Ableitung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Di 22.05.2018 | | Autor: | Flow1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich bin neu hier also erstmal ein freundliches Hallo :) Ich habe eine Frage... Inwieweit ist die Ableitung Teil eines Terms bzw. Funktion?
Um die Ableitung zu erhalten muss ich ja rechnen.
Jetzt ist die Ableitung anhand der Änderungsrate doch zumindest zu erahnen oder liege ich da falsch? Ich frage mich das deshalb, da wenn sich zwei Terme schneiden, scheinen diese am Schnittpunkt ja identisch zu sein.
Was sie unterscheidet ist ihre Änderungsrate, also die Ableitung? Steckt dann die Ableitung in der Darstellung mit "drinnen"? Denn der einzige Unterschied der am Schnittpunkt die Gleichsetzung des einen Terms mit dem anderen verhindert ist doch die Änderungsrate, oder irre ich mich da?
Das heißt ich frage mich ob die Information der Ableitung in der Darstellung enthalten ist.
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Hallo Flow,
erstmal ein herzliches Willkommen 
Nun zu deinem Anliegen: Deine Frage ist ziemlich wirr und du scheinst einige Begrifflichkeiten zusammenzuwerfen und andere nicht ganz verstanden zu haben, daher nun ein paar Nachfragen:
> Inwieweit ist die Ableitung Teil eines Terms bzw. Funktion?
Ein Term ist keine Funktion oder umgekehrt. Eine Funktionsvorschrift kann aber durch einen Term dargestellt werden.
Ich vermute du beziehst dich auf eine konkret gegebene Funktion, bspw:
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 7x - 3$
Als Bemerkung (und für die Frage vermutlich irrelevant): Lapidar gesagt, ist ein Term alles, was mathematisch gesehen als Formel "Sinn" ergibt.
Eine Funktion ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen.
> Um die Ableitung zu erhalten muss ich ja rechnen.
Ob du das musst, weiß ich nicht… das lassen wir mal so stehen.
> Jetzt ist die Ableitung anhand der Änderungsrate doch
> zumindest zu erahnen oder liege ich da falsch?
Wenn du eine gute Ahnung hast…
Mal herausfordernd gefragt: Was machst du, wenn die betrachtete Funktion gar keine Ableitung hat? So etwas gibt es nämlich auch…
> Ich frage mich das deshalb, da wenn sich zwei Terme schneiden,
> scheinen diese am Schnittpunkt ja identisch zu sein.
Wenn sich zwei Funktionen schneiden, stimmt ihr Funktionswert am Schnittpunkt überein… das ist die Definition des Schnittpunkts.
> Was sie unterscheidet ist ihre Änderungsrate, also die Ableitung?
Sofern die Funktionen eine Ableitung besitzen: Ja, dann unterscheiden sie sich.
> Steckt dann die Ableitung in der Darstellung mit "drinnen"?
Also… die Ableitungen ergeben sich natürlich aus den gegebenen Funktionen (sofern existent).
Wenn du wissen willst, ob diese immer ersichtlich sind… nein.
> Denn der einzige Unterschied der am Schnittpunkt
> die Gleichsetzung des einen Terms mit dem anderen
> verhindert ist doch die Änderungsrate, oder irre ich mich
> da?
Wenn es ein Schnittpunkt gibt, sind beide Funktionswerte doch gleich an der Stelle… also kannst du sie auch gleichsetzen. Da wird nix verhindert.
> Das heißt ich frage mich ob die Information der Ableitung
> in der Darstellung enthalten ist.
Im Allgemeinen: Nein.
Oftmals mit ausreichend "Ahnung": Bestimmt.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 22.05.2018 | | Autor: | Flow1 |
Hallo Gono!
Vielen Dank, für Deine schnelle und ausführliche Antwort!
Ich bin eigentlich kein Schüler mehr, habe mich schon ziemlich lange nicht mehr mit Mathematik beschäftigt und deshalb habe ich so ziemlich alles, was ich mal gelernt habe oder hätte lernen sollen vergessen.(Ich hoffe es ist ok trotzdem zu fragen, ich habe die Frage mal dem Niveau das ich annahm zugeordnet...) Deswegen denke ich ist meine Formulierung wirr, da ich erst wieder langsam anfange zu verstehen, aber du hast schon viel Licht ins Dunkel gebracht. Danke! Ich frage mich das ganze deshalb, weil ich z.B. die Funktion sin habe und cos in einem Schaubild, dann schneidet sin ja cos. Ist das da dann auch gleich? Denn dann kann ich anhand eines einzelnen Punktes nicht auf die Änderungsrate schließen, ich sehe also nicht, dass sich sin gerade abwärts und cos aufwärts bewegt. Und das obwohl ich mich in einem 2d Schaubild befinde und somit zwei Informationen für einen Punkt brauche. (Deshalb bzw. Funktion, aber du hast es schön erklärt!). Das heißt für mich aus einem einzelnen Punkt kann ich keinerlei Schlüsse auf die Ableitung ziehen, da die Ableitung eines Punktes 0 wäre? Nur in der Summe entsteht eine Ableitung. Und das verwirrt mich etwas. Warum ist nicht auch im einzelnen Punkt eine "Richtung" vorhanden, wenn diese durch etliche Punkte entsteht in denen diese Information aber gar nicht vorhanden ist? Oder darf man das so nicht "auseinanderreissen"? (ist jetzt etwas ausführlicher, aber das verstehe ich schon länger nicht...) Ich hoffe ich konnte es so verständlich, wie mir möglich darstellen^^
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Hiho,
> (Ich hoffe es ist ok trotzdem zu fragen,
Zu fragen ist hier immer ok, sofern man mitdenkt / mitarbeitet
> Ich frage mich das ganze deshalb, weil ich
> z.B. die Funktion sin habe und cos in einem Schaubild, dann
> schneidet sin ja cos.
Oder schneidet der Cosinus den Sinus?
> Ist das da dann auch gleich?
Im Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich, ja.
z.B. ist [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] so ein Schnittpunkt, denn dort gilt [mm] $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) [/mm] = [mm] \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
[/mm]
> dann kann ich anhand eines einzelnen Punktes nicht auf die
> Änderungsrate schließen, ich sehe also nicht, dass sich
> sin gerade abwärts und cos aufwärts bewegt.
Wenn du nur den einzelnen Punkt betrachtest, ist das völlig korrekt. Ein einzelner Funktionswert gibt dir keinerlei Informationen über das Änderungsverhalten der Funktion.
> Das heißt für mich aus einem einzelnen Punkt kann ich keinerlei
> Schlüsse auf die Ableitung ziehen, da die Ableitung eines
> Punktes 0 wäre?
> Nur in der Summe entsteht eine Ableitung.
Du kannst keinerlei Informationen aus einem einzelnen Funktionswert ziehen. Die "Ableitung eines Punktes" wäre nicht Null, du kannst halt schlichtweg keine Aussage treffen.
Das ist wie, wenn ich dir mein geschlossenes Portmonee hinhalte, und du kannst nur durch ein klitzekleines Loch schauen und ich frage dich: Wie viel Geld ist da drin?
Du kannst ja nicht sagen "Da ist 0 Geld drin.", weil du es schlichtweg nicht weißt… du hast nicht genug Informationen um die Aussage zu beantworten.
> Und das verwirrt mich etwas. Warum ist nicht auch im
> einzelnen Punkt eine "Richtung" vorhanden, wenn diese durch
> etliche Punkte entsteht in denen diese Information aber gar
> nicht vorhanden ist? Oder darf man das so nicht
> "auseinanderreissen"? (ist jetzt etwas ausführlicher, aber
> das verstehe ich schon länger nicht...) Ich hoffe ich
> konnte es so verständlich, wie mir möglich darstellen^^
Ja kannst du… und ich finde deine Formulierung sogar recht interessant, weil es mal ein Blick eines "Laien" auf ein komplexes Thema ist… und man sich Gedanken machen muss, wie man so etwas möglichst einfach erklärt. Mit der Problematik des Erklärens sollten sich viel mehr Lehrer in Schulen beschäftigen anstatt nur Zeug an die Tafel zu schreiben… aber ich schweife ab.
Zu deiner Frage: Du solltest dir die Frage stellen, was die Ableitung eigentlich ist. Du hast ja schon selbst gesagt, dass es grob gesagt die Änderungsrate der Funktion ist. Aber wie stellt man fest, ob sich etwas ändert? Dafür braucht es eine Beobachtung über einen bestimmten Zeitraum.
Wenn du bspw. die bei dir vor dem Fenster vorbeifahrenden Autos fotografierst und das Foto später jemanden zeigst und ihn fragst "Wie schnell war das Auto?", dann beschreibt das deine Frage hier eigentlich recht gut:
Die Geschwindigkeit des Autos ist nämlich die Änderungsrate seines zurückgelegten Weges. D.h. die Geschwindigkeit ist wirklich die Ableitung der Funktion des Weges.
Du erwartest dann von demjenigen aus einem einzelnen Punkt der Beobachtung (deinem Foto) auf die Änderungsrate des Weges (der Geschwindigkeit) zu schließen. Das ist unmöglich. Man kann nicht feststellen, ob das Auto vor deinem Fenster geparkt hat, oder vorbeigerast ist.
Und ebenso ist das eben mit Funktionen: Die Ableitung ist eine Eigenschaft einer Umgebung um einen Punkt, und ist sie noch so klein. Aber man benötigt eben Informationen um den Punkt drumrum. Dabei ist egal wie "weit" wir um den Punkt drumrumschauen können, aber es muss ein "kleines bisschen" möglich sein, um eine Aussage über die Ableitung zu treffen.
Noch ein mehr mathematisches Beispiel: Betrache die beiden Funktionen [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $x^2$ [/mm] und betrachte beide in der Stelle $x=0$. Beide Funktionen stimmen an dieser Stelle überein… aber die Ableitungen sind grundverschieden (was du ja bei [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] auch schon festgestellt hast).
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mi 23.05.2018 | | Autor: | donp |
> Ich bin eigentlich kein Schüler mehr, habe mich schon
> ziemlich lange nicht mehr mit Mathematik beschäftigt
Mal von Laie zu Laie: So geht's mir auch, und ich sass gerade über dem Kapitel Differenzialquotient in einem alten Mathebuch, weil ich das auch fast alles vergessen hatte.
> Ich frage mich das ganze deshalb, weil ich z.B. die Funktion
> sin habe und cos in einem Schaubild, dann schneidet sin ja
> cos. [...] dann kann ich anhand eines einzelnen Punktes nicht auf die
> Änderungsrate schließen, ich sehe also nicht, dass sich
> sin gerade abwärts und cos aufwärts bewegt. Und das
> obwohl ich mich in einem 2d Schaubild befinde und somit
> zwei Informationen für einen Punkt brauche.
Also am einzelnen Punkt kann man die Steigung nicht sehen, nein. Das ist ja am Beispiel mit dem Geldbeutel oben anschaulich erklärt worden.
Aber wenn du das ganze Schaubild oder zumindest einen Ausschnitt davon vor Augen hast, dann ist der Funktionswert der Ableitungsfunktion am Schnittpunkt praktisch die Steigung der Tangente(n) durch den Punkt.
In dem Fall gibt es ja zwei Tangenten, eine für die Sinus- und eine zweite für die Cosinusfunktion am Schnittpunkt. Denkt man sich diese Tangenten oder zeichnet sie ein ins Schaubild, dann bekommt man schon einen Eindruck von den Steigungen, ersichtlich am Winkel der Tangenten zur +X-Achse.
Man möge mich korrigieren, wenn das falsch ist, aber im Groben dürfte es wenigstens stimmen nach dem, was in meinem Buch steht und dort abgebildet ist.
Zitat aus dem Buch: "Der Winkel [mm]\alpha[/mm] nimmt einen Grenzwert [mm]\varphi_0[/mm] an, der den Winkel zwischen der [mm]+X[/mm]-Achse und der Tangente angibt; [mm]\tan \varphi_0[/mm] ist der Anstieg der Tangente, der als Anstieg der Kurve in [mm]P_0[/mm] angesehen wird."
Gemeint ist, das man eine Gerade (Sekante) durch zwei Kurvenpunkte legt (z.B. deiner Sinuskurve) – in einem Winkel [mm]\alpha[/mm] zur X-Achse – und diese Kurvenpunkte dann immer näher zusammenbringt, bis sie bei [mm]P_0[/mm] (dein Schnittpunkt mit Cosinus) zusammenfallen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Mi 23.05.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo donp,
> > Ich bin eigentlich kein Schüler mehr, habe mich schon
> > ziemlich lange nicht mehr mit Mathematik beschäftigt
>
> Mal von Laie zu Laie: So geht's mir auch, und ich sass
> gerade über dem Kapitel Differenzialquotient in einem
> alten Mathebuch, weil ich das auch fast alles vergessen
> hatte.
>
> > Ich frage mich das ganze deshalb, weil ich z.B. die
> Funktion
> > sin habe und cos in einem Schaubild, dann schneidet sin ja
> > cos. [...] dann kann ich anhand eines einzelnen Punktes
> nicht auf die
> > Änderungsrate schließen, ich sehe also nicht, dass sich
> > sin gerade abwärts und cos aufwärts bewegt. Und das
> > obwohl ich mich in einem 2d Schaubild befinde und somit
> > zwei Informationen für einen Punkt brauche.
>
> Also am einzelnen Punkt kann man die Steigung nicht sehen,
> nein. Das ist ja am Beispiel mit dem Geldbeutel oben
> anschaulich erklärt worden.
>
> Aber wenn du das ganze Schaubild oder zumindest einen
> Ausschnitt davon vor Augen hast, dann ist der Funktionswert
> der Ableitungsfunktion am Schnittpunkt praktisch die
> Steigung der Tangente(n) durch den Punkt.
>
> In dem Fall gibt es ja zwei Tangenten, eine für die Sinus-
> und eine zweite für die Cosinusfunktion am Schnittpunkt.
> Denkt man sich diese Tangenten oder zeichnet sie ein ins
> Schaubild, dann bekommt man schon einen Eindruck von den
> Steigungen, ersichtlich am Winkel der Tangenten zur
> +X-Achse.
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> Man möge mich korrigieren, wenn das falsch ist, aber im
> Groben dürfte es wenigstens stimmen nach dem, was in
> meinem Buch steht und dort abgebildet ist.
>
> Zitat aus dem Buch: "Der Winkel [mm]\alpha[/mm] nimmt einen
> Grenzwert [mm]\varphi_0[/mm] an, der den Winkel zwischen der
> [mm]+X[/mm]-Achse und der Tangente angibt; [mm]\tan \varphi_0[/mm] ist der
> Anstieg der Tangente, der als Anstieg der Kurve in [mm]P_0[/mm]
> angesehen wird."
>
> Gemeint ist, das man eine Gerade (Sekante) durch zwei
> Kurvenpunkte legt (z.B. deiner Sinuskurve) – in einem
> Winkel [mm]\alpha[/mm] zur X-Achse – und diese Kurvenpunkte dann
> immer näher zusammenbringt, bis sie bei [mm]P_0[/mm] (dein
> Schnittpunkt mit Cosinus) zusammenfallen.
>
Da du indirekt um ein Feedback gebeten hast: alles, was du oben geschrieben hast, ist korrekt und darüberhinaus auch hilfreich.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mi 23.05.2018 | | Autor: | Flow1 |
Vielen Danke euch! Jetzt ist mir das klar geworden. Eine Frage hätte ich aber noch. Die sin Funktion ist doch zweidimensional? Warum wenn man mehr als 2 Informationen braucht? Ich frage mich deshalb, da ich ja für einen Punkt in 2D 2 Informationen brauche in 3D schon 3 um ihn bestimmen zu können. So habe ich mir immer die Dimensionen erklärt. Jetzt brauche ich für sin aber viel mehr Punkte... Hat das eine mit dem anderen zu tun oder war das eben nur bei Punkten hilfreich?
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Hallo,
> Vielen Danke euch! Jetzt ist mir das klar geworden. Eine
> Frage hätte ich aber noch. Die sin Funktion ist doch
> zweidimensional? Warum wenn man mehr als 2 Informationen
> braucht? Ich frage mich deshalb, da ich ja für einen Punkt
> in 2D 2 Informationen brauche in 3D schon 3 um ihn
> bestimmen zu können. So habe ich mir immer die Dimensionen
> erklärt. Jetzt brauche ich für sin aber viel mehr
> Punkte... Hat das eine mit dem anderen zu tun oder war das
> eben nur bei Punkten hilfreich?
Ich glaube, da solltest du einige Begriffe für dich nochmals klären, insbesondere den Begriff Funktion.
In der Analysis benennt man die Zahl der Dimensionen einer Funktion gemäß der Anzahl an unabhängigen Variablen (die für die Elemente aus dem sog. Urbild bzw. der Definitionsmenge der Funktion stehen). Bei Funktionen vom Typ y=f(x) ist x diese unabhängige Variable, also ist die Funktion f(x)=sin(x) eine eindimensionale Funktion.
Da sie auf der gesamten reellen Achse, also auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, steht diese Funktion für unendlich viele Funktionswerte, dementsprechend besteht ihr Graph aus unendlich vielen Punkten. Diese sind linienförmig in Form einer Kurve angeordnet (wobei diese Kurve das Wesen einer Funktion ganz gut veranschaulicht), und somit ist der Graph ebenfalls ein eindimensionales Gebilde.
Hätte man eine Funktion
z=f(x,y),
dann bräuchte man zwar ein dreidimensionales Koordinatensystem, sie hätte als Graph jedoch eine i.d.R. gekrümmte Fläche, also einen zweidimensionalen Graphen.
Betrachte doch spaßeshalber mal die Funktion
[mm]f(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\ ;\ R>0 [/mm]
vielleicht für R=1. Wie sieht ihr Graph aus? Wie ist ihr maximaler Definitionsbereich beschaffen?
Wenn du R deinen Bedürfnissen anpasst, kannst den Graphen eventuell bei Regenwetter gut gebrauchen... 
Gruß, Diophant
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> > Ich frage mich das deshalb, da wenn sich zwei Terme
> schneiden,
> > scheinen diese am Schnittpunkt ja identisch zu sein.
> Wenn sich zwei Funktionen schneiden, stimmt ihr
> Funktionswert am Schnittpunkt überein… das ist die
> Definition des Schnittpunkts.
>
> > Was sie unterscheidet ist ihre Änderungsrate, also die
> Ableitung?
> Sofern die Funktionen eine Ableitung besitzen: Ja, dann
> unterscheiden sie sich.
Funktionen, die sich schneiden, können im Schnittpunkt sogar die selben Ableitungswerte haben.
Betrachte [mm] f(x)=x^3 [/mm] und [mm] g(x)=x^5.
[/mm]
Es ist f(0)=g(0)=0, also schneiden sich beide Funktionen im Punkt (0|0) (und nur dort).
Es ist [mm] f'(x)=3x^2 [/mm] und [mm] g'(x)=5x^4, [/mm] also f'(0)=g'(0)=0, beide haben im Schnittpunkt den selben Ableitungswert.
Es ist f(0,5)= 0,125 und g(0,5)=0,03125, also f(0,5)>g(0,5).
Es ist f(-0,5)= -0,125 und g(-0,5)=-0,03125, also f(0,5)<g(0,5).
Also liegt der Graph von f mal über und mal unter dem von g, wir haben in 0 nicht einen Berührpunkt, sondern einen echten Schnittpunkt mit gleichen Ableitungswerten.
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