaß :)) Außerdem hilft es Dir auch selbst ungemein, wenn Du später mal vor hast, ein wissenschaftliche Arbeit zu schreiben - da braucht man die gleichen Kürzel.

> Teil 1:
>  0 < [mm] (x-2)^2 [/mm]
>  das ist eine wahre Aussage, hat aber nichts mit der
> Bedingung x > 1,5 zu tun.

Perfekt.

> Teil 2:

>  1,5 < x
>  ja schließlich komme ich auf die Bedingung.

Du meinst bestimmt das Richtige: Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn 1,5 [mm] \leq [/mm] x gilt.

> Das reicht also für den Nachweis?

Ja, vollkommen: wenn $1,5 [mm] \leq [/mm] x$ gilt, gilt ja Teil 1 und Teil 2. Und $a [mm] \leq [/mm] b [mm] \leq [/mm] c$ ist nur die kompakte Schreibweise von $a [mm] \leq [/mm] b$ und $b [mm] \leq [/mm] c$.
  

> Die weitere Aufgabe lautet ja:
>  die Kurve K4 umschließt mit der x-Achse und den Gerade x=
> 2 und x= 3 eine Fläche. Bestimmen Sie mithilfe der
> Beziehung eine untere und eine obere Schranke für den
> Inhalt dieser Fläche.

>  
> Wenn ich mir die gesuchte Fläche angucke, sehe ich, dass
> sie konstant ist. Wenn ich sie berechnen sollte, dann würde
> ich rechnen:
>  F4(3) - F4(3).

Was bedeutet denn F4(3)? Du meinst die Stammfunktion an der Stelle 3 abzgl. der Stammfunktion an der Stelle 2? Das stimmt, das wäre der schnellste Weg. Probier' es doch mal, wahrscheinlich ist die Stammfunktion nicht so einfach zu berechnen.

Da ja aber nicht nach der exakten Lösung gefragt ist, kannst Du auch folgenden Weg gehen: Wir sollen das Integral ja für den Bereich zwischen 2 und 3 berechnen sollen und können somit $x [mm] \geq [/mm] 1,5$ voraussetzen und zudem wissen wir, dass die Logarithmusfunktion monoton steigend ist. Also schätzen wir wie folgt ab:

[mm] \integral_{2}^{3}{\ln (4x) dx} \leq \integral_{2}^{3}{\ln (x^2+4) dx} \leq \integral_{2}^{3}{\ln ((x+1)^2) dx}[/mm]

Ist Dir dieser Schritt klar? Wir haben ja gezeigt, dass für jedes x die Ungleichungskette (*) gilt. Die Monotonie der Logarithmusfunktion bedeutet zudem, dass [mm] \ln(x_1) \geq ln(x_2) \forall x_1 \geq x_2. [/mm] Also haben wir folgende Ungleichungskette:

[mm] \ln (4x) \leq \ln (x^2+4) \leq \ln ((x+1)^2)[/mm]

Und da auch das Integral in gewissem Sinne monoton ist (d.h. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \geq \integral_{a}^{b}{g(x) dx}, [/mm] wenn f(x) [mm] \geq [/mm] g(x) [mm] \forall [/mm] a [mm] \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] b), kann man die Ungleichungskette wie oben geschehen auch auf die Integrale übertragen.

Die beiden Integrale links und rechts in der Ungleichungskette müsstest Du berechnen können und damit hast Du eine untere und eine obere Schranke für das gesuchte Integral.

> okay, der countdown läuft: morgen ist der große
> Matheabitag.

Alles Gute von meiner Seite, ist das die letzte Prüfung oder kommt da noch was nach?

Mach's gut
Oliver

Bezug
                
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Antworten zu Abiturübung 1992: Teilaufgabe a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 So 02.05.2004
Autor: Marc

Hallo dancingestrella!

>  a)
>  y-Achsensymmetrie

[ok]

>  Nullstellen, wenn gilt [mm]0 < t < 1[/mm] bei [mm]x = \pm (1- t)^{0,5}[/mm]

[ok], aber für $t=1$ gibt es auch eine Nullstelle, also [mm]0 < t \red{\le}\black{} 1[/mm] bei [mm]x = \pm (1- t)^{0,5}[/mm]

> Tiefpunkt bei TIP [mm](0 / ln(t) )[/mm]

[ok]

Zur Kontrolle: [mm] $f_t'(x)=2x*\bruch{1}{x^2+t}$ [/mm]

>  Wendepunkte bei WEP1 [mm]( t^{0,5} / ln(2t) )[/mm]
>  und WEP2 [mm]( -(t^{0,5}) / ln(2t) )[/mm]

[ok]

Zur Kontrolle: [mm] $f_''(x)=2*\bruch{1}{x^2+t}-4x^2*\bruch{1}{\left(x^2+t\right)^2}$ [/mm]

>  Für [mm]t < 0,5[/mm] liegen die
> Wendepunkte unterhalb der x-Achse.

[ok]

Gleich geht's weiter mit b)

--Marc



Bezug
                
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Antworten zu Abiturübung 1992: Teilaufgabe b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 02.05.2004
Autor: Marc

Hallo dancingestrella!

> b)
>  t = 1 / (2*e)
>  dazu habe ich das entsprechende volumen in Abhängigkeit
> von t berechnet und t dann mithilfe der ableitungen von
> v(t) bestimmt.

Sehr gut, ich rechne es mal nach:

[mm] $V(t)=\bruch{1}{3}*G*h$ [/mm]
[mm] $=\bruch{1}{3}*\pi*\left(\wurzel{t}\right)^2*(-\ln(2t))$ ($-\ln(2t)$, [/mm] wg. a))
[mm] $=-\bruch{1}{3}*\pi*t*\ln(2t)$ [/mm]

[mm] $V'(t)=-\bruch{1}{3}*\pi*\left( 1*\ln(2t)+t*\bruch{1}{2t}*2 \right)$ [/mm]
[mm] $=-\bruch{1}{3}*\pi*\left( \ln(2t)+1 \right)$ [/mm]

$V'(t)=0$
[mm] $\gdw -\bruch{1}{3}*\pi*\left( \ln(2t)+1 \right)=0$ [/mm]
[mm] $\gdw \ln(2t)+1=0$ [/mm]
[mm] $\gdw \ln(2t)=-1$ [/mm]
[mm] $\gdw 2t=e^{-1}$ [/mm]
[mm] $\gdw t=\bruch{1}{2e}$ [/mm]

[mm] $V''(t)=-\bruch{1}{3}*\pi*\left( 2*\bruch{1}{2t} \right)$ [/mm]

und

[mm] $V''(\bruch{1}{2e})=-\bruch{1}{3}*\pi*\left( 2*4*e \right)<0$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Maximum an der Stelle [mm] $t=\bruch{1}{2e}$ [/mm]

Die Ränder müssen nicht untersucht werden, da sie nicht im Definitionsbereich liegen (und ausserdem bei nur einer Extremstelle die Randwerte sicher kleiner als das relative Maximum sein müssten, weil es sonst noch ein relative Minimum geben müsste).

Also, alle deine Ergebnisse bisher richtig.

Und gleich geht's weiter mit c)

--marc

Bezug
                
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Antworten zu Abiturübung 1992: Teilaufgabe c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 02.05.2004
Autor: Marc

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

mit Korrekturen von Julius

Hallo dancingestrella!

> c)
> zuerst habe ich die Umkehrfunktion gebildet, dann quadriert
> und in die Formel für Rotationsvolumina um die y Achse
> eingesetzt.

Wieso vor dem Einsetzen quadriert? Meinst du das Quadrat, das in der Rotationsformel bereits enthalten ist?

>  dann erhalte ich: V = Pi * (4 - 4*ln2) = 3,86 VE

Hier habe ich etwas anderes raus:

Die (bzw. eine) Umkehrfunktion zu $f_4(x)=\ln(x^2+4)$ lautet: $f^{-1}_4(x)=\wurzel{e^x-4}$

Dies in die Rotationsformel $\pi\integral_a^b f(x)^2 dx$ eingesetzt liefert:

$V=\pi\integral_{\red{\ln 4}}^{\ln 8} \left( \wurzel{e^x-4} \right)^2 dx$
$=\pi\integral_{\red{\ln 4}}^{\ln 8} e^x-4 dx$
$=\pi\integral_{\red{\ln 4}}^{\ln 8} e^x-4 dx$
$=\pi\left( \left. e^x-4x \right|_{\red{\ln 4}}^{\ln8} \right)$
$=\pi\left( e^{\ln8}-4\ln8-(e^{\red{\ln 4}}-4*{\red{\ln 4}}) \right)$
$=\pi\left( 8-4\ln8- \red{4 + 4\ln 4} \right)$
$=\pi\left( \red{4 - 4\ln 2}\right)$
$\red{=4\pi\left( 1 - \ln 2\right)}$
$\red{\approx 3,86}$.

Könntest du das bitte noch mal mit deinem Lösungsweg vergleichen, vielleicht findest du ja dann bei mir oder dir den Fehler.

Falls wir uns nicht mehr schreiben sollten wünsche ich dir viel Erfolg für morgen!
Du scheinst sehr gut vorbereitet zu sein, weswegen du optimistisch sein kannst.
Lern' aber heute nicht mehr so viel und lang, gehe lieber morgen ausgeruht und ausgeschlafen zur Prüfung.

Viel Erfolg!
Marc

Bezug
                        
Bezug
Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 (mein Abi-Jahr ;-)): Antworten zu Abiturübung 1992: Teilaufgabe c)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Fr 07.05.2004
Autor: Julius

Nur zur Vervollständigung:

Der ursprüngliche Lösung von dancingestrella war richtig. Ich suche den Fehler jetzt mal und verbessere ihn direkt.

Julius

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