Ableitung an einer Stelle x0. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie für f mit f(x)= 2x²-3x und x0=2.
a) f(3)
d) f(r+2) |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie f'(x0) wie in Beispiel 1 für f mit
a) f(x)= 2x² und x0=4
b) Bestimme den Grenzwert von m(x) für x->4. |
Hallo zusammen. Bin neu hier, verzeiht mir bitte, was ich etwas falsch machte. Kopiere meinen Inhalt nun teilweise, allerdings verbessert, von der oben, bzw. untengenannte Adresse.
Erstmal zur Aufgabe 1a:
f(2) = 2*2²-3*2=2
f(3) = 2*3³-3*3=9
m(x) = f(x)-f(x0)/x-x0 = 9-2/3-2 = 7/1 = 7.
1c)
f(2) kenne ich bereits von 1a, daher:
f(r+2) = 2*(r+2)²-3*(r+2) = 2*(r²+4r+4)-3r-6 = 2r²+8r+8-3r-6 = 2r²+5r+2
m(r+2) = f(x)-f(x0)/x-x0 = 2r²+5r+2-2/r+2-2 = 2r²+5r/r
Sind die beiden Aufgaben richtig von mir berechnet worden?
Aufgabe 2:
f(4) = 2*4² = 32
m(x) = f(x)-f(x0)/x-x0 = 2x²-32/x-4
Und wie ich Gleichung nun richtig unformen kann, weiß ich nicht. Weil Beispiel 1 erscheint mir völlig anders.
Danke!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Die-Ableitung-an-einer-Stelle-x0-differenzierbar
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Hi Argentinien,
deine Umformungen in Teil 1 stimmen soweit ich es sehen kann, bin es aber eher überflogen.
Interessant ist ja eher der 2. Teil, dort hast du offensichtlich Probleme, den Limes des Differenzenquotienten auszurechnen.
Hier musst du eigentlich immer - wenn du nicht die Ableitungsregel für Polynome verwenden darfst - zuerst einmal versuchen zu vereinfachen.
Schauen wir uns das Ganze also mal an!
[mm] \bruch{2x²-32}{x-4} [/mm] = [mm] \bruch{2*(x^2 - 16)}{x-4}
[/mm]
und da sieht man auch schon etwas interessantes, denn
[mm] x^2 [/mm] - 16
kannst du mittels bin. Formeln leicht verändern; hast du hier eine Idee?
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| Aufgabe | | (Bestimmung der Ableitung f'(x0) mit der 'h-Methode'.) Bestimmen Sie für die Funktion f mit f(x) = x²-4x die Ableitung f'(3). |
Oooooh! :D Habe es nun wohl verstanden.
x²-16 = (x-4)(x+4), aaalso:
2(x²+16)/x-4 = 2[((x-4)(x+4)]/x-4, dann müsste sich x-4 ja wegkürzen, also: 2(x+4) = 2x+8
Oh man, habe gerade richtige Glücksgefühle, danke! :D Hoffe da ist nun kein Fehler mehr drinne, haha.
Grenzwert:
f'(4) = lim m(x) [x->4] = lim 2x+8 [x->4] = 2*4+8 = 16.
Richtig so :D ?
---
Habe zur h-Methode aber nun auch eine Frage. :( Ich hoffe, ich musste nun kein neuen Thread eröffnen, frage einfach mal.
Die Aufgabe war sozusagen ein Beispiel mit Lösungsweg, kann den nun allerdings nicht nachvollziehen.
a) Differenzquotient m(h):
Es ist x0 = 3, f(3) = -3 und somit:
m(h) = f(x0+h) - f(x0)/h = (3+h)² - 4(3+h)-(-3)/h, ..
Bin mir nun nicht im klaren darüber, wie man auf (3+h)² - 4(3+h)-(-3)/h kommt. :(
Würde ja meinen Lehrer fragen, aber der gab uns die Aufgaben ja nur und ging aufgrund eine Krankheit, deswegen fällt es mir glaube ich so schwer, tschuldige.
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Hallo Argentinien,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> (Bestimmung der Ableitung f'(x0) mit der 'h-Methode'.)
> Bestimmen Sie für die Funktion f mit f(x) = x²-4x die
> Ableitung f'(3).
> Oooooh! :D Habe es nun wohl verstanden.
> x²-16 = (x-4)(x+4), aaalso:
> 2(x²+16)/x-4 = 2[((x-4)(x+4)]/x-4, dann müsste sich x-4 ja
> wegkürzen, also: 2(x+4) = 2x+8
> Oh man, habe gerade richtige Glücksgefühle, danke! :D
> Hoffe da ist nun kein Fehler mehr drinne, haha.
>
> Grenzwert:
> f'(4) = lim m(x) [x->4] = lim 2x+8 [x->4] = 2*4+8 = 16.
> Richtig so :D ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ---
> Habe zur h-Methode aber nun auch eine Frage. :( Ich hoffe,
> ich musste nun kein neuen Thread eröffnen, frage einfach
> mal.
> Die Aufgabe war sozusagen ein Beispiel mit Lösungsweg,
> kann den nun allerdings nicht nachvollziehen.
> a) Differenzquotient m(h):
> Es ist x0 = 3, f(3) = -3 und somit:
> m(h) = f(x0+h) - f(x0)/h = (3+h)² - 4(3+h)-(-3)/h, ..
> Bin mir nun nicht im klaren darüber, wie man auf (3+h)² -
> 4(3+h)-(-3)/h kommt. :(
Nun, es wurde hier
[mm]m\left(h\right)=\bruch{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h}[/mm]
mit
[mm]f\left(x\right)=x^{2}-4x[/mm]
berechnet.
>
> Würde ja meinen Lehrer fragen, aber der gab uns die
> Aufgaben ja nur und ging aufgrund eine Krankheit, deswegen
> fällt es mir glaube ich so schwer, tschuldige.
Gruß
MathePower
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Achso, verstehe. :D Hoffe ich zumindest.
Probierte zur Sicherheit noch eine Übungsaufgabe, wäre nett, wenn man sich die noch kurz anschauen könnte.
Berechnen Sie f'(x0) wie in Beispiel 2 für f mit f(x) = 1/2x² und x0 = 2.
f(2) = 2
m(h) = f(2+h)-2/h = 1/2(2+h)²-2/h = 1/2(4+4h+h²)-2/h = 2+2h+1/2h²-2/h = 2/h + 1/2h²/h = 3 1/2h.
Grenzwert von m(h) für h->0:
lim [h->0] 3 1/2h = 3 1/2.
Das Prinzip jedenfalls habe ich verstanden, auch wenn das Ergebnis nun falsch sein sollte. Danke euch beiden! :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Sa 17.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Argentinien,
> Achso, verstehe. :D Hoffe ich zumindest.
> Probierte zur Sicherheit noch eine Übungsaufgabe, wäre
> nett, wenn man sich die noch kurz anschauen könnte.
>
> Berechnen Sie f'(x0) wie in Beispiel 2 für f mit f(x) =
> 1/2x² und x0 = 2.
> f(2) = 2
> m(h) = f(2+h)-2/h = 1/2(2+h)²-2/h = 1/2(4+4h+h²)-2/h =
> 2+2h+1/2h²-2/h = 2/h + 1/2h²/h = 3 1/2h.
[mm]m\left(h\right)=\bruch{f\left(2+h)-2}{h}=\bruch{\bruch{1}{2}*\left(2+h\right)^{2}-2}{h}=\bruch{\bruch{1}{2}*\left(4+4h+h^{2}\right)-2}{h}[/mm]
[mm]=\bruch{2+2h+\bruch{1}{2}*h^{2}-2}{h}=\bruch{2h+\bruch{1}{2}h^{2}}{h}=2+\bruch{1}{2}h[/mm]
> Grenzwert von m(h) für h->0:
> lim [h->0] 3 1/2h = 3 1/2.
Das stimmt nicht.
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}2+\bruch{1}{2}h=2[/mm]
>
> Das Prinzip jedenfalls habe ich verstanden, auch wenn das
> Ergebnis nun falsch sein sollte. Danke euch beiden! :D
Verwende doch bitte unseren Formeleditor
oder setze entsprechene Klammern.
Dadurch werden die Formeln besser lesbar.
[mm] f(x)=1/2x^2 [/mm] kann entweder
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{2x^{2}}=1/\left( \ 2x^{2} \ \right)[/mm]
oder
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{2}x^{2}=\left( \ 1/2 \ \right)x^{2}[/mm]
bedeuten.
Gruß
MathePower
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